Aspettative razionali e modelli di
crescita
Dispense per il corso di Macroeconomia M (A.A. 2014/2015)
Vittoria Cerasi
Contents
1 Introduzione ai modelli con aspettative razionali
1.1 Aspettative razionali ed equilibri stazionari . . . . . . . .
2
2
2 La
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3
4
5
7
dinamica della curva dei rendimenti
Relazione tra tassi di interesse a lunga e a breve . . . . .
Il modello IS-LM dinamico (di economia chiusa) . . . . .
Analisi gra…ca della dinamica . . . . . . . . . . . . . . .
E¤etto di politiche economiche anticipate e non anticipate
3 Modello di crescita (Solow)
3.1 Modello di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Modello con progresso tecnico . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
15
4 Modello con sentiero di consumo ottimale (Ramsey)
4.1 Golden rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Golden rule modi…cata . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
18
5 Modello a generazioni sovrapposte
5.1 Il modello di Diamond . . . . . . . . . .
5.2 Modello con eredità . . . . . . . . . . . .
5.3 Sistemi di previdenza sociale . . . . . . .
5.4 Debito pubblico e equivalenza ricardiana
22
22
27
29
31
A Introduzione ai diagrammi di fase
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35
Sono particolarmente grata ad Alberto Peretti per aver contribuito coi suoi commenti puntuali a migliorare il contenuto della parte relativa ai digrammi di fase.
1
1
Introduzione ai modelli con aspettative razionali
Per analizzare l’impatto delle politiche economiche sui principali aggregati economici è conveniente utilizzare un modello IS-LM dinamico in
cui si introducono esplicitamente le aspettative. Le aspettative costituiscono infatti uno degli elementi dinamici che spiegano l’aggiustamento
delle variabili macreconomiche da un equilibrio all’altro. Per fare questo
utilizzeremo l’apparato dei diagrammi di fase, metodo che ci consente
di analizzare le proprietà dinamiche dei sistemi di equazioni di¤erenziali
senza dover ricorrere alla soluzione analitica.
1.1
Aspettative razionali ed equilibri stazionari
Nella letteratura economica due sono le ipotesi che si fanno sul meccanismo di formazione delle aspettative degli agenti: 1) aspettative adattive,
2) aspettative razionali. Le aspettative adattive si formano guardando
alla storia passata dell’economia (in realtà l’ipotesi più comune è che
le aspettative si formano prendendo in considerazione un solo periodo
precedente tra tutti quelli del passato dell’economia) e sono perciò dette
”backward looking”(che guardano all’indietro). Le aspettative razionali
invece presuppongono che i) gli individui sappiano anticipare l’equilibrio
del sistema economico e ii) non commettano errori sistematici nelle previsioni. Questo implica che siano in grado di formulare aspettative tenendo
conto di tutti gli elementi del sistema economico, comprese le regole di
politica economica1 e sappiano risolvere le equazioni che descrivono il sistema economico trovando la soluzione di equilibrio. Queste aspettative
sono dette ”forward looking” (che guardano in avanti). Le aspettative
razionali, insieme all’ipotesi che il sistema economico sia descritto da un
SED, implicano che la soluzione di equilibrio sia un punto di sella. Il
punto di sella ha infatti la caratteristica di essere stabile rispetto ad una
delle variabili e instabile rispetto all’altra. La variabile, la cui soluzione
presenta instabilità, è quella su cui gli individui formano aspettative
razionali. L’aggiustamento del sistema prevede che la variabile stabile si
muova con gradualità verso l’equilibrio, mentre la variabile instabile si
aggiusti istantaneamente in modo da convergere univocamente e senza
errori al nuovo equilibrio.
Per questo si de…niscono variabili ”‡essibili”quelle su cui si formano
1
A questo proposito è utile menzionare l’argomento della critica di Lucas che
riguarda la valutazione dell’impatto delle politiche economiche. In un modello con
aspettative razionali i parametri strutturali del modello dipendono dalle regole di
politica economica. E quindi, se per fare previsioni sull’impatto di una nuova regola
di politica economica si utilizzasse una stima dei coe¢ cienti di un modello, stimati
sulla base delle vecchie regole di politica economica, si otterrebbero risultati non
attendibili.
2
le aspettative, mentre variabili ”predeterminate” quelle che dipendono
dal loro valore passato.
2
La dinamica della curva dei rendimenti
Per iniziare introduciamo la dinamica nella curva dei rendimenti con
lo scopo di studiare l’impatto delle politiche economiche sulla struttura
dei tassi di interesse. Come si vedrà la curva dei rendimenti si sposta in
ogni istante successivo all’annuncio o all’implementazione di una politica
economica.
2.1
Relazione tra tassi di interesse a lunga e a breve
Supponiamo che vi siano due soli titoli: un titolo a breve con rendimento
istantaneo r(t) e un titolo a lunga (irredimibile) che paga una cedola c
costante in ogni istante. Per confrontare i due titoli dobbiamo calcolare
il rendimento del titolo a lunga. Il prezzo di un titolo pB (t) con cedola
irredimibile c è dato dal suo valore attuale, ovvero
pB =
c
1
1
1+
+
+ :::
1+R
1 + R (1 + R)2
Dentro parentesi si ha una serie geometrica di ragione < 1 che converge a 1+R
; mentre il prezzo pB converge a Rc : Da questo ricaviamo che
R
il rendimento istantaneo di un titolo irredimibile è R(t) = pBc(t) . Investire in un titolo a lunga garantisce oltre al rendimento istantaneo R,
omettendo l’indice temporale, un pro…tto (o una perdita in conto capitale) per il fatto che, in caso il titolo venisse venduto, il suo prezzo è
salito rispetto al periodo precedente, p0B > 0 (o viceversa p0B < 0 se il
suo prezzo è sceso). Per brevità d’ora in poi indicheremo con un pallino
sopra la variabile, cioè x; la variazione nel tempo della variabile x, ovvero
x0 (t): Il rendimento totale del titolo a lunga è allora dato dalla somma del
suo rendimento istantaneo e dai guadagni (o perdite) in conto capitale:
:
c
p
+ B
pB pB
(1)
Dalla relazione tra prezzo del titolo a lunga e suo rendimento istantaneo possiamo ricavare il termine relativo ai guadagni in conto capitale.
La derivata rispetto al tempo di pB è data da
pB =
d c
cR Rc
=
dt R
R2
poichè la cedola non varia nel tempo c = 0;: sostituendo la de…nizione di
:
prezzo del titolo pB si ottiene che ppBB : = R
: Tenendo conto del risultato
R
3
appena trovato e sostituendo al posto del primo termine la de…nizione
di rendimento istantaneo, il rendimento di un titolo a lunga è dato da:
:
R
R
(2)
R
L’equilibrio sul mercato dei titoli, in assenza di costi di transazione
e con operatori neutrali al rischio, richiede che ogni opportunità di arbitraggio venga sfruttata. In equilibrio dunque i rendimenti dei titoli a
breve e di quelli a lunga dovranno essere uguali. Si ricava dunque la
seguente condizione di arbitraggio:
:
R
=R r
(3)
R
La condizione di arbitraggio è in realtà un’equazione di¤erenziale che
spiega la relazione tra i tassi di interesse a breve e i tassi di interesse a
lunga. Riscriviamo la relazione tra i tassi di interesse come:
:
R
R=r+
R
Questa condizione ci dice che il rendimento dei titoli a lunga deve
uguagliare quello dei titoli a breve ogni qualvolta il rendimento dei titoli
a lunga, o il prezzo dei titoli a lunga, non varia. L’ultimo termine va
in realtà interpretato come variazione attesa del rendimento dei titoli a
lunga. La relazione perciò può essere così interpretata: se non vi fossero
guadagni attesi (o perdite attese) in conto capitale, allora il rendimento
dei titoli a lunga deve coincidere con quello dei titoli a breve. Se invece
ci si attende che il prezzo dei titoli a lunga salirà (diminuzione dei rendimenti in futuro) allora il rendimento istantaneo dei titoli a lunga sarà
inferiore a quello dei titoli a breve.
2.2
Il modello IS-LM dinamico (di economia chiusa)
Il modello IS-LM descrive il comportamento degli operatori sul mercato
dei beni e della moneta. In particolare sul mercato dei beni la domanda
aggregata y D è data dalla seguente funzione:
y D = cy
R+g
(4)
dove y indica il reddito aggregato, R il tasso di interesse a lunga
e g un indicatore della politica …scale. Il primo termine rappresenta
il consumo aggregato, mentre il secondo termine cattura l’impatto del
tasso di interesse sugli investimenti. Il tasso di interesse è quello di lungo
periodo, perchè l’orizzonte temporale delle decisioni di investimento è il
4
lungo periodo. In…ne g è un indicatore dell’impatto del disavanzo di
bilancio pubblico sulla domanda aggregata.
Sul mercato della moneta l’equilibrio tra o¤erta e domanda di moneta, rappresentato dalla LM, è dato da:
m
p = ky
(5)
hr
dove m rappresenta l’o¤erta nominale di moneta, p il livello dei prezzi
e r il tasso di interesse a breve. Il lato destro della LM si basa sull’ipotesi
che la domanda di moneta dipenda direttamente dal livello del reddito
e inversamente dal tasso di interesse. Il tasso di interesse rilevante in
questo caso è il tasso a breve, in quanto rappresenta il costo opportunità
di tenere la propria ricchezza in forma liquida, per esempio su un conto
corrente la cui remunerazione è legata ai tassi di interesse a breve. Per
quanto riguarda il lato sinistro della LM invece di avere il rapporto
tra o¤erta nominale di moneta e livello dei prezzi, abbiamo la forma
logaritmica di tale rapporto. Questa variante sempli…ca l’analisi senza
modi…care i risultati.
