18 gennaio 2007

Propagazione Guidata
Prova scritta del 18 gennaio 2007
Il candidato risponda ai quesiti riportando i risultati negli appositi spazi sul secondo foglio.
1. Si trovi l’impedenza di carico normalizzata corrispondente al coefficiente di riflessione (a) di
modulo 0.9 e fase 110◦ e (b) di modulo 0.9 e fase 250◦ .
2. L’espressione istantanea di un campo elettrico di un segnale radiofonico che si propaga in aria
è data da:
E(x, t) = 10 cos(1.5π × 106 t + βx)ẑ V /m.
Si determini (a) la direzione di propagazione, (b) la frequenza, (c) la costante di fase β, (d) la
lunghezza d’onda λ, (e) il fasore campo elettrico E(x), (f) il fasore campo magnetico H(x) e
(g) l’espressione istantanea del relativo campo magnetico H(x, t).
3. Si indichino almento tre motivi per cui è opportuno operare con linee di trasmissione adattate.
Si giustifichi quanto affermato.
4. Un sottomarino, alla profondità di z = 100 m, comunica con una nave in superficie, z = 0,
posta verticalmente sopra di esso. Se l’espressione fasoriale del campo elettromagnetico del
segnale trasmesso dalla nave è, in acqua:
E(z) = 2.84 e−0.218z e−j0.218z kV /m;
H(z) = 36.9 e−0.218z e−j0.218z e−jπ/4 kA/m;
si determini: (a) il vettore di Poynting associato S(z), (b) la densità di potenza media in
superficie, (c) quella al sottomarino e (d) l’impdenza intrinseca.
5. Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica Z0 = 100 Ω è connessa ad un carico
costituito da una resistenza RL = 200 Ω in parallelo ad un’induttanza LL = 200/π nH. Considerando una frequenza di lavoro pari a 0.5 GHz, (a) si calcoli l’ammettenza di carico, (b) il
coefficiente di riflessione al carico e (c) si adatti la linea con uno stub in parallelo.
6. Si consideri una guida dielettrica planare e si indichi (a) la frequanza di cut-off del modo T E0
e (b) se, a parità di frequenza normalizzata, è più confinato il campo del modo T E0 o quello
del modo T M5 . Se il modo T M5 è l’ultimo modo che si può propagare, (c) quanti modi sono
sostenuti dalla guida e (d) quale deve essere il valore minimo della frequenza normalizzata? (e)
Aumentando il salto d’indice tra core e cladding è possibile che il numero di modi T E e/o T M
in propagazione aumenti? Si giustifichi la risposta.
Risposte
1. Vale z(l) = (1 + ̺(l))/(1 − ̺(l)) e pertanto:
(a)
◦
1 + 0.9ej110
= 0.08 + j0.7;
z(l) =
1 − 0.9ej110◦
(b)
◦
1 + 0.9ej250
z(l) =
= 0.08 − j0.7.
1 − 0.9ej250◦
Gli stessi risultati si possono ottenere molto più facilmente identificando i due punti dati sulla
carta di Smith e leggendo i relativi valori di r e x per essi passanti.
2. (a) L’onda si propaga in direzione −x.
(b) La frequenza vale ν = 750 kHz.
√
(c) β = ω µ0 ε0 = 1.5π × 106 /3 × 108 = 0.005π rad/m.
(d) λ = 2π/β = 2π/(0.005π) = 400 m.
(e) Il fasore campo elettrico è dato da: E(x) = 10 ejβxẑ = 10 ej0.005πx ẑ V /m.
(f) Il fasore campo magnetico H(x) è ottenibile da:
∇ × E = −jωµ0 H,
Hy (x) = −
e quindi:
H=
∂Ez (x)
1
1
[−
] = Ez (x),
jωµ0
∂x
η
10 j0.005πx
1
Ez (x)̂ =
e
̂ = 26.5ej0.005πx ̂ mA/m.
η
377
(g) Infine: H(x, t) = 26.5 cos(1.5π × 106 t + 0.005πx)̂ mA/m.
