V - Cremona

ESERCIZIO 7.1: Determinare le espressioni temporali sinusoidali relative alle grandezze
rappresentate dai seguenti fasori.
&
&
&
− j 20°
V = j8e
I1 = −3 + j 4 I 2 = j ⋅ (5 − j12 )
Risulta necessario applicare le trasformazioni fra espressione polare ed espressione cartesiana di un
numero complesso, nonché la definizione costitutiva di fasore associato ad una sinusoide.
&
− j 20°
a) V = j8e
= 8 je − j 20° = 8 ⋅ e j 90° e − j 20° = 8 ⋅ e j ( 90°−20° ) = 8 ⋅ e j 70°
In conclusione, si ottiene il legame seguente:
&
j 70°
− j 20°
V = j8e
= 8⋅e
⇒ v ( t ) = 8 cos(ωt + 70° )
j
4
j ⋅ arctag  
 − 3
&
2
2
b) I1 = −3 + j 4 = ( −3) + 4 ⋅ e
In conclusione, si ottiene il legame seguente:
&
I1 = −3 + j 4 = 5 ⋅ e j126,87° ⇒ i1 (t )
c)
126,87°
Re
= 5 cos(ωt + 126,87° )
 − 12 

5 
j ⋅arctag 
&

2
2
j 90°
I 2 = j ⋅ (5 − j12) = 1 ⋅ e
⋅ 5 + ( −12) ⋅ e
Osserviamo, ora, che il valore della funzione “arctang(-12/5)” è esprimibile sia mediante
l’angolo α = 292,62°, sia mediante l’angolo β = −67,38° fra loro supplementari. Si ottiene,
ovviamente:
&
Im
I 2 = 13 ⋅ e j ( 90°+292 ,62° ) = 13 ⋅ e j 22 ,62°
12+j5
j
ovvero
&
I 2 = 13 ⋅ e j ( 90°−67,38° ) = 13 ⋅ e j 22 ,62°
22,62°
292,62°
In conclusione, si ottiene il legame seguente:
&
I 2 = j ⋅ (5 − j12)
⇒ i2 (t ) = 13cos(ωt + 22,62° )
−67,38°
Re
5-j12
ESERCIZIO 7.2: Assegnate le due grandezze sinusoidali, di seguito riportate, determinare
la loro somma.
i1 = 4 cos(ωt + 30° )
i2 = 5sin(ωt − 20° )
Dato che le due grandezze sono isofrequenziali, la loro somma nel “dominio del tempo” può essere
desunta dal fasore somma dei due fasori rappresentativi, nel dominio delle frequenze, delle
rispettive sinusoidi corrispondenti.
Riferendo l’espressione costitutiva del fasore alla funzione coseno , la grandezza i2(t) dovrà essere
espressa nella forma della funzione coseno, anziché della funzione seno. Ciò avviene ricordando le
relazioni fondamentali della trigonometria; in particolare vale la relazione:
sin(α ) = cos(α − 90° )
5 ⋅ sin(ωt − 20° ) = 5 ⋅ cos(ωt − 20°−90° ) = 5 ⋅ cos(ωt − 110° )
Il passaggio dal dominio del tempo al dominio delle frequenze, ovvero il calcolo dei fasori associati
alle due funzioni cosinusoidali, è fornito dalle seguenti evidenti relazioni:
&
i1 = 4 cos(ωt + 30° ) ⇒ I1 = 4e j 30°
&
 3
1
+ j  = 2( 3 + j )
I1 = 4e j 30° = 4[cos(30° ) + jsin(30° )] = 4
2
 2
&
i2 = 5 cos(ωt − 110° ) ⇒ I 2 = 5e − j110°
&
I1 = 5e − j110° = 5 ⋅ [cos( −110° ) + jsin( −110° )] = 5 ⋅ (− 0,342 − j 0,9397)
ESERCIZIO 7.3: Assegnata la rete lineare di figura 7.3, funzionante in regime sinusoidale,
si desidera determinare la tensione vO(t) nell’ipotesi che, alla pulsazione ω del segnale vS(t) di
ingresso, sia R = ω·L = XL. È noto il segnale sinusoidale d’ingresso vS(t) = 10 cos(ω
ω·t).