Dobbiamo ora introdurre la dinamica nel modello. Supponiamo che
la produzione si aggiusti gradualmente agli eccessi di domanda aggregata, ovvero che y vari secondo la seguente equazione di¤erenziale:
:
y = (y D
(6)
y)
Per quanto riguarda i tassi di interesse la loro dinamica è data dalla
curva dei rendimenti (3) introdotta nel paragrafo precedente. A questo
punto il modello IS-LM dinamico è composto dalle equazioni (3) - (6)
che de…niscono la dinamica dell’economia nelle due variabili (y; R): Si
noti che in questo modello y è la variabile ”predeterminata”il cui comportamento futuro dipende unicamente dal comportamento passato del
sistema economico, mentre R è la variabile ”‡essibile” il cui comportamento dipende dalle aspettative sul futuro equilibrio del sistema.
2.3
Analisi gra…ca della dinamica
Passiamo ora all’analisi del diagramma di fase de…nito dalle due equazioni
di¤erenziali ottenute risolvendo il sistema (3)-(6), ovvero:
y = [g
R
=R
R
R
(1
c)y]
k
(m p)
y+
h
h
5
(7)
(8)
:
:
L’equilibrio stazionario si trova imponendo y = R = 0: Dalla (7), quando
:
y = 0 si ottiene:
1
y=
R+
g
(9)
1 c
1 c
Questa retta rappresenta la relazione tra reddito e tasso di interesse
di lungo periodo per cui si ha equilibrio nel mercato dei beni, altrimenti nota come IS. La relazione tra reddito e tasso di interesse di lungo
periodo è negativa e rispecchia l’usuale relazione inversa tra tasso di interesse e domanda aggregata sul mercato dei beni, generata attraverso la
componente degli investimenti. Un tasso di interesse minore comporta
investimenti più elevati e dunque una domanda aggregata, a cui segue
un livello di produzione, maggiore.
Possiamo rappresentare questa relazione in un gra…co tra R e y nella
…gura 1.
Fig.1
:
Alla destra della retta stazionaria y = 0 (che indichiamo d’ora in
avanti con IS), a parità di R; un reddito più elevato, corrisponde ad un
:
eccesso di o¤erta, e quindi la produzione si riduce nel tempo, y < 0:
:
Viceversa alla sinistra della retta stazionaria y > 0:
Passiamo ora all’equilibrio stazionario per il tasso di interesse. Quando
:
R = 0 (che indichiamo d’ora in avanti con LM) dalla (3) ne consegue che
R = r: Sostituendo nella (5) otteniamo una relazione diretta tra tasso
di interesse a lunga e reddito, che rappresenta l’usuale relazione positiva
6
sul mercato della moneta tra tasso di interesse e reddito, altrimenti nota
come LM:
k
1
R= y
(m p)
(10)
h
h
Ad un tasso di interesse maggiore, che implica un costo opportunità
maggiore di detenere moneta, deve corrispondere un reddito più elevato,
capace cioè di generare una maggiore domanda di moneta.
Possiamo quindi rappresentare sempre nella …gura 1 la relazione
stazionaria tra reddito e tasso di interesse sul mercato della moneta con
una retta inclinata positivamente. Alla destra della LM, a parità di
tasso di interesse un reddito più elevato genera una domanda di moneta
più elevata e questo richiede un aumento
del tasso di interesse a breve.
:
Dalla (3) però questo comporta che R < 0. La ragione è che un tasso
di interesse a breve più elevato rende i titoli a lunga meno appetibili.
A parità di: R occorre che si generino aspettative di guadagni in conto
capitale, R < 0, a¢ nchè i rendimenti dei due titoli siano uguali e non
vi siano opportunità di arbitraggio
non sfruttate. Viceversa alla sinistra
:
della retta stazionaria R > 0.
Possiamo dunque sistemare le frecce nel diagramma di fase nella
…gura 1. Le traiettorie attraversano la retta stazionaria IS verticalmente, mentre attraversano la retta stazionaria LM orizzontalmente.
Dallo studio delle frecce e delle traiettorie, si ricava che l’equilibrio
stazionario è un punto di sella attraversato da un unico sentiero stabile, che indichiamo con SS, la cui pendenza è positiva.
2.4
E¤etto di politiche economiche anticipate e non
anticipate
A questo punto è possibile studiare l’impatto delle politiche economiche
sulla produzione e sulla struttura dei tassi di interesse. Le politiche
economiche entrano nel modello attraverso l’o¤erta nominale di moneta m per quanto concerne la politica monetaria e attraverso l’indice g
per quanto riguarda la politica …scale. Come già visto, le politiche economiche hanno un impatto distinto a seconda che la politica economica
sia temporanea o permanente. Inoltre le politiche economiche possono
essere previste dagli operatori, perchè anticipate mediante annunci di politica economica dalle autorità competenti, oppure non anticipate, perchè attuate senza preavviso. Vedremo esempi dei diversi tipi di politiche
economiche iniziando dalla politica monetaria.
Caso 1: Vediamo innanzitutto il caso di una politica monetaria
restrittiva inattesa e permanente: supponiamo che al tempo t0 la
Banca Centrale riduca, senza preavviso, la base monetaria, provocando
7
una restrizione nell’o¤erta di moneta nominale m < 0: Nella …gura
2 l’equilibrio iniziale è indicato con la lettera A.
Fig.2
In seguito alla stretta monetaria, la curva LM si sposta in alto, diventando la curva LM’. L’equilibrio …nale, che indichiamo con B, comporterà una riduzione di reddito e un rialzo dei tassi di interesse a breve,
così come in un modello statico IS-LM. L’elemento nuovo nell’analisi è
il processo di aggiustamento da un equilibrio all’altro. Al tempo t0 , momento in cui la stretta monetaria si veri…ca, il reddito non varia poichè
abbiamo ipotizzato che si aggiusti lentamente nel tempo. La variabile
che reagisce immediatamente è il tasso di interesse sui titoli a lunga.
Poichè il tasso di interesse a breve è aumentato (lo si legge sulla LM’
a parità di reddito yo ) e inoltre in futuro sarà pari a r1 , ci si aspetta
che anche il tasso di interesse sui titoli a lunga cresca. Di quanto aumenta al momento della stretta monetaria però dipende dalla dinamica
dell’aggiustamento. Il tasso di interesse a lunga salta verticalmente sul
nuovo sentiero di sella SS’, incontrandolo nel punto C, in modo da convergere in un tempo futuro t0 al nuovo equilibrio B. Come si vede dal
diagramma di fase, il rialzo del tasso di interesse a lunga al momento
della stretta monetaria è superiore alla variazione attesa del tasso a breve
nel lungo periodo, r = r1 r0 ; ma inferiore alla variazione del tasso a
breve nel momento in cui viene attuata la stretta monetaria.
Poichè al tempo t0 ; r(t0 ) > R(t0 ); occorre infatti che si determinino
aspettative di guadagni in conto capitale a¢ nchè i rendimenti dei titoli
8
:
a breve e a lunga si equivalgano, ovvero che R < 0. Ma un’aspettativa
di discesa dei tassi a lunga è giusti…cabile solo se oggi R aumenta più che
nell’equilibrio di lungo periodo. Alternativamente, in seguito al rialzo
del tasso a breve, poichè ci si attende che i tassi a breve diminuiscano
nel lungo periodo, il tasso a lunga aumenta internalizzando questa aspettativa e dunque l’aumento sarà inferiore a quello del tasso a breve.
Esercizio 1 Si disegni la curva dei rendimenti in ogni istante successivo alla stretta monetaria, mostrando che la curva dei rendimenti ha
un’inclinazione negativa. Si abbia cura di indicare in un gra…co a parte
il livello dei tassi a breve e di quelli a lunga per ogni istante di tempo.
Caso 2: Analizziamo ora una politica monetaria restrittiva permanente e anticipata. Supponiamo che la Banca Centrale annunci
che al tempo t1 intende ridurre la quantità o¤erta di moneta nominale
di m < 0. Come cambia in questo caso la reazione dei tassi di interesse
a lunga rispetto al caso precedente? L’e¤etto di lungo periodo è identico,
tuttavia il fatto che la stretta sia anticipata comporta un diverso impatto
sulla struttura dei rendimenti, in particolare la curva dei rendimenti sarà
inclinata positivamente anzichè negativamente per il periodo successivo
all’annuncio. Nella …gura 3 rappresentiamo l’equilibrio iniziale con la
lettera A e quello …nale con la lettera B.
Fig.3
9
Al tempo t0 in seguito all’annuncio della Banca Centrale i tassi di
interesse di lungo periodo aumentano, in previsione del rialzo dei tassi
di interesse a breve al tempo t1 . Di quanto aumentano i tassi a lunga
dipende dal processo di aggiustamento. Nel lungo periodo il tasso a
lunga sarà r1 : Nel breve il tasso a lunga, a parità di reddito y0 , balza
al punto C per andare sulla traiettoria che porta al nuovo sentiero di
sella SS’, intersecandolo nel punto D al tempo t1 . Il tasso di interesse
a lunga sconta in anticipo il rialzo dei tassi futuri aumentando, anche
se meno che proporzionalmente, rispetto al tasso di interesse a breve.
