MATEMATICA
a.a. 2014/15
2. LIMITI (III parte):
Forme di indeterminazione.
Studio di funzioni
Continuità di una funzione
Due funzioni reali di variabile reale possono essere
sommate, sottratte, moltiplicate e divise (quando il
denominatore non si annulla).
Le somme, le differenze e i prodotti di funzioni
continue sono funzioni continue. Anche il quoziente
di due funzioni continue è una funzione continua nei
punti in cui il denominatore non si annulla.
Come si comporta il limite rispetto a queste
operazioni?
Operazioni sui limiti e calcolo dei limiti
Più precisamente per qualsiasi a ∈ R ∪ {+∞,-∞}} le seguenti formule valgono quasi
sempre. Supponiamo che: lim f ( x ) e lim g ( x ) esistano e siano finiti. Allora:
x→a
x→a
lim f ( x ) + g ( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x )
x→a
x→a
x→a
lim f ( x ) − g ( x ) = lim f ( x ) − lim g ( x )
x→a
x→a
(
lim 3x + 2 + x 2 + 3
x →5
x→a
lim cf ( x ) = c lim f ( x )
x→a
x→a
lim 5log ( x + 2 )
lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x→a
lim
x→a
x →a
f ( x)
g ( x)
=
lim f ( x )
x→a
lim g ( x )
x →−2+
x →a
se lim g ( x ) ≠ 0
x→a
x→a
Proprietà analoghe valgono per i limiti da destra e da sinistra
)
Operazioni sui limiti e calcolo dei limiti
IL LIMITE DELLA SOMMA ALGEBRICA DI DUE FUNZIONI
Consideriamo le due funzioni:
f ( x) = 2 x − 6
g ( x) = x + 3
e i loro limiti per x→4:
lim ( 2 x − 6 ) = 2
x→4
lim ( x + 3) = 7
x→4
La funzione somma s(x)=f(x)+g(x) è:
s ( x) = ( 2 x − 6 ) + ( x + 3) = 3 x − 3
lim ( 3x − 3) = 9
x→4
Si può osservare che 9=2+7, ossia il limite della funzione s(x) è uguale alla somma dei
limiti di f(x) e g(x).
RICHIAMO AL TEOREMA:
lim f ( x ) + g ( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x )
x→a
x→a
x →a
Operazioni sui limiti e calcolo dei limiti
IL LIMITE DELLA SOMMA ALGEBRICA DI DUE FUNZIONI
Consideriamo le due funzioni:
f ( x) = 3 x
g ( x) = x + 1
lim 3x = 3
lim ( x + 1) = 2
e i loro limiti per x→1:
x →1
x →1
La funzione somma p(x)=f(x)g(x) è:
p( x) = 3x ( x + 1) = 3x 2 + 3 x
lim ( 3x 2 + 3x ) = 6
x→4
Si può osservare che 6=3•2, ossia il limite della funzione p(x) è uguale al prodotto dei
limiti di f(x) e g(x).
RICHIAMO AL TEOREMA:
lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x→a
x →a
x →a
Calcolo dei limiti
Rifacendoci alle proprietà introdotte in precedenza, si può affermare che:
se
lim f ( x) = α ∈ R e lim f ( x) = β ∈ R , allora si ha:
x→a
x→a
SOMMA: lim f ( x) + g ( x ) = α + β
x→a
PRODOTTO:lim f ( x) ⋅ g ( x ) = α ⋅ β
x→a
QUOZIENTE: se β ≠ 0, lim
x→a
f ( x)
g ( x)
=
α
β
Le stesse proprietà valgono nei casi x→+∞,x →-∞, x →a+, x →a-
Calcolo dei limiti
Operazioni sui limiti e calcolo dei limiti
Talvolta possono sorgere dei problemi se qualcuno di questi limiti è infinito. In
particolare se a secondo membