Integrazione - Matematicamente

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________
Integrazione
Integrazione in coordinate polari
L'area racchiusa da una curva, di equazione r = f(θ) in coordinate polari, è data dall'integrale
r2/2 sull'intervallo [α, β] in cui θ spazza l'area.
Area della regione tra l'origine e la curva di equazione r = f(θ), per α ≤ θ ≤ β:
β
1. 2
A
r dθ
2
α
Per ottenere questa formula seguiamo una procedura simile a quella seguita nelle Somme di Riemann
per determinare l'area sotto la curva con una somma di rettangoli. Immaginiamo di dividere la regione
in molti sottili settori circolari di raggio r e angolo al centro Δθ.Le aree dei vari settori sono
1 2
approssimativamente . r . Δθ e noi le sommiamo nell'intervallo in cui θ varia per ottenere l’area
2
totale.
2. sin 3. θ integrando la funzione in coordinate polari.
Calcoliamo l'area della rosa r θ
Il raggio spazza tutta la regione quando θ va da 0 a π.
theta
0 , .02 .. π
120
2
60
1
180
0
240
π
1. .
2
2 sin 3. θ dθ
2
0
Integrando si ottiene
π
0
300