L’e¤etto recessivo della stretta monetaria è dunque anticipato proprio
per via del rialzo del tasso a lunga. Nonostante la stretta monetaria non
sia ancora e¤ettiva in t 2 [t0 ; t1 ) il livello di produzione si riduce, come
appare lungo il sentiero di aggiustamento da C a D.
Esercizio 2 Si ricavi la dinamica della curva dei rendimenti per la
stretta di politica monetaria annunciata qua sopra. In particolare si
mostri come la curva dei rendimenti risulti inclinata positivamente.
Caso 3: Vediamo ora l’e¤etto di una politica monetaria restrittiva temporanea e inattesa. Al tempo t0 la Banca Centrale restringe
l’o¤erta nominale di moneta di m < 0, ma annuncia anche che al
tempo t1 l’o¤erta di moneta ritornerà al livello precedente. Il tasso di
interesse di breve periodo dunque subisce un rialzo. Il tasso di interesse di lungo periodo però sconterà la temporaneità di questo rialzo. Ci
attendiamo dunque che il tasso a lunga aumenti meno che proporzionalmente rispetto ai tassi a breve. Nella …gura 4 mostriamo l’e¤etto della
stretta monetaria temporanea sul tasso a lunga.
10
Fig.4
Al tempo t0 partendo dall’equilibrio iniziale A, la LM si sposta in alto
determinando una nuova intersezione ”virtuale”(nel senso che quell’equilibrio
non viene mai raggiunto) nel punto B. La dinamica dell’aggiustamento
però dipende dal sistema IS-LM’. Il tasso a lunga in particolare, dato
che il livello di produzione è y0 ; balza al punto C dove incontra una
traiettoria che interseca il sentiero di sella SS nel punto D al tempo t1 ,
quando cioè la stretta monetaria non sarà più e¤ettiva. Come appare
dal diagramma, il tasso di interesse a lunga aumenta al tempo t0 ; di una
misura inferiore rispetto al tasso a breve (il tasso a breve si legge sulla
LM’a parità di y0 ) scontando cioè il futuro ribasso dei tassi di interesse
a breve.
Esercizio 3 Si determini la curva dei rendimenti nel caso sopra illustrato, mostrando come la curva risulti inclinata negativamente tra t0 e
t1 .
Così come nel caso della politica monetaria è possibile applicare gli
stessi strumenti di analisi per valutare l’impatto dell’altro strumento di
politica economica, la politica …scale.
Caso 4: Possiamo per esempio analizzare l’impatto di una politica
…scale restrittiva attesa e permanente: al tempo t0 il Governo
annuncia che in t1 ridurrà il disavanzo …scale di g < 0. Nella …gura 5
indichiamo con A l’equilibrio iniziale, mentre con B l’equilibrio …nale.
11
Fig. 5
Nel lungo periodo i tassi di interesse scenderanno così come il livello della produzione. Il tasso di interesse di lungo periodo diminuirà
in anticipo, in previsione del ribasso dei tassi a breve. L’ammontare
della riduzione del tasso di interesse di lungo periodo però dipende dal
processo di aggiustamento. In particolare il tasso a lunga si ridurrà …no
al punto C, a parità di reddito y0 , dell’ammontare necessario a raggiungere la traiettoria che incrocia il sentiero di sella SS’al tempo t1 per poi
convergere nel lungo periodo al tasso di interesse a breve r1 .
E’ interessante osservare come l’annuncio di una politica …scale restrittiva produca un e¤etto espansivo nel breve periodo, ovvero come y
aumenti tra C e D a causa di un ribasso del tasso di interesse a lunga.
Esercizio 4 Dimostrate, nel caso sopra esposto, che la curva dei rendimenti è inclinata negativamente tra t0 e t1 poichè gli operatori si attendono un ribasso dei tassi di interesse a breve.
Esercizio 5 Supponete che il Governo senza preavviso riduca il disavanzo di bilancio per un periodo limitato, annunciando che la manovra
terminerà in t1 : Discutete l’impatto di tale politica …scale restrittiva non
anticipata e temporanea sulla curva dei rendimenti e sulla produzione.
Esercizio 6 Supponete che il Governo annunci una politica …scale restrittiva in futuro, accompagnata però da una politica monetaria espansiva al …ne di neutralizzare l’e¤etto recessivo della prima. Si mostri come
12
l’impatto di tali politiche economiche possa creare un e¤etto espansivo
nel breve periodo.
3
Modello di crescita (Solow)
Ci occupiamo ora del modello di crescita di Solow: questo modello è
un caso particolare di equazione di¤erenziale a cui possiamo applicare
la tecnica dei diagrammi di fase per trovare la soluzione e e¤ettuare la
statica comparata.
3.1
Modello di base
La produzione totale di un paese può essere rappresentata mediante una
funzione a due fattori (per produrre il bene …nale Y occorre capitale K
e lavoro L):
Y = F (K; L)
(11)
La funzione F (:) ha rendimenti di scala costanti (moltiplicando tutti i
fattori la produzione varia della stessa proporzione, ovvero F ( K; L) =
Y ) e rendimenti marginali decrescenti (ovvero variando uno solo dei
fattori - qua pensando al lungo periodo variamo il capitale - si hanno delle
ine¢ cienze, ovvero FK (:; 1) > 0; ma ad un tasso decrescente FKK (:; 1) <
0). Assumiamo inoltre:
lim FK (K; 1) = 1;
K!0
lim FK (K; 1) = 0
K!1
che sono dette le condizioni di Inada.
Dalla contabilità nazionale
(12)
Y =C +I
con C = cY (funzione di consumo con propensione marginale esogena c)
e
I=K+ K
(13)
(dove l’investimento consente di aumentare lo stock di capitale dopo aver
rimpiazzato lo stock di capitale che si deprezza al tasso ). Si noti che
Y
(14)
C = S = sY
Sostituendo la (13), la (14) e la (11) nella (4) si ottiene
K = sF (K; L)
che è l’equazione dinamica della crescita.
13
K
(15)
Possiamo riscrivere tutto il modello in termini pro-capite. Supponiamo che la popolazione cresca al tasso n.2 Possiamo riscrivere la funzione
di produzione in (11) in termini di capitale pro-capite k K
come
L
y = F (k; 1)
f (k)
Y
dove y rappresenta la produzione pro-capite y
usando la proprietà
L
dei rendimenti di scala costanti della funzione di produzione. L’unico
punto su cui fare attenzione è quando calcoliamo il tasso di accumulazione del capitale in termini pro-capite, ovvero
0
1
K LKA K
K
=@
=
nk
k
L
L
LL
L
da cui sostituendo nella (15) dopo aver diviso tutto per L si ottiene la
seguente equazione dinamica
k = sf (k)
( + n)k
(16)
Possiamo rappresentare l’equazione di¤erenziale (16) con un diagramma
di fase.
Fig. 6
2
Se l’intera popolazione N costituisce tutta la forza lavoro e solo la forza lavoro
(non ci sono disoccupati, altrimenti N = L + U ) allora possiamo dire che anche la
forza lavoro cresce al tasso n:
14
Alla sinistra di k il capitale aumenta nel tempo (poichè sf (k)
( +
n)k = k > 0), mentre alla destra si riduce nel tempo. Questo implica che
E è uno stato stazionario stabile: il valore di k è dato implicitamente
dalla seguente espressione
f (k )
=
k
+n
s
Partendo da un livello di capitale iniziale k0 in un intorno di k il capitale nel tempo converge a k : Si noti come anche k = 0 sia uno stato
stazionario, ma instabile.
Il tasso di crescita del PIL pro-capite è dato dalla seguente condizione
y = f 0 (k )k
(17)
Per de…nizione di stato stazionario k = 0 e dunque y = 0: Ma questo
comporta che il PIL pro-capite cresca allo stesso tasso dello stock di capitale pro-capite, e dunque che numeratore e denominatore di K
crescano
L
nel tempo allo stesso tasso n: Quindi il PIL aggregato cresce al tasso n ,
ma il PIL pro-capite non cambia nel tempo. Conclusione, non si spiega
la crescita del PIL pro-capite.
Esercizio 7 Supponete che per un cambiamento nelle preferenze dei
consumatori la propensione marginale al risparmio s aumenti. Dite
quale impatto ha questa variazione sul tasso di crescita del PIL procapite sia transitorio (sul sentiero di aggiustamento) sia permanente
(sull’equilibrio stazionario).
Esercizio 8 Considerate la funzione di produzione Cobb-Douglas F (K; L)
= K L1 : Dopo aver ricavato l’equazione dinamica del capitale, calcolate il valore di equilibrio del capitale pro-capite nello stato stazionario.