&
I
R
~
v2(t)
L
vO(t)
R
&
~ VS
&
VR
jω
ωL
&
VO
(figura - 7.3a)
(figura - 7.3)
Il passaggio dal dominio del tempo al dominio della frequenza è evidenziato dalla rete immagine
mostrata in figura 7.3a in cui sono esplicitati i fasori della tensione sia di ingresso, sia di uscita.
Tutte le leggi valide nel regime stazionario conservano la loro efficacia anche nel regime
sinusoidale, purché applicate ai fasori delle grandezze elettriche corrispondenti; pertanto conserva
applicabilità la legge del partitore resistivo di tensione. Premesse le seguenti ovvie posizioni:
&
VS = 10 ⋅ e j 0° = 10 Z R = R Z L = jωL = jX L
risulta immediata l’applicazione della legge del partitore di tensione mediante la relazione seguente:
&
VO =
&
&
&
&
ZL
jX L
jX L
jω L
⋅ VS =
⋅ VS =
⋅ VS =
⋅ VS
ZR + ZL
R + jω L
R + jX L
jX L + jX L
&
&
&
&
&
jX L
j
VS ⋅ e j (π / 2 )
e j (π / 2 )
=
⋅
⋅ VS =
⋅ VS =
VO =
V
S
j (π / 4 )
1+ j
X L (1 + j )
1 + 1 ⋅e j ⋅arctag (1/ 1)
2 ⋅e
Eseguendo le dovute semplificazioni algebriche e sostituendo i valori dei parametri noti, si ottiene:
&
&
1 j[(π / 2) − (π / 4)] &
2
e j (π / 2 )
10 ⋅ e jπ / 4 = 5 2 ⋅ e jπ / 4
VO =
V
e
V
⋅
=
⋅
=
S
S
j (π / 4 )
2 ⋅e
2
2
La scrittura temporale del segnale vO(t) si ottiene risalendo dal “fasore” alla corrispondente
sinusoide, ovvero:
&
VO = 5 2 ⋅ e jπ / 4
&
π
⇒ vO (t ) = Re VO ⋅ e jωt = 5 2 cos ωt + 

4
(
)
Si osserva che il fasore rappresentativo della tensione VO applicata ai morsetti dell’induttanza L,
essendo il circuito puramente induttivo, si trova sfasato di 90° in anticipo rispetto alla corrente I
che transita sia nell’induttanza stessa, sia nella resistenza R.
Atteso che in un circuito puramente ohmico i fasori rappresentativi,
rispettivamente, della tensione VR ai capi della resistenza e della
corrente I che la percorre, sono in fase fra loro è possibile ottenere
il diagramma vettoriale, mostrato in figura 7.3b, associato alla rete.
Il fasore VS definisce la somma vettoriale, graficamente si applica
cioè la regola del parallelogramma, del fasore VR e del fasore VO.
Si osservi che i moduli di Vo e di VR sono fra loro uguali ma il
loro valore è diverso da VS/2.
j
VS
VO
π/4
I
VR
Re
ESERCIZIO 7.4: Assegnata la rete lineare di figura 7.4, funzionante in regime sinusoidale,
si desidera calcolare l’impedenza equivalente Zeq vista dai morsetti A e B. Sono noti: R2 = 2Ω
Ω
R1 = 50 Ω; XC1 = −25 Ω; XC3 = −100 Ω; XL = 50 Ω.
