CIRCONFERENZA E CERCHIO
Questi argomenti solitamente vengono collocati alla fine della seconda media o all’inizio della
terza.
Possono essere inseriti in vari percorsi didattici:
-
dopo la trattazione dei quadrilateri e dopo aver presentato i poligoni regolari (figure
convesse aventi i lati congruenti e gli angoli congruenti)
-
dopo avere introdotto il piano cartesiano, la rappresentazione di punti e di figure
-
nella trattazione dei solidi “rotondi”
-
nella trattazione delle isometrie (rotazione)
Passiamo ad esaminare alcuni nodi concettuali e le molte difficoltà che, a mio parere, gli studenti
incontrano nello studio di questo argomento:
dissonanza tra il linguaggio comune e quello matematico: spesso usiamo il termine “disco”
per indicare il cerchio matematico e “cerchio” per indicare la circonferenza
DEF circonferenza: è l’insieme dei punti del piano che hanno distanza fissa r da un punto assegnato
O, detto centro.
DEF cerchio: è l’insieme dei punti del piano che hanno distanza minore o uguale a r da un punto
assegnato O, detto centro.
Esercizio
La circonferenza è una figura concava o convessa? Concava
Esercizio
Il cerchio è una figura concava o convessa? Convessa
Esercizio
Quante circonferenze passano per un punto? Per due? Per tre?
Per un punto e per due punti passano infinite circonferenze. Per tre punti: dipende. Se non sono
allineati passa una e una sola circonferenza, il cui centro è l’intersezione degli assi dei segmenti
aventi per estremi due dei punti assegnati. Se sono allineati non passa alcuna circonferenza, poiché
gli assi dei segmenti sono tra loro paralleli.
Esercizio
Quante cerchi passano per un punto? Per due punti? Per tre punti? Come può essere interpretata la
domanda?
Esercizio
Capovolgi un bicchiere, poggialo su un foglio e segna con la matita il suo bordo: hai disegnato una
circonferenza. Trova il suo centro. Si può ritagliare il cerchio e con due piegature ad assi
perpendicolari trovare il centro o disegnare due corde e trovare il punto di intersezione degli assi.
Si definiscono: corda, arco di circonferenza, settore circolare.
Data una circonferenza è importante la relazione che c’è tra il raggio, la lunghezza delle corde, la
loro distanza dal centro. Per aiutare gli allievi a capire e ricordare questi importanti risultati è utile
far produrre modelli di cartoncino di cerchi, sui quali siano indicati il centro e il raggio, che possano
essere piegati per verificare sperimentalmente le relazioni che seguono.
-La distanza OH dal punto O alla corda AB la interseca nel suo punto medio.
-
Ogni segmento che ha per estremi il centro O della circonferenza e il punto medio di una
corda è ad essa perpendicolare.
L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza.
Si può applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAH per individuare uno dei tre lati,
noti gli altri due.
Esercizio
Se una circonferenza ha raggio uguale a 3 cm, puoi tracciare una corda di 6 cm? E una di 8 cm?
Sì la corda di 6 cm è diametro, no quella di 8 cm perché è maggiore del diametro.
Esercizio
Una corda di una circonferenza di raggio 5 cm è lunga 6 cm. Trova la sua distanza dal centro.
Si applica il teorema di Pitagora. Una delle difficoltà degli alunni nel risolvere i semplici problemi
che seguono sta nel rappresentare graficamente i dati. Spesso disegnano un raggio ma non è quello
che permette di individuare il triangolo rettangolo OAH. La distanza è di 4 cm.
Esercizio
Una corda di lunghezza 24 cm dista dal centro 5 cm. Calcola il raggio della circonferenza.
Si applica il teorema di Pitagora. Il raggio è di 13cm
Si può notare che, in una circonferenza, più la corda è lunga più si riduce la sua distanza dal
centro.
Corde parallele hanno i punti medi appartenenti allo stesso diametro
Esercizio
Se due corde sono parallele ed uguali, come risultano le loro distanze dal centro della
circonferenza? Spiega la tua risposta aiutandoti anche con il disegno.
Si può misurare la lunghezza ed osservare che OH = OK o considerare i due triangoli OAH e OKB.
Hanno A O H K O B perché opposti al vertice, AH KB perché metà di segmenti congruenti,
AO OBperché raggi della stessa circonferenza. Sono congruenti per uno dei criteri di
congruenza dei triangoli rettangoli, quindi OH e OK sono congruenti. L’ipotesi di parallelismo è
indispensabile per asserire che i punti H, O, K , e A, O,B sono allineati.