3.2
Modello con progresso tecnico
Introduciamo ora il progresso tecnico come un miglioramento costante
che sposta la frontiera produttiva continuamente verso l’alto a parità di
fattori produttivi. L’ipotesi che viene fatta nel modello di Solow è che il
progresso tecnico consenta di risparmiare il fattore lavoro mano a mano
che il tempo passa. Formalmente si tratta di sostituire nella funzione
di produzione al posto del fattore lavoro L una nuova variabile de…nita
come produttoria di L e del progresso tecnico A (che si suppone crescere
nel tempo al tasso g); questa nuova variabile è detta "unità di lavoro
e¤ettivo" AL: In altre parole la funzione di produzione è
Y = F (K; AL)
15
Dividendo la (15) non più per L ma per AL, cioè per "unità di lavoro
e¤ettive" si ottiene la seguente equazione dinamica
Y
K
=s
AL
AL
K
AL
(18)
Usando la proprietà di rendimenti di scala costanti della funzione di
produzione, otteniamo
Y
=F
AL
K
;1
AL
che possiamo sostituire nella equazione dinamica. Inoltre è facile ricavare
che
K
K
K
=
(g + n)
AL
AL
AL
Se ride…niamo tutte le variabili minuscole come rapporto tra la variabile
e le unità di lavoro e¤ettivo, si ottiene la seguente equazione dinamica
del processo del capitale per unità di lavoro e¤ettivo
k = sf (k)
( + n + g)k
(19)
La rappresentazione gra…ca della dinamica mediante il diagramma di
fase non cambia se non per la retta che ha ora una pendenza pari a
( + n + g): Lo stock di capitale pro-capite nello stato stazionario stabile
è dato implicitamente dall’espressione
f (k )
=
k
+n+g
s
La dinamica del PIL per unità di lavoro e¤ettivo è dato da (17) come
prima. Nello stato stazionario y = 0 poichè k = 0: Questo comporta che
il PIL per unità di lavoro e¤ettivo cresca allo stesso tasso dello stock di
capitale per unità di lavoro e¤ettivo, e dunque che numeratore e denomK
inatore di AL
crescano nel tempo allo stesso tasso n + g: Quindi anche
se il PIL aggregato cresce al tasso n + g , il PIL per unità di lavoro e¤ettivo è stazionario. Il tasso di crescita del PIL pro-capite YL è dato dalla
di¤erenza tra il tasso di crescita del numeratore e quello del denominatore, ovvero (n + g) n: il PIL pro-capite cresce al tasso g: Dunque il
progresso tecnico esogeno spiega un tasso di crescita del PIL pro-capite
diverso da zero in equilibrio (nello stato stazionario). Il modello di Solow
prevede dunque che il motore della crescita sia il progresso tecnico, ma
non spiega perchè in alcuni paesi il progresso tecnico è maggiore rispetto
16
ad altri proprio perchè lo assume esogeno rispetto al sistema economico.
In realtà il livello del progresso tecnico dipende dai comportamenti degli
attori economici coinvolti, ad esempio dalle scelte delle imprese in materia di Ricerca e Sviluppo (R&S), dal sistema legislativo che protegge le
innovazioni, dal sistema educativo che forma i ricercatori e dalla disponibilità di fondi per la ricerca. Studiare gli incentivi di questi attori rende il
progresso tecnico una variabile endogena del modello economico e aiuta
a spiegare perchè il progresso tecnico è diverso da paese a paese. Per
esempio il modello di Aghion-Howitt spiega perchè i diversi attori del
sistema economico scelgano di avviare il processo di innovazione da cui
scaturisce il progresso tecnico. Il progresso tecnico non viene trattato
come una "manna dal cielo", ma come il risultato delle scelte compiute
da parte di imprese che, bilanciando costi e guadagni attesi, decidono
di investire in R&S. Il comportamento degli attori implicati (imprese,
ricercatori e istituzioni) è dettato quindi da motivi di opportunismo economico. L’obiettivo del modello è di spiegare da cosa dipende il tasso di
crescita del progresso tecnico e perchè di¤erisce tra paesi.
4
Modello con sentiero di consumo ottimale (Ramsey)
Nel modello di Solow la funzione del consumo è estremamente semplice: gli individui consumano una porzione …ssa del proprio reddito
corrente che non varia a seconda della fase della vita (ipotesi implicita
nella propensione marginale a consumare costante c 2 (0; 1) e di conseguenza nella propensione al risparmio costante s 1 c). In questa
sezione discutiamo innanzitutto le implicazioni del modello di Solow per
la scelta del livello di consumo massimo nello stato stazionario, per poi
confrontarlo con il risultato del modello di Ramsey dove il consumo è
scelto in maniera ottimale come sentiero dinamico.
4.1
Golden rule
Calcoliamo ora quale è il livello di consumo massimo nel modello di
Solow, ovvero quale valore della propensione al risparmio massimizza il
consumo nello stato stazionario. Il problema non è triviale perchè consumare di più oggi comporta una sottrazione di risorse all’accumulazione
di capitale (si risparmia e si investe di meno in beni produttivi e quindi
lo stock di capitale domani risulta inferiore) che si ripercuote su un minor livello di PIL domani: il risultato è che domani si consuma di meno.
Scegliere un maggior consumo oggi, signi…ca sacri…care il consumo di
domani.
Per arrivare a determinare il livello di consumo massimo, compat-
17
ibile con l’equilibrio stazionario, si parte dalla de…nizione di consumo
implicito nella curva stazionaria k = 0, ovvero:
c = f (k)
(n + + g)k
Il livello di consumo massimo deve soddisfare la seguente condizione del
primo ordine
f 0 (k GR ) = n + + g
Questa condizione è detta "Golden rule". Dice che il livello di capitale
in equilibrio deve essere tale per cui la remunerazione del capitale (che in
mercati competitivi corrisponde alla produttività marginale del capitale)
sia pari al tasso di crescita della popolazione più il tasso di deprezzameno
e il tasso di progresso tecnico. Se rappresentiamo questa condizione
abbiamo che il consumo è massimo nel punto in cui la pendenza della
funzione di produzione è uguale a quella della retta che rappresenta
il tasso di crescita del capitale necessario per mantenere inalterato il
rapporto tra capitale e unità di lavoro e¤ettivo.
Fig. 7
4.2
Golden rule modi…cata
La funzione del consumo del modello di Solow implica che il consumo (e
di conseguenza il risparmio) è funzione del solo reddito corrente e quindi
soggetto a shock del reddito: se vinco una lotteria consumo di più in quel
18
periodo e non successivamente, così come se rimango disoccupato rinuncio a consumare …no a quando non percepirò un reddito! Chiaramente
questa ipotesi non cattura il comportamento dei consumatori (e dunque
dei risparmiatori) che cercano invece di mantenere un tenore di vita il
più uniforme possibile, accantonando in alcuni periodi e decumulando i
propri risparmi in altri.
Questo ci porta al modello di Ramsey dove il pro…lo di consumo
è de…nito ottimale da un punto di vista intertemporale, cioè si sceglie
quanto consumare in ogni periodo compresi i periodi futuri, tenendo
conto del reddito complessivo nell’arco di una vita e rendendo così il
tenore dei consumi il meno variabile possibile. La funzione di risparmio
ha l’obiettivo di trasferire reddito da un periodo all’altro proprio per
questo scopo.
La parte del modello relativa alla produzione e all’accumulazione
del capitale è quella del modello di Solow con crescita demogra…ca n e
assenza di deprezzamento del capitale = 0, per cui la dinamica del
capitale pro-capite è data da
kt = f (kt )
ct
nkt
(20)
Per quanto riguarda il consumo invece si suppone che il comportamento dei consumatori possa essere riassunto dalle scelte di un individuo
rappresentativo che vive all’in…nito3 . L’utilità di questo individuo è funzione del suo consumo in ogni periodo u(ct ): Inoltre assumiamo che la
funzione sia di¤erenziabile, che u0 (ct ) > 0 e u00 (ct ) < 0 e che valgano le
condizioni di Inada
lim u0 (ct ) = 1 ,
ct !0
lim u0 (ct ) = 0;
ct !1
L’utilità complessiva nel periodo iniziale t = 0 è data dalla somma
dell’utilità in tutti i periodi futuri, scontati per il tasso di sconto intertemporale 2 [0; 1] : Questo parametro cattura la preferenza per il
consumo presente a discapito di quello futuro: se = 0 non c’è alcuna
preferenza per il consumo presente, mentre se > 0 il consumo futuro
ha un peso decrescente nella funzione di utilità.
Z 1
U0 =
u(ct )e t dt
(21)
0
Il problema viene risolto secondo il punto di vista del consumatore rappresentativo. Si tratta di un problema di controllo ottimo, dove occorre
3
In questo modello non c’è alcuna fonte di incertezza, nè sul reddito futuro nè
tantomeno sul momento …nale della vita che renderebbe l’orizzonte temporale del
problema …nito (si veda in Blanchard-Fischer (1996) per una trattazione dello stesso
problema con orizzonte …nito).