A
A
R1
XC1
XL
VS
VS
R2
R1
XC1
Z1
XC3
X
XC3
Z2 R2
Zeq
Zeq
B
(figura - 7.4)
B
(figura - 7.4a)
Dall’analisi dei collegamenti reciproci fra i componenti circuitali costituenti la rete di figura 7.4 si
deduce quanto segue:
• la resistenza R1 è in serie al condensatore C1 costituendo l’impedenza ohmico-capacitiva Z1;
• la resistenza R2 è in serie all’induttanza L costituendo l’impedenza ohmico-induttiva Z2;
• il condensatore C3 costituisce l’impedenza puramente capacitiva Z3;
Pertanto, risultano ovvie le seguenti posizioni:
Z1 = R1 + jX C1 = 50 − j 25 = 502 + 252 ⋅ e j ⋅arctag ( −25 / 50) = 25 5 ⋅ e − j 26,56°
Z2 = R2 + jX L = 2 + j50 = 2 2 + 502 ⋅ e j ⋅arctag ( −50 / 2 ) = 50,04 ⋅ e j 87,71°
Z3 = jX C 3 = − j100 = 100 ⋅ e − j 90°
Le impedenze Z2 e Z3 sono fra loro collegate in parallelo; la loro impedenza equivalente vale:
Z23 = ( Z 2 / / Z3 ) =
Z2 ⋅ Z3
Z2 + Z3
Il calcolo dell’impedenza Z23 può essere svolto in due modi equivalenti operando, rispettivamente,
con i fasori espressi tramite numeri complessi in forma cartesiana, ovvero in forma polare. Si
ottiene:
1° modo - fasori in forma cartesiana:
Le impedenze vengono calcolate ed utilizzate come dei numeri complessi aventi rappresentazione
algebrica nella forma: a + jb.
Z2 ⋅ Z3
(2 + j50) ⋅ ( − j100) − j 200 + 5000
=
=
=
(2 − j50)
Z2 + Z3 (2 + j50) + ( − j100)
(5000 − j 200)(2 + j50) 10000 + j 250000 − j 400 + 10000
=
=
=
(2 − j50)(2 + j50)
4 + 2500
20000 + j 249600
=
= 7,9872 + j 99,6805 ⇒ Z23 = 100 ⋅ e j 85,42°
2504
Z23 = ( Z 2 / / Z3 ) =
2° modo - fasori in forma polare o esponenziale:
Le impedenze vengono calcolate ed utilizzate come dei numeri complessi aventi rappresentazione
analitica nella forma: ρ·[cos(θ
θ) + j·sin(θ
θ)] = ρ·ejθθ.
Z2 ⋅ Z3
(2 + j50) ⋅ ( − j100) 50,04 ⋅ e j 87 ,71° ⋅ 100 ⋅ e − j 90°
Z23 =
=
=
=
− j 87 ,71°
Z2 + Z3 (2 + j50) + ( − j100)
50,04 ⋅ e
= 100 ⋅ e j (87 ,71°−90°+87 ,71° ) = 100 ⋅ e j 85,42° ⇒ Z 23 = 7,9872 + j 99,68
L’impedenza equivalente Zeq richiesta si determina come collegamento serie fra Z1 e Z23; si ha:
Zeq = Z1 + Z 23 = (50 − j 25) + (7,9872 + j 99,6805) = 57,9872 + j 74,6805
L’impedenza equivalente Zeq è, pertanto, un’impedenza di natura ohmico induttiva costituita da una
resistenza equivalente Req di valore Req = 57,9872 Ω e da una reattanza induttiva equivalente XLeq
di valore XLeq = 74,6805 Ω.
È poi immediato asserire quanto espresso dalla relazione seguente:
Zeq = 57,9872 + j 74,6805 = 57,9872 2 + 74,682 ⋅ e j ⋅arctag ( 74 ,680 / 57 ,9872 ) =
= 94,55 ⋅ e j ⋅52 ,17°
⇒ cosϕ rit = cos(52,17° ) = 0,613
ESERCIZIO 7.5: La tensione applicata all’ingresso di una rete lineare, operante in regime
sinusoidale, è v(t) = 200·sin(1000t − 45°). In regime sinusoidale la corrente in ingresso alla rete
è i(t) = 20·sin(1000t) [mA]. Si desidera calcolare l’impedenza equivalente di ingresso Zin e la
corrente d’ingresso i(t) per una tensione di ingresso v(t) = 150·sin(1000t − 270°).