3. - Si consideri la funzione di trasferimento di una linea di trasmissione:
H(ω) =
ZL
VL
=
.
Vi
ZL cosβl − jZ0 sinβl
Per valori arbitrari di ZL la funzione di trasferimento non soddisfa le condizioni di non distorsione di ampiezza | H(ω) |= 1 e di fase 6 H(ω) ≡ ω. Queste sono invece soddisfatte quando la
linea di trasmissione opera in condizioni di adattamento, ZL = Z0 , per cui risulta H(ω) = ejβl .
- Si consideri inoltre la potenza attiva P che transita lungo la linea: P = 21 |V |2 /Zi . Nel punto
in cui la tensione è massima, potendo scrivere Zi =√Z0 S con S il rapporto d’onda stazionaria,
si ha: P = 21 |Vmax |2 /Z0S da cui si ricava |Vmax | = 2Z0 SP . La relazione mostra che a parità
di potenza attiva trasportata e di caratteristiche
della linea, la massima tensione in linea cresce
√
al peggiorare del disadattamento secondo S con conseguente pericolo di scarica, specie se le
potenze in gioco sono elevate.
- Nel caso di linea non adattata, fissata ZL , Zi è funzione della lunghezza l, per cui modificando la lunghezza della linea il progetto della linea viene a dipendere dalla lunghezza del
collegamento; ciò evidentemente non è più vero quando ZL = Z0 .
2
- In una linea adattata, l’intera potenza disponibile del generatore è trasferita al carico. Infatti
sulla sezione di carico si ha:
P = Pd + Pr =
|V+ |2
|V+ |2 |V+ |2
−
|̺L |2 =
(1 − |̺L |2 )
2Z0
2Z0
2Z0
che mostra quanto la potenza al carico diminuisca al crescere del coefficiente di riflessione,
ovvero del disadattamento.
4. (a) Il vettore di Poynting è definito come:
1
∗
S(z) = E × H
2
e quindi vale S(z) = 21 2.84 × 36.9 e−2(0.218z) ejπ/4 ẑ MW/m2 .
La densità di potenza media si ottiene considerandone la parte reale, che eventualmente integrata su una superficie permette di ottenere la potenza che fluisce attaverso la superficie stessa.
La densità di potenza media vale quindi:
∗
Re[
=
E×H
]=
2
1
2.84 × 36.9 e−2(0.218z) cos(π/4) ẑ MW/m2 = 37.05 e−0.436z ẑ MW/m2 .
2
Pertanto:
(b) a z = 0 si ha:
S(z = 0) = 37.05 ẑ MW/m2 ;
(c) a z = 100 m si ha:
S(z = 100) = 37.05 e−0.436×100 ẑ = 4.3 × 10−12 ẑ W/m2 .
(d) L’impedenza intrinseca dell’acqua vale:
2.84
= 0.077 ejπ/4 Ω.
36.9 e−jπ/4
5. (a) Dai dati del problema si ha:
YL = (
1
1
1
1
+
)=(
−j
) = (0.005 − j0.005) S
9
RL jωLL
200
2π 0.5 × 10 (200/π) × 10−9
e quindi yL = (0.005 − j0.005)/0.01 = 0.5 − j0.5.
(b) Il coefficiente di riflessione al carico vale:
̺L =
0.001 − (0.005 − j0.005)
1+j
Y0 − YL
◦
=
=
= 0.2 + j0.4 = 0.447 ej63.4 .
Y0 + YL
0.001 + (0.005 − j0.005)
3−j
(c) Con tale punto di carico, sulla carta di Smith si identificano subito le possibili soluzioni:
- d1 = 0.5 λ − 0.412 λ + 0.338 λ = 0.426 λ e l1 = 0.375 λ.
- d2 = 0.088 λ + 0.162 λ = 0.25 λ e l2 = 0.125 λ.
6. (a) Vcut−of f T E0 = 0; (b) è più confinato il modo T E0 ; (c) 12; (d) V = 5π/2; (e) può aumentare
sia il numero dei T E che dei T M in quanto aumenta il valore della frequenza normalizzata V .
3