Introduzione di nuovi termini: retta “secante”, “tangente”, “esterna ” ad una circonferenza.
Scoperta del teorema:
se d < r allora la retta è secante, se d = r la retta è tangente, se d > r la retta è esterna (d è la
distanza dal centro alla retta r il raggio della circonferenza).
Esercizio
Disegna due rette perpendicolari. Dove deve essere situato il centro di una circonferenza che sia
tangente contemporaneamente ad entrambe le rette? Di queste circonferenze ne esiste una sola? Ne
esistono un numero finito o infinito? Rispondi aiutandoti con il disegno.
Esistono infinite circonferenze aventi il centro sulla bisettrice di uno degli angoli formati dalle due
rette.
Esercizio
Indica per ciascuna delle rette della figura se è secante, tangente o esterna alla circonferenza data.
Segmenti di tangenza condotti per uno stesso punto ad una circonferenza sono congruenti.
padronanza e memorizzazione di nuovi termini : “secante”, “tangente”, “esterno a”, riguardanti la
posizione reciproca di due circonferenze e le relazioni metriche che legano OO’ e i raggi.
Non credo che sia utile memorizzare le relazioni tra i centri OO’ e i raggi, ma saper ragionare nei
casi specifici.
Esercizio
Associa a ciascuna relazione la figura corrispondente.
a. OO’ = r + r’ b. OO’ > r + r’ c. OO’ = r - r’ d. OO’ < r - r’ e. OO’ < r + r’
1.
2.
3
.
4
5.
a e2 - b e 1 - c e 4 – d e 5 – e e 3.
Esercizio
Due circonferenze sono tangenti esternamente e hanno distanza tra i centri di 12 cm. Se il raggio di
una è doppio di quello dell’altra, calcola la lunghezza dei due raggi.
Esercizio
Due circonferenze sono tangenti internamente e i loro centri distano 8 cm. Calcola la lunghezza dei
raggi, sapendo che uno è il quintuplo dell’altro.
Questi due esercizi si possono risolvere con il metodo grafico, impostando le proporzioni (nel
primo caso si applica il comporre, nel secondo lo scomporre) o con le equazioni.
Individuazione di angoli al centro e alla circonferenza che insistono su un assegnato arco e relazione
tra le loro ampiezze
DEFINIZIONE di angolo al centro : data una circonferenza si dice angolo al centro ogni angolo che
ha il vertice nel centro della circonferenza (sarebbe meglio specificare: ogni angolo complanare con la
circonferenza)
DEFINIZIONE di angolo alla circonferenza: data una circonferenza si dice angolo alla
circonferenza ogni angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti oppure uno
secante e uno tangente.
Difficoltà a rappresentare graficamente un angolo al centro, assegnato un angolo alla circonferenza e
viceversa
Difficoltà a lavorare con angoli alla circonferenza con un lato secante e l’altro tangente
Relazione tra un angolo al centro e gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso
arco.
Qui occorre dedicare un po’ di tempo alle rappresentazioni grafiche, i teoremi possono essere
memorizzati più facilmente se c’è una verifica sperimentale, usando il compasso, il goniometro, la
carta trasparente. Se la classe segue bene si può proporre la dimostrazione. Da evidenziare che un
angolo che insiste su una semicirconferenza è retto.
Esercizio
Determina le ampiezze degli angoli dei triangoli ABO e BOC.
E’utile affrontare questa parte? Sì, se si vuole giustificare che alcuni quadrilateri convessi sono
inscrittibili in una circonferenza ed altri no.
Introduzione di : si può richiedere agli alunni di produrre cerchi di cartoncino di raggi diversi o di
considerare modelli di solidi che hanno per base un cerchio (lattine, CD, ecc) e, servendosi di un
metro da sarta (flessibile), si rileva la lunghezza del diametro e della circonferenza. Si invitano gli
alunni a calcolare il rapporto tra la lunghezza di ogni circonferenza e il relativo diametro. Si può
fare la media aritmetica tra i valori registrati dagli allievi e scoprire che questo valore è costante e
viene indicato con .
C
Già in questa uguaglianza c’è una difficoltà legata alla divisione e al concetto di rapporto.
d
Un altro metodo consiste nell’osservare diverse circonferenze aventi raggio doppio, triplo,
quadruplo,.. di una di raggio assegnato e notare che anche la lunghezza delle circonferenze
C
si cerca di stabilire il valore di considerando il quadrato
raddoppia, triplica,.. Chiamato
d
circoscritto ad una circonferenza (ha tutti i lati tangenti alla circonferenza)
e l’esagono regolare inscritto. Risulta: 8r > Cr. Per cui 4 > > 3.