i(t)
Atteso che la relazione costitutiva dei fasori rappresentativi dei
ℜ
(figura - 7.5)
~
v(t)
Zin
segnali sinusoidali fa riferimento alla funzione coseno, è
necessario rendere congruenti le grandezze temporali v(t) ed i(t),
assegnate in modo esplicito tramite la funzione seno; si ottengono
le scritture:
v(t ) = 200sin(1000t − 45° ) = 200 cos(1000t − 135° )
i (t ) = 20 ⋅ sin(1000t ) = 20 ⋅ cos(1000t − 90° )[mA]
Verificata la isofrequenzialità delle grandezze v(t) ed i(t), in regime sinusoidale i relativi fasori
sono, rispettivamente, definiti dalle relazioni seguenti:
&
&
− j 135°
− 3 − j 90°
V = 200 ⋅ e
I = 20 ⋅ 10 e
L’impedenza equivalente in ingresso Zin è, per definizione, come mostrato in figura 7.5, data dalla
relazione di seguito riportata:
&
200 ⋅ e − j135°
V
4 ( − j135°+ j 90° )
4 − j 45°
10
10
Zin = & =
e
e
=
=
I 20 ⋅ 10 − 3 e − j 90°
= 10000 ⋅ [cos( −45° ) + jsin( −45° )] = 103 (7,07 − j 7,07)
Si tratta di una resistenza equivalente di valore Rin = 7,07KΩ
Ω e di una reattanza capacitiva di valore
XCin = −7,07 KΩ
Ω a cui corrisponde una capacità equivalente Cin data dalla scrittura:
X Cin = −
1
1
1
⇒ Cin = −
=−
= 141,4nF
ω ⋅ Cin
ω ⋅ X Cin
1000 ⋅ ( −7,07) ⋅ 103
Consideriamo, ora, il caso in cui sia v(t) = 150·sin(1000t − 270°). Sono ovvie le posizioni seguenti:
3
3
3
v(t ) = 150sin(10 t − 270° ) = 150 cos(10 t − 270°−90° ) = 150 cos(10 t − 360° )
&
= 150 cos(1000t ) ⇒ V = 150 ⋅ e j0° = 150
Il valore della nuova corrente i(t), in condizione di regime sinusoidale, è fornito dalla relazione:
&
& V
150
I =
= 4 − j 45° = 15 ⋅ 10 − 3 e j 45° ⇒ i ( t ) = 15 cos(103 t + 45° )[ mA]
Zin 10 e
L’espressione temporale della corrente i(t) può essere fornita anche tramite la funzione seno; si ha,
infatti: i(t) = 15·cos(103t + 45°) = 15·sin(103t + 45°+90°) = 15·sin(103t + 135°) [mA].
ESERCIZIO 7.6: La rete lineare di figura 7.6 funziona in regime sinusoidale con
pulsazione ω = 5 Krad/sec. Si determini il valore della capacità C del condensatore che rende
l’impedenza d’ingresso Zin puramente resistiva. Calcolare, indi, la resistenza equivalente Rin
in riferimento al valore di C precedentemente calcolato. Sono noti: R = 100 Ω; L = 10 mH.
jXL
L
~
v(t)
R
C
~
V
R
jXC
ZP
Zin
(figura - 7.6)
Zin
(figura - 7.6a)
3
−3
Con riferimento ai dati forniti, risulta: XL = 2π
πƒL = ωL = 5·10 ·10·10 = 50 Ω
1° Modo: affinché l’impedenza d’ingresso ZIN sia puramente resistiva, il coefficiente XIN della
sua parte immaginaria deve essere nullo, cioè: XIN = 0.