19
scegliere il pro…lo di consumo fct g per ogni periodo (variabile di stato)
allo scopo di massimizzare l’utilità totale (21), data la variabile di costato kt la cui dinamica è determinata in (20) e dato il livello di capitale
iniziale k0 :
Dal punto di vista matematico, scriviamo la funzione obiettivo per
ogni periodo t
t
Ht = u(ct )e
+
t
[f (kt )
ct
(22)
nkt ]
dove t rappresenta il moltiplicatore della variabile di co-stato.4 La
soluzione richiede di imporre le seguenti condizioni del primo ordine
@Ht
=0
@ct
@ t
@Ht
=
@t
@kt
u0 (ct )e
()
()
t
=
lim kt
t
=0
t
t
[f 0 (kt )
= 0;
(23)
n]
(24)
t
e la seguente condizione
t!1
detta "condizione di trasversalità", che impone uno stock di capitale
nell’ultimo periodo nullo a¢ nchè tutto il reddito dell’ultimo periodo sia
consumato.
t
E’comodo ride…nire il moltiplicatore come t
: Sostituendo
te
in (23) si ottiene
u0 (ct ) = t
(25)
Si noti che derivando rispetto al tempo la nuova de…nizione di moltit
plicatore si ottiene che t = t e t
: Sostituendo la derivata
te
precedente e la nuova de…nizione di moltiplicatore in (24) si ottiene:
t
=
[f 0 (kt )
(n + )]
t
Usando la (25) si giunge …nalmente ad un’equazione dinamica nel consumo
ct
1
=
[f 0 (kt ) (n + )]
(26)
ct
(ct )
00
u (c)c
dove (ct )
è una misura della curvatura della funzione di
u0 (c)
utilità (elasticità dell’utilità marginale del consumo). In…ne sostituendo
la nuova de…nizione del moltiplicatore nella condizione di trasversalità
otteniamo
lim kt u0 (ct )e t = 0
(27)
t!1
4
Si rimanda ai testi come Intriligator M. "Mathematical Optimization and Economic Theory", Prentice Hall, 1991 per i riferimenti matematici.
20
che, date le condizioni di Inada, impone che ct > 0:
Il sistema di equazioni di¤erenziali che de…nisce la dinamica economica è dato dalle due equazioni (20) e (26). Possiamo rappresentare
gra…camente il sistema mediante un diagramma di fase. Le due curve
stazionarie sono così de…nite:
c
c=0 :
[f 0 (k) (n + )] = 0
(28)
(c)
k=0 :
f (k)
nk
c=0
(29)
Nel diagramma qua sotto si mostra che la curva c = 0 è una retta
verticale che non dipende dal consumo, mentre la curva k = 0 è una
curva concava con due intersezioni con l’asse orizzontale.
Fig. 8
L’equilibrio stazionario è dato dall’intersezione delle due curve stazionarie.
In quel punto la condizione che si veri…ca è
f 0 (k ) = n +
con k < k GR poichè il tasso di preferenza intertemporale, qualora > 0;
fa preferire il consumo presente al consumo futuro, questo comporta un
21
minor accumulo di capitale rispetto a quello richiesto dalla Golden Rule.
Come conseguenza in equilibrio il livello di consumo è
nk < cGR
c = f (k )
cioè minore di quello che massimizza i consumi. Studiamo ora la dinamica dell’aggiustamento. Prendiamo la curva stazionaria c = 0 :
essendo il lato sinistro dell’equazione (28) decrescente nel capitale, alla
sinistra della retta verticale, cioè per k < k ; il consumo cresce nel
tempo e viceversa alla destra della retta. Per quanto riguarda la curva
stazionaria k = 0 : essendo il lato sinistro dell’equazione (29) decrescente nel consumo, sotto la curva il capitale cresce e viceversa sopra la
curva. Il sentiero stazionario che attraversa il punto in cui le due curve
stazionarie si intersecano è inclinato positivamente. Si tratta di un punto
di sella dove partendo da un livello di capitale iniziale k0 si raggiunge
l’equilibrio stazionario dove il PIL cresce allo stesso tasso di crescita
del modello di Solow (in questo caso ad un tasso nullo, non essendoci
progresso tecnico).
5
Modello a generazioni sovrapposte
Un modo alternativo per spiegare come gli individui risparmino (e dunque
consumino) durante la loro vita è quello di immaginare che non ci sia un
consumatore rappresentativo che vive all’in…nito, ma che ogni individuo
viva un numero …nito di periodi attraversando diverse fasi nella sua vita
(la fase lavorativa e quella da pensionato) e che in queste fasi il comportamento in termini di risparmio cambia. L’idea è di derivare la funzione
di risparmio ottimale in un modello dove convivono generazioni diverse:
questo tipo di modello si chiama "overlapping generations" (OLG), cioè
a generazioni sovrapposte.
5.1
Il modello di Diamond
In questa sezione presentiamo un modello in cui gli individui vivono per
due periodi e in ogni periodo convivono due età i "giovani" e i "vecchi": mentre i giovani lavorano e guadagnano, i vecchi vivono dei loro
risparmi. Possiamo rappresentare la sovrapposizione delle generazioni
nel diagramma qua sotto. Indichiamo con "1" la variabile riferita ai giovani e con "2" la variabile se riferita ai vecchi. Il consumo dei giovani
al tempo t è dunque c1t , mentre quello dei vecchi è c2t . Per il resto
l’economia è esattamente quella del modello di Solow senza progresso
tecnico e con crescita demogra…ca. Supponiamo infatti che i giovani al
tempo t siano n in più rispetto ai vecchi al tempo t-1, ovvero che i giovani siano Lt = (1 + n)Lt 1 dove Lt 1 è la numerosità dei vecchi nati al
tempo t-1.
22
Scriviamo ora l’utilità del consumo della generazione nata nel periodo
t, nell’ipotesi sempli…catrice che sia separabile nei due periodi
u(c1t ) +
1
u(c2;t+1 )
1+
(30)
dove 2 [0; 1) misura il saggio di preferenza intertemporale (soggettivo
ma uguale per tutti gli individui5 ) tra consumo al tempo t e consumo
al tempo t+1: se = 0 l’individuo è indi¤erente tra consumare in t
o in t+1, mentre quanto maggiore è tanto maggiore è la preferenza
dell’individuo a consumare nel presente a discapito del consumo futuro.
Il vincolo di bilancio è dato dal consumo massimo raggiungibile nel periodo t date le risorse disponibili:
c1t = wt
st
(31)
dove wt rappresenta il reddito da lavoro quando l’individuo è giovane,
mentre st è il risparmio che può essere investito per generare un reddito
nel periodo successivo quando l’individuo è in pensione e non ha un
reddito da lavoro; nel periodo successivo dunque il vincolo di bilancio è
dato da
c2;t+1 = st (1 + rt+1 )
(32)
Il tasso di interesse generato dal risparmio è rt+1 : si suppone infatti che
il risparmio venga usato per costituire lo stock di capitale del periodo
successivo e contribuire quindi alla produzione del periodo t+1. Come
vedremo in seguito, la produttività marginale del capitale è posta uguale
al tasso di interesse, quando i mercati dei fattori sono concorrenziali.
Il sentiero del consumo ottimo, ovvero la scelta di c1;t e c2;t+1 che
massimizzano l’utilità in (30) sotto i vincoli (31) e (32) può essere semplicemente ricondotta alla scelta del livello di risparmio dopo aver sostituito i due vincoli nella funzione di utilità. Si ottiene pertanto una
5
Potrebbe tuttavia essere diverso dal tasso di preferenza intertemporale di un
social planner, ovvero il del modello di Ramsey. Infatti il social planner non vive
per due soli periodi, ma ha a cuore tutte le generazioni future essendo il suo orizzonte
in…nito. Discutiamo in seguito le di¤erenze tra il modello OLG con orizzonte …nito
e la soluzione del modello di Ramsey.
23
funzione da massimizzare rispetto a st
u(wt
st ) +
1
u [st (1 + rt+1 )]
1+
da cui discende la condizione del primo ordine
u0 (c1t ) =
1 + rt+1 0
u (c2;t+1 )
1+
(33)
Questa condizione ci dice quante unità di consumo futuro aggiuntive
occorrono perchè si rinunci ad un’unità di consumo oggi: rinunciare al
consumo oggi signi…ca una riduzione di utilità misurata dalla derivata
u0 ; a fronte di questa rinuncia l’aumentata utilità di un consumo futuro
potrebbe controbilanciare questo costo, ma occorre tener conto del rendimento del risparmio al netto del tasso di sconto sul futuro dato da : Solo
se = rt+1 si ha un perfetto bilanciamento tra rinuncia oggi e consumo
futuro, altrimenti se > rt+1 il sacri…cio richiede un incremento più che
proporzionale del consumo futuro.
Scegliamo una forma funzionale speci…ca per la funzione di utilità,
ovvero u(c) = log c per poter ottenere una soluzione analitica del modello. In questo caso la condizione del primo ordine diventa
c1t =
1+
c2;t+1
1 + rt+1
(34)
Sostituendo il livello di consumo nei due periodi dai vincoli stringenti
(31) e (32), si ricava la funzione di risparmio ottimale
st =
wt
2+
(35)
dove la propensione marginale a risparmiare varia tra zero e 0.5. Sostituendo la funzione di risparmio ottimale nei due vincoli stringenti di
cui sopra, ricaviamo il sentiero di consumo ottimale
c1t =
1+
1 + rt+1
wt ; c2;t+1 =
wt
2+
2+
da cui si ricava che il sentiero del consumo individuale è uniforme solo
se = rt+1 :
Aggregando su tutti gli individui dell’economia, poichè il risparmio
viene investito nell’acquisto di capitale necessario per la produzione al
tempo t+1, lo stock di capitale di cui l’economia dispone è dato da
St = Kt+1
24
dove le variabili maiuscole si riferiscono alle variabili aggregate, ottenute
cioè facendo la somma per tutti gli individui. Dividendo entrambi i lati
per il numero di giovani al tempo t, Lt , e dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore del lato destro per Lt+1 ; otteniamo l’equazione
dinamica
st = (1 + n)kt+1
(36)
dove le lettere piccole rappresentano le variabili in termini pro-capite.