Aumentando il numero dei lati e considerando i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti
si può ottenere una migliore approssimazione.
Difficoltà a comprendere la ”natura” di : nel corso dei secoli si sono utilizzate diverse
approssimazioni; solo nel 1882, grazie a Lindemann, si ha la dimostrazione che è trascendente
(l’irrazionalità era già stata dimostrata); ha infinite cifre dopo la virgola ed esse non si ripetono
periodicamente, inoltre non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi. Non si
può esprimere mediante radici quadrate. Con questa dimostrazione si mette il punto fermo alla
questione: è possibile quadrare un cerchio con gli strumenti riga e compasso? NO. Questo per noi
equivale a dire che non si può rappresentare sulla retta reale con i soliti strumenti. Dunque è
errore asserire che = 3,14. Meglio utilizzare anche nelle formule , quando ciò è possibile o
specificare 3,14.
Formula: C = 2 r e formula inversa
La difficoltà è legata alla scarsa padronanza delle proprietà delle operazioni: non sempre è chiaro
perché dato r = 4 cm è possibile scrivere C 8 cm, mettendo il prima dell’unità di misura.
Esercizio
La somma delle lunghezze di due circonferenze è 14 m e una è
9
dell’altra. Calcola la lunghezza
5
dei loro raggi.
Si può risolvere con il metodo grafico, impostando una proporzione o un’equazione.
r1 4,5 m e r 2 2,5 m .
Calcolo dell’area della superficie del cerchio: un’esperienza estremamente utile è quella
di realizzare modelli di cerchi di materiale diverso (compensato, cartone pressato, plexiglass) aventi
il raggio , per esempio di 5cm, 10 cm e 15 cm e modelli di quadrati dello stesso materiale, aventi il
lato uguale al raggio dei cerchi. Avendo a disposizione una bilancia digitale si possono pesare i
Pesocerchio
3,14 .
cerchi e i quadrati e scoprire che
Peso quadrato
Supponendo che ai modelli di cerchio e quadrato corrispondano lo stesso spessore e lo stesso peso
A
specifico si può dedurre che a pesi uguali corrispondano superfici uguali, quindi cerchio .
Aquadrato
Altra possibilità è considerare i poligoni regolari circoscritti. All’aumentare del numero di lati l’area
del poligono si avvicina sempre di più all’area del cerchio. A = 2pxa/2, sostituendo al posto di 2p
2r, al posto di a r (raggio) e semplificando si ottiene A=r2 .
Esercizio
Calcola la lunghezza del diametro di un cerchio di area 289 cm2 .
C
A
La difficoltà sta nell’utilizzare la formula inversa. Quando si scrivono r
è utile
or
2
utilizzare gli schemi con le frecce ed invertire al ritorno le operazioni.
2
r
2r
C
r
2r
C
:2
:
Esercizio
Due amici acquistano la pizza: Pino un trancio rettangolare avente il lato di 20 cm, Gino una pizza
tonda, avente il raggio di 15 cm. Supposto che entrambi abbiano finito la loro porzione, chi ha
mangiato quella più estesa?
Pino: 400 cm 2 , Gino più di 3 225 cm 2 . Ovviamente non serve , ai fini del problema, sostituire il
valore 3, 14 o tenere !
memorizzazione delle formule sopra menzionate: in entrambe le formule compaiono 2, r, ,
ma sono legati tra loro da operazioni diverse. In 2r compaiono due moltiplicazioni, in rc’è un
elevamento al quadrato e una moltiplicazione. Non considerando l’unità di misura spesso gli allievi
non percepiscono che la seconda formula si riferisce all’area di una superficie. Inoltre, poiché hanno
difficoltà a padroneggiare le proprietà delle operazioni, non capiscono perché in 2r se si
sostituisce a r il valore 4 cm si può spostare in fondo e scrivere 8 cm.
Si possono poi trattare:
il legame tra ampiezza angolo al centro, area di un settore circolare: proporzioni, formula per area
settore (utile per calcolare l’area laterale di un cono), uso in statistica per la rappresentazione di dati
mediante aerogrammi.
day: festeggiamenti per un numero così importante!
Il 14 marzo (3-14) di ogni anno!