Indicata con ZP l’impedenza equivalente del parallelo fra la resistenza R e la reattanza capacitiva
XC, si ottiene:
Z P = ( R / / jX C ) =
R ⋅ jX C
jRX C
=
R + jX C R + jX C
L’impedenza di ingresso ZIN è costituita dalla serie dell’impedenza parallelo ZP, ora calcolata, e
della impedenza induttiva ZL; si ottiene la relazione seguente:
Z IN = Z L + Z P = jX L +
=
=
jRX C
jRX L − X C X L + jRX C
=
=
R + jX C
R + jX C
[− X C X L + jR( X L + X C )]( R − jX C ) =
R 2 + X C2
[
RX C2 + j X 2C X L + R 2 ( X L + X C )
R 2 + X C2
]
Affinché l’impedenza di ingresso sia puramente resistiva, dovrà essere verificata la condizione:
X 2C X L + R 2 ( X L + X C ) = 0
XC
⇒
X L X 2C + R 2 X C + R 2 X L = 0
− R 2 ± R 4 − 4 R 2 X L2 − 1002 ± 100 4 − 4 ⋅ 1002 ⋅ 502
=
=
= −100Ω
2XL
2 ⋅ 50
2° Modo: affinché l’impedenza d’ingresso ZIN sia puramente resistiva, il coefficiente della parte
immaginaria di ZP deve essere uguale ed opposto al valore della reattanza induttiva XL. Si ricava
ora la reattanza XP; si ha:
jRX C
jRX C ( R − jX C )
RX C2
R2 X C
ZP =
=
= 2
+ j 2
2
2
2
R + jX C
R + XC
R + XC
R + X C2
La condizione che deve essere soddisfatta è, pertanto, la seguente:
XL = −
R2 X C
2
R +
X C2
⇒
X L ( R 2 + X C2 ) + R 2 X C = 0
X L X C2 + R 2 X C + R 2 X L = 0
⇒
ovvero:
X C = −100Ω
Il calcolo della capacità C si svolge, ricorrendo alla definizione costitutiva della reattanza capacitiva
XC, con la procedura seguente:
XC = −
1
ω ⋅C
⇒ C=−
1
1
=−
= 0,2 ⋅ 10 − 5 = 2 µF
3
ω ⋅ XC
5 ⋅ 10 ⋅ ( −100)
Con la capacità C = 2 µF e alla pulsazione ω = 5 Krad/s l’impedenza di ingresso ZIN è
puramente resistiva, in quanto risulta XIN = 0; pertanto è ovvia la posizione espressa dalla seguente
scrittura:
RX C2
100 ⋅ 1002
100
Z IN
= RIN = 2
=
=
= 50Ω
2
2
2
( C = 2 µF ,ω = 5Krad / s )
2
R + X C 100 + 100
ESERCIZIO 7.7: La rete lineare di figura 7.7 funziona in regime sinusoidale con segnale
d’ingresso in corrente dato da iS(t) = IS·cos(ω
ω·t) [A]. Si determini la tensione vR(t) utilizzando il
metodo dei fasori. Sono noti R e C.
Passando al dominio della frequenza, il condensatore
R
di capacità C costituisce una reattanza capacitiva XC
iS(t)
il cui valore ed il fasore rappresentativo della corrente
iS(t), sono definiti dalle posizioni seguenti:
VR(t)
R
~
C
&
1
I S = I S e j 0° = I S
XC = −
ω ⋅C
iR(t)
Il calcolo del fasore associato alla tensione vR(t) viene
svolto applicando la regola del partitore di corrente.