Ora consideriamo il lato produttivo del sistema economico rappresentato da una generica funzione di produzione F (Kt ; Lt ) dove Kt è lo
stock di capitale generato dal risparmio della generazione di giovani al
tempo t-1 e Lt è la forza lavoro che corrisponde al numero di individui in
età di lavoro al tempo t (anche qui come nel modello di Solow si suppone
che tutti i giovani siano occupati).
Trattiamo il sistema economico come un’unica impresa che massimizza i pro…tti
wt Lt rt Kt
t = F (Kt ; Lt )
Usando la proprietà di rendimenti di scala costanti nella produzione
possiamo riscrivere la funzione di pro…tto come
t
= Lt f (kt )
wt Lt
r t Kt
La condizione per l’impiego ottimale dei fattori produttivi in mercati
concorrenziali, richiede che l’impresa massimizzi i pro…tti prendendo
come dati i prezzi dei fattori produttivi, ovvero che le seguenti condizioni
di primo ordine siano soddisfatte
@
= f (kt )
@Lt
@
= f 0 (kt )
@Kt
f 0 (kt )kt
rt = 0
wt = 0
(37)
(38)
L’equilibrio del sistema economico è caratterizzato dalla soluzione al
sistema di equazioni (35), (36),(37) e (38). Anche qui per ottenere
una soluzione analitica dell’equilibrio dinamico, scegliamo una forma
funzionale speci…ca per la funzione di produzione, ovvero la funzione
Cobb-Douglas f (kt ) = Akt con 2 (0; 1):
In questo caso speci…co sostituendo nelle due condizioni del primo
ordine otteniamo
(1
Akt 1 = rt
)Akt = wt
25
(39)
(40)
Figure 1: Fig. 9
Sostituiamo la (40) nella funzione di risparmio (35) e otteniamo
st =
A(1
2+
)
kt
A questo punto basta sostituire l’espressione ottenuta nella (36) e si
ottiene un’equazione alle di¤erenze del capitale che esprime la dinamica
del sistema economico
kt+1 =
(1
)
Ak
(2 + )(1 + n) t
Possiamo rappresentare gra…camente l’equazione alle di¤erenze nel diagramma sottostante.
L’equilibrio stazionario per cui kt+1 = kt , la cui esistenza è garantita
dalla condizione dkdkt+1
< 1; che nel nostro caso risulta essere sempre
t
6
soddisfatta , implica un livello di capitale pari a
(2 + )(1 + n)
k =
(1
)A
1
1
)
Occorre dimostare che dkdkt+1
= (2+(1)(1+n)
f 0 (kt ) < 1: Se entrambi sono minori di
t
1, il risultato consegue. Per quanto riguarda il primo multiplo, basta mostrare che
(1
) < (2 + )(1 + n): Questo è senz’altro vero per = 0 e dunque a maggior
ragione per un > 0: Per il secondo termine, poichè il prodotto marginale del capitale
è uguale al tasso di interesse, esso è per de…nizione minore di uno.
6
26
Se sostituiamo questo livello di capitale nella condizione (39) si ottiene
il tasso di interesse nell’equilibrio stazionario
r =
(1
)
(2 + )(1 + n)
E’facile vedere che questo tasso di interesse non soddisfa la Golden Rule
perchè r 6= n: Ricordiamo che il livello di capitale della Golden rule
soddisfa la condizione f 0 (k GR ) = n ed è dato dal livello che garantisce il
massimo livello di consumo a tutte le generazioni nello stato stazionario.
In generale possono veri…carsi due casi:
r > n : si tende a consumare troppo e ad accumulare poco capitale
per cui il livello di capitale in equilibrio è minore di quello della
Golden rule;
r < n : si tende a risparmiare troppo e ad accumulare troppo
capitale per cui il livello di capitale di equilibrio è maggiore di
quello della Golden rule.
Le soluzioni sono diverse nei due casi. Nel primo caso, poichè k <
k
la prima generazione dovrebbe incominciare a risparmiare di più
per consentire alle generazioni future di raggiungere un livello di consumo maggiore. La rinuncia della prima consente alle altre generazioni
di aumentare il loro benessere: tuttavia non essendo una redistribuzione
Pareto e¢ ciente (ovvero che bene…cia tutte le generazioni) non sarà il
mercato ad arrivarci da solo. Occorre una politica economica che induca (forzatamente) la generazione presente a risparmiare di più a favore
delle generazioni future (ad esempio l’introduzione di un sistema di contribuzione "a capitalizzazione").
Nel secondo caso, siccome k > k GR (si dice che l’equilibrio sia connotato da "ine¢ cienza dinamica") basta che la prima generazione cominci
a consumare di più, rinunciando a risparmiare, che favorisce un aumento
del consumo anche delle generazioni future. In questo caso la soluzione
è una redistribuzione Pareto e¢ ciente (che avvantaggia tutte le generazioni senza esclusioni) che può essere indotta da una politica economica
che obblighi la prima generazione a ridurre i propri risparmi (ad esempio
attraverso l’emissione di debito pubblico o l’introduzione di un sistema
di previdenza sociale "a ripartizione").
GR
5.2
Modello con eredità
Vediamo ora cosa succede nel modello OLG quando i genitori si preoccupano del benessere dei propri …gli lasciando loro un’eredità. Anticipiamo il risultato che, essendo l’eredità un trasferimento intergenerazionale, questo comporta il raggiungimento senza l’intervento pubblico
27
dell’equilibrio e¢ ciente (in questo caso della Golden rule modi…cata).
La funzione di utlità della generazione nata al tempo t è data da
Vt = u(c1t ) +
1
1
u(c2;t+1 ) +
Vt+1
1+
1+
(41)
La di¤erenza rispetto alla utilità originaria in (30) è l’ultimo termine
che rappresenta l’utilità della generazione immediatamente futura, ponderata per il tasso di preferenza : se
= 0 i genitori attribuiscono
lo stesso peso all’utilità dei …gli rispetto alla loro utilità; viceversa se
! 1 ai genitori non importa del benessere dei …gli e torniamo al caso
originario.
Ritardando di un periodo l’espressione in (41) abbiamo
Vt+1 = u(c1t+1 ) +
1
1
u(c2;t+2 ) +
Vt+2
1+
1+
e sostituendola nella (41) si ottiene
2
1
1
Vt = u(c1t )+
u(c2;t+1 )+
1+
1+
1
1
u(c1t+1 ) +
u(c2;t+2 ) +
Vt+2
1+
1+
(42)
Il massimo consumo raggiungibile dai giovani nati in t nel primo periodo
è
c1t = wt
st + b t
dove bt è l’eredità dei genitori ai …gli: i genitori lasciano bt (1 + n) in
totale, eredità che viene divisa equamente tra i …gli; mentre nel secondo
periodo
c2;t+1 + (1 + n)bt+1 = (1 + rt+1 )st
dove (1 + n)bt+1 è l’eredità destinata ai …gli. Il problema ora si complica perchè oltre a scegliere il livello di risparmio, gli individui devono
decidere quanto lasciare in eredità. Le scelte sono di due tipi quindi:
un problema di allocazione intertemporale dei consumi per la stessa
generazione (scelta del livello di risparmio), e un problema di scelta
di redistribuzione dei consumi tra generazioni (scelta dell’ammontare
dell’eredità).
Mentre la soluzione al primo problema è dato dalla condizione del
primo ordine (33), ovvero
u0 (c1t ) =
1 + rt+1 0
u (c2;t+1 )
1+
28
la soluzione al secondo problema richiede di scegliere bt+1 che massimizza
(42) dato il vincolo sui consumi dei giovani nati al tempo t+1
c1t+1 = wt+1
st+1 + bt+1
La condizione del primo ordine per la scelta dell’ammontare dell’eredità
è
1+n 0
1
u (c2;t+1 ) =
u0 (c1;t+1 )
1+
1+
qualora bt+1 > 0. Nello stato stazionario i giovani consumano tutti
lo stesso ammontare, ovvero c1;t = c1;t+1 . Combinando allora le due
condizioni del primo ordine si ottiene
1
1+n 0
u (c2;t+1 ) =
1+
1+
1+r 0
u (c2;t+1 )
1+
da cui discende che
(1 + n)(1 + ) = 1 + r
Eseguendo la moltiplicazione dei due fattori nel lato sinistro si ottiene
1 + n + + n: Quando e n sono numeri piccoli minori di 1, possiamo trascurare il termine di secondo ordine. Si ottiene pertanto la
condizione della Golden rule modi…cata per cui r = n + . La conclusione è che se nel modello OLG a orizzonte …nito si include l’opzione di
lasciare un’eredità ai propri …gli, l’equilibrio è quello della Golden Rule
modi…cata del modello di Ramsey; in altre parole se individui che hanno
un orizzonte …nito possono internalizzare l’utilità dei loro discendenti, il
sentiero di consumo ottimale è equivalente a quello che sceglierebbe un
individuo con orizzonte in…nito.