Come si evince dalla figura 7.7, risulta evidente la seguente scrittura:
(figura - 7.7)
&
&
VR = RI R = R
&
ZC
jRX C
jRX C (2 R − jX C )
IS =
IS =
IS =
2 R + ZC
2 R + jX C
4 R 2 + X C2
 RX C2
2R2 X C 
 ⋅ IS =
= 2
+ j 2
2
2
4R + XC 
 4R + X C
RX C
4 R 2 + X C2
I S ⋅ e jarctag ( 2 R / X C )
La funzione sinusoidale associata al fasore VR è espressa dalla relazione di seguito riportata:

 2R  
I S ⋅ cosωt + arctag

 XC 
4R 2 + X C2

RX C
vR ( t ) =
ESERCIZIO 7.8: La rete lineare di figura 7.8 funziona in regime sinusoidale alimentata
dal generatore di tensione vS(t) = VS·cos(ω
ω·t) [V]. Si determini, utilizzando la riduzione
circuitale ai fasori, l’espressione generale della corrente iL(t). Sono noti R ed L.
Il passaggio dal dominio del tempo al dominio della frequenza è evidenziato nella figura 7.8a in cui
alla induttanza L si è sostituita la corrispondente impedenza ZL = jω
ωL = jXL.
Il fasore associato alla tensione vS(t) del generatore di alimentazione è definito dalla scrittura:
~
A
R
R
L
vS(t)
R
~
ZP
jXL
R
IL
iL(t)
(figura - 7.8a) B
(figura - 7.8)
vS (t ) = VS cos(ωt )
VS
⇒
&
VS = VS e j 0° = VS
1° Metodo: Si determina la tensione VAB applicando il partitore di tensione fra la resistenza R e la
impedenza equivalente parallelo ZP. La corrente IL è ricavabile dalla legge di Ohm come rapporto
fra la tensione VAB e l’impedenza ZL. Si ottiene la relazione di seguito riportata:
jRX L
&
&
1
V
ZP &
V
R + jX L
V
jRX L
I L = AB =
VS = S ⋅
⋅
= S ⋅ 2
ZL
jX L R + Z P
jX L R + jRX L
jX L R + j 2 RX L
R + jX L
=
jRX LVS
VS
=
=
jRX L ( R + j 2 X L ) ( R + j 2 X L )
VS
R 2 + 4 X L2
⋅ e− jarctag ( 2 X L / R )
2° Metodo: Si determina il generatore equivalente di Thévenin relativo all’induttanza L, come viene
mostrato in figura 7.8b; la figura 7.8c evidenzia la rete idonea al calcolo della forza elettromotrice
ETH di Thévenin, mentre la figura 7.8d mostra il circuito per la determinazione di ZTH.
A
ZTH
~
jXL
ET
A
R
~
VS
ET
R
IL
(figura - 7.8b)
B
(figura - 7.8c) B
Il calcolo della tensione ETH del generatore equivalente di
Thévenin è, per tanto, determinato, vedi figura 7.8c, dalla seguente
relazione:
&
E TH =
&
& VS 1
R
⋅ VS =
= ⋅ VS
2 2
R+R
Il calcolo dell’impedenza equivalente di Thévenin ZTH, vedi la
figura 7.8d, si effettua tramite la scrittura di seguito riportata:
2
ZTH = ( R / / R ) =
R
A
ZTH
R
(figura - 7.8d) B
R⋅R
R
R
=
=
R + R 2R 2
Noti i parametri del generatore equivalente di Thévenin, il calcolo della corrente IL risulta
immediato; si applica la legge di Kirchhoff alla rete di figura 7.8b ottenendo la relazione:
&
IL =
&
1
E TH
V
VS
= S⋅
=
2 ( R 2 ) + jX L R + j 2 X L
Z TH + jX L
Anche la 2ª procedura risolutiva perviene alla relazione conclusiva, per il fasore rappresentativo
della corrente IL, espressa nella forma:
&
VS
VS
VS ⋅ e − jarctag ( 2 X L / R )
IL =
=
=
2
2
jarctag ( 2 X L / R )
R + j2 X L
R + 4XL ⋅e
R 2 + 4 X L2
Determinato il fasore IL, si procede subito alla definizione della funzione temporale sinusoidale
iL(t) secondo la scrittura:
i L (t ) =

2XL 
⋅ cosωt − arctag 
  [ A]
2
2


R

R + 4XL
VS