5.3
Sistemi di previdenza sociale
Vediamo ora quali conseguenze hanno i sistemi di previdenza sociale a
capitalizzazione e a ripartizione sull’equilibrio stazionario nel modello
OLG a due periodi in cui ogni generazione si preoccupa solo del suo
benessere e non di quello dei …gli. Un sistema di previdenza sociale
implica che vi sia una redistribuzione tra giovani e vecchi. In particolare
i giovani vengono obbligati a versare dt nella loro fase lavorativa, a bene…cio di quando saranno vecchi e percepiranno bt+1 in aggiunta al frutto
dei propri risparmi. Il modo in cui viene fatta questa redistribuzione
tuttavia ha un impatto diverso sui risparmi e sul livello di capitale accumulato in equilibrio. I vincoli di bilancio della generazione nata in t
cambiano entrambi. La disponibilità di reddito dei giovani sarà ridotta
dell’ammontare del contributo dt ; ovvero
c1t = wt
29
st
dt
(43)
mentre il consumo dei vecchi risulta incrementato per l’ammontare del
bene…cio bt+1
c2;t+1 = st (1 + rt+1 ) + bt+1
(44)
La di¤erenza tra i due sistemi previdenziali, a capitalizzazione o a ripartizione, consiste in un diverso modo di calcolare il bene…cio.
sistema a capitalizzazione
Nel sistema a capitalizzazione, il giovane viene forzato ad accantonare
l’ammontare dt che viene dunque investito, come il risparmio, in stock
di capitale la cui remunerazione è il tasso di interesse rt+1 per poi venire
restituito allo stesso individuo quando sarà vecchio sotto forma di capitale e interessi bt+1 = (1 + rt+1 )dt : Si tratta dunque di una forma di
risparmio forzoso indotto dal sistema previdenziale con la stessa redditività del risparmio privato. Se sostituiamo la de…nizione di contributo
e di bene…cio nei vincoli di bilancio precedenti otteniamo
c1t = wt (st + dt )
c2;t+1 = (st + dt )(1 + rt+1 )
(45)
(46)
Il livello del capitale di equilibrio è determinato dall’equazione dinamica
del capitale che risulta ora
st + dt = (1 + n)kt+1
(47)
E’ immediato notare come non cambi nulla nel sistema di equazioni
che de…niscono la dinamica del sistema economico, una volta che si
ride…nisca il risparmio come set = st + dt , ovvero come somma di due
componenti una privata e una previdenziale. [Calcolare k dell’equilibrio
stazionario]
sistema a ripartizione ("pay as you go")
Questo è per esempio il sistema italiano dove i bene…ci dei vecchi
vengono pagati coi contributi prelevati ai giovani, che a loro volta bene…ceranno dei contributi dei giovani della generazione successiva. In altre
parole i giovani al tempo t pagano un contributo dt che viene versato direttamente ai vecchi al tempo t. I giovani nati in t invece otterranno un
bene…cio bt+1 = (1 + n)dt+1 che sarà versato dalla generazione di giovani
nati in t+1. La di¤erenza rispetto al sistema precedente è che adesso
il tasso di capitalizzazione è n e non più il tasso di interesse di riferimento del sistema economico. Sostituiamo la de…nizione di contributo e
bene…cio in questo caso nei due vincoli di bilancio e otteniamo
c1t = wt (st + dt )
c2;t+1 = st (1 + rt+1 ) + (1 + n)dt+1
30
(48)
(49)
Supponiamo che il contributo sia uguale per tutte le generazioni, ovvero
che dt = dt+1 e sostituiamo i vincoli nella condizione (33) per derivare il
livello di risparmio ottimale,
u0 (wt
st
dt ) =
1 + rt+1 0
u [st (1 + rt+1 ) + (1 + n)dt ]
1+
Confrontandola alla stessa condizione ma nel caso senza il sistema previdenziale si osserva come il sistema previdenziale operi una redistribuzione
dai giovani ai vecchi. Ricaviamo la funzione di risparmio nel caso di utilità logaritmica
st =
wt
2+
dt
2+
1+
(1 + n)(1 + )
wt
<
(1 + rt+1 )
2+
In…ne l’equazione dinamica del capitale è data da
st = (1 + n)kt+1
in quanto i contributi non vengono investiti ma vengono versati direttamente ai vecchi nello stesso periodo: si tratta dunque di un risparmio for@s
zoso che non bene…cia però lo stock di capitale. Pochè @dtt < 0 l’e¤etto
dell’introduzione di un sistema a ripartizione è quello di ridurre lo stock
di capitale in equilibrio. Se il sistema economico si trova in un equilibrio in cui lo stock di capitale è superiore a quello della Golden rule,
l’introduzione di un sistema previdenziale a ripartizione aiuta a conseguire un livello di consumo maggiore obbligando i giovani a risparmiare di meno; questo pero’non accade se il sistema economico si trova in
un equilibrio dove lo stock di capitale è inferiore a quello della Golden
Rule, quando cioè r > n:
5.4
Debito pubblico e equivalenza ricardiana
Analizziamo ora la funzione del debito pubblico. La spesa pubblica può
essere …nanziata in tre modi diversi: 1) attraverso un’imposizione …scale
immediata (tasse) di modo che il disavanzo pubblico sia zero; 2) attraverso un’incremento della base monetaria, che richiede però il consenso
della Banca Centrale e che ha come e¤etto quello di aumentare il livello
dei prezzi; 3) attraverso l’emissione di obbligazioni pubbliche da parte
del Tesoro (aumento del debito pubblico). Noi qua discutiamo l’opzione
3). Se il Tesoro emette titoli pubblici oggi, domani dovrà ripagare anche
la spesa per interessi sul debito emesso, cioè il Tesoro dovrà emettere
nuovi titoli pubblici per …nanziare la restituzione del capitale più gli interessi. E’ chiaro che questo tipo di opzione non può essere utilizzata
all’in…nito, pena la crescita continua del debito pubblico, ma che prima
31
o poi l’emittente debba ripianare il suo debito. Emettere debito pubblico
oggi implica imporre delle tasse in futuro per ripagare il debito e i suoi
interessi.
L’idea quindi è che emettendo titoli pubblici si rimanda il pagamento
delle tasse dall’oggi al domani. La domanda è se questo posporre le
tasse sia neutrale dal punto di vista della accumulazione del capitale.
Secondo la teoria ricardiana …nanziare la spesa pubblica con tasse oggi o
con debito pubblico e quindi tasse future è la stessa cosa, in altre parole
il debito pubblico è neutrale per lo stock di capitale di equilibrio e la
crescita. Vediamo sotto quali condizioni vale questo risultato.
Si consideri una spesa pubblica pro-capite di gt che vada a bene…cio
della generazione giovane al tempo t (per esempio un sussidio). Questa
spesa pubblica viene …nanziata attraverso l’emissione di titoli pubblici
bt pro-capite: Nel periodo successivo t + 1 i titoli pubblici restituiscono
a chi li sottoscrive il capitale più gli interessi (1 + rt+1 )bt : Tuttavia in
t + 1 il governo introduce una tassa pro-capite t+1 (1 + n) allo scopo di
ripianare il disavanzo di bilancio.
Il problema della generazione t è quello di scegliere il proprio risparmio
st in modo da massimizzare la funzione di utilità intertemporale (30)
sotto i vincoli
c1;t = wt + gt st bt
c2;t+1 = st (1 + rt+1 ) + bt (1 + rt+1 )
t+1 (1
+ n)
(50)
(51)
Sostituiamo i due vincoli nella funzione di utilità e calcoliamo la condizione del primo ordine rispetto al livello di risparmio. Si ottiene come
prima:
1 + rt+1 0
u (c2;t+1 ) = 0
u0 (c1;t ) +
1+
Sostituendo come argomenti dai vincoli (50) e (51) si ottiene
u0 (wt +gt st bt )+
1 + rt+1 0
u (st (1+rt+1 )+bt (1+rt+1 )
1+
t+1 (1+n))
=0
(52)
Dobbiamo ora prendere in considerazione il vincolo di bilancio intertemporale del settore pubblico per capire come cambia il livello di risparmio
ottimale nella (52).
In termini aggregati il vincolo di bilancio del settore pubblico nel
periodo t e nel periodo t + 1 sono
Bt = Gt
Bt+1 = Bt (1 + rt+1 )
32
Tt+1
assumendo che la spesa pubblica in t sia …nanziata solo con l’emissione
di titoli pubblici. Dividiamo entrambi i vincoli per la popolazione aggregata, ricordando che Lt+1 = (1 + n)Lt :Si ottiene
bt = gt
bt+1 (1 + n) = (1 + rt+1 )bt
(53)
t+1 (1
+ n)
Sostituendo il vincolo del periodo t nel vincolo del periodo t+1 si ottiene
bt+1 (1 + n) = (1 + rt+1 )gt
t+1 (1
+ n)
(54)
Se il vincolo è che il disavanzo deve essere ripianato in t + 1 ovvero che il
settore pubblico non possa emettere nuovo debito pubblico in t + 1 per
ripagare il suo debito in t; ovvero che bt+1 = 0; ne deriva che il livello di
tassazione deve essere
t+1
=
(1 + rt+1 )
gt
(1 + n)
Si noti che se rt+1 > n (Golden rule violata perchè lo stock di capitale
è inferiore a quello ottimale) la tassazione è maggiore del bene…cio della
spesa pubblica, cioè le nuove generazioni pagano delle tasse superiori
al bene…cio …scale della generazione vecchia. Sostituendo (53) e (54)
nella condizione del primo ordine (52) si ottiene la stessa condizione
del modello senza debito pubblico. Il risultato dipende dunque dal fatto
che pur ottenendo un bene…cio dall’avere una dilazione nelle tasse, non si
paga la relativa imposta t = gt in t; ma si ha la possibilità di ritardare la
tassa a t+1 e di sottoscrivere dei titoli pubblici che danno degli interessi.
Tuttavia poichè gli individui sono razionali sanno che in t + 1 dovranno
pagare delle tasse che compensano anche la spesa per interessi. A questo
punto pagare la tassa oggi o domani è perfettamente equivalente e la
scelta di emettere debito pubblico non ha alcun e¤etto sulle scelte di
risparmio che rimangono le stesse di un’economia senza debito pubblico.
L’equivalenza ricardiana dipende da una serie di ipotesi senza le quali
il debito pubblico avrebbe un e¤etto reale sulle scelte di risparmio e
quindi sull’accumulazione del capitale. Ne citiamo alcune: i) innanzitutto il tasso di interesse sul risparmio deve coincidere con quello sul
debito pubblico (ovvero il tasso di interesse al quale il settore pubblico
si indebita deve coincidere con quello del settore privato) altrimenti si
avrebbe un e¤etto redistributivo che qua non è considerato; ii) l’orizzonte
temporale entro il quale vengono approvate le tasse per ripianare il debito deve essere più breve dell’orizzonte temporale del singolo individuo,
altrimenti individui egoisti incassano il bene…cio e non ne pagano il costo
33
(a meno che non siano genitori che si preoccupano dei loro …gli come nella
sezione sull’eredità); iii) in…ne, per un motivo simile a quello del punto
precedente se la data di morte è incerta la probabilità di scantonare la
tassa genera un bene…cio dovuto alla dilazione delle tasse.
References
[1] Aghion P., Howitt P., The Economics of Growth, MIT Press, 2009,
Cap.1,4.
[2] Blanchard O., Fischer S., Lezioni di macroeconomia, Il Mulino, 1996,
Cap 2,3,10.
[3] Chang A.C., Fundamental Methods of Mathematical Economics,
McGraw-Hill, 1984, Cap.14, 18.
[4] Romer D., Advanced Macroeconomics, McGraw-Hill, 1996,
Cap.1,2,3.
34
A
Introduzione ai diagrammi di fase
Questa appendice introduce un metodo qualitativo di analisi delle equazioni
di¤erenziali del primo ordine. Questo metodo, senza ricorrere alla soluzione
analitica, consente di analizzare le proprietà dinamiche di equazioni differenziali autonome.
Per iniziare consideriamo una equazione di¤erenziale. Un’equazione
di¤erenziale del primo ordine è un’espressione del tipo:
x0 (t) = f (x(t); t)
dove x è una funzione della variabile reale t a valori reali e f una
funzione di due variabili reali. In particolare si dice autonoma se è del
tipo:
x0 (t) = f (x)
ovvero quando t non compare esplicitamente quale variabile in f .
Supponiamo inoltre che f sia di¤erenziabile. Possiamo facilmente analizzare la dinamica di quest’equazione in un gra…co tra x0 (t) e x chiamato
”diagramma di fase”(per brevità d’ora in poi x x0 (t)). A questo scopo
occorre introdurre due osservazioni:
i) un equilibrio stazionario è de…nito come quel valore di x in corrispondenza di cui x = 0;
ii) consideriamo un intorno di t per cui x si trovi al di sopra (o al di
sotto) dell’asse delle ascisse, possiamo dire che in quell’intorno la variabile x cresce (o si riduce) nel tempo.7 Nella …gura A1 rappresentiamo
un esempio di diagramma di fase.
7
In realtà è possibile dire anche quale è la velocità alla quale x si muove verso
un equilibrio, guardando al valore assoluto della derivata della variabile rispetto al
tempo. In particolare mano a mano che la variabile si avvicina ad un equilibrio, in
:
cui per de…nizione x = 0; la variabile rallenta.
35
Fig.A1
Utilizzando l’osservazione i) possiamo individuare gli equilibri stazionari
della equazione di¤erenziale nei punti A; B; C. Inoltre sulla base della
osservazione ii) possiamo indicare con delle frecce sull’asse delle ascisse
l’andamento della soluzione di x al crescere di t: Dal diagramma di fase
concludiamo che, data una condizione iniziale x = x0 che de…nisce il
punto di partenza, la variabile x potrà convergere ad un particolare
equilibrio oppure non convergere verso nessun equilibrio. Per esempio se x0
A la variabile non convergerà ad alcun equilibrio, così
come se x0
C. Viceversa per ogni x0 2 (A; C) la variabile converge
all’equilibrio B. Quindi possiamo dire che vi sono tre equilibri di cui
uno solo stabile, il B.
:
Esercizio 9 Considerate la funzione x = (x 1)(x 2)(x 3): Trovate
gli equilibri stazionari e disegnate il diagramma di fase indicando le proprietà dinamiche dei punti stazionari.
Consideriamo ora un sistema di equazioni di¤erenziali (SED) in cui le
variabili compaiono insieme alla loro variazione nel tempo. In particolare
possiamo rappresentare un generico SED come:
:
x = f (x; y)
:
y = g(x; y)
(55)
dove x; y > 0 e f; g siano di¤erenziabili. Anche per un SED è possibile utilizzare la metodologia dei diagrammi di fase per analizzare la
36
dinamica del sistema. Dovendo rappresentare in R2 un sistema di due
equazioni e la relativa dinamica, la rappresentazione gra…ca dovrà modi…carsi rispetto al caso precedente in quanto abbiamo ora quattro variabili
(x; y e la loro derivata nel tempo), mentre solo due assi cartesiani a diposizione. Rinunceremo pertanto ad avere la derivata rispetto al tempo
delle variabili sugli assi. Indicheremo la variazione nel tempo delle due
variabili invece con delle frecce all’interno dell’ortante positivo.
Tre sono le osservazioni necessarie per disegnare il diagramma di fase:
i) ponendo in ciascuna equazione la derivata di una delle variabili
:
rispetto al tempo uguale a zero, per esempio x = 0; si de…nisce il luogo dei punti in cui la variabile è costante nel tempo, ovvero la ”curva
stazionaria”. In questo modo si divide in due sottoinsiemi di punti
:
:
l’ortante positivo, quello in cui x > 0 e quello in cui x < 0. La stessa
cosa per l’altra variabile:
ii) La seconda osservazione è che, data la ripartizione dell’ortante
positivo in un numero …nito di sottoinsiemi a seconda del segno delle
derivate delle variabili x e y rispetto al tempo, è possibile collocare
all’interno di ciascuno dei sottoinsiemi le frecce che caratterizzano la
dinamica dei punti in quel sottoinsieme.
iii) De…niamo ”traiettoria” la funzione che associa un punto dello
spazio in R2 a ciascun istante t; ovvero la curva che rappresenta la
soluzione analitica fx(t); y(t)g al variare del tempo. Le traiettorie che in:
tersecano le curve stazionarie, attraversano la curva x = 0 con pendenza
:
verticale, mentre attraversano la curva y = 0 con pendenza orizzontale.
Sulla base delle osservazioni i)-iii) è possibile indicare, per ogni punto
dell’ortante positivo, la direzione in cui si muove il sistema. In particolare possiamo trovare l’equilibrio stazionario e la convergenza o meno
da un punto qualunque dell’ortante positivo verso l’equilibrio. Per comprendere meglio il metodo, vediamo un esempio di diagramma di fase
per un SED.
Innanzitutto troviamo l’equilibrio stazionario del SED, imponendo
:
:
che x = y = 0: In questo modo si de…nisce, in un intorno del punto
stazionario, per ciascuna equazione in (55) una funzione implicita di y
in x: Dal di¤erenziale totale di ciascuna equazione in un intorno dello
stato stazionario
fx dx + fy dy = 0
(x = 0)
gx dx + gy dy = 0
(y = 0)
ricaviamo che la pendenza della due curve è data da:
dy
dx
=
:
x=0
fx dy
;
fy dx
37
=
:
y=0
gx
gy
(56)
Per costruire il diagramma di fase, consideriamo un caso particolare,
:
ovvero fx ; fy ; gx > 0 e gy < 0: La curva stazionaria x = 0 ha pen:
denza negativa, mentre la curva stazionaria y = 0 ha pendenza positiva.
Nella …gura A2 rappresentiamo le due curve stazionarie e la ripartizione
dell’ortante positivo in quattro sottoinsiemi. Inoltre in ciascun sottoinsieme indichiamo con delle frecce la direzione di movimento delle due
variabili x e y nel tempo e le traiettorie di cui all’osservazione iii).
Fig.A2
Sulla base delle frecce osserviamo che vi è un solo sentiero stabile che
indichiamo con SS (non necessariamente lineare), che porta all’equilibrio
E. Ogni altra traiettoria comporta una dinamica divergente rispetto
all’equilibrio. Si noti come le traiettorie seguono la direzione delle frecce,
ma con la particolarità che quelle che attraversano la curva stazionaria
:
y = 0 hanno una pendenza orizzontale, mentre quelle che attraversano
:
la curva x = 0 hanno una pendenza verticale:
In queste Dispense ci riferiamo ad una particolare tipologia di equilibrio stazionario, il cosiddetto ”punto di sella”. In realtà vi sono diversi
tipi di equilibri stazionari. La ragione per cui ci concentriamo sui punti
di sella è che i modelli economici con aspettative razionali restringono la
dinamica delle variabili a questo tipo di equilibrio.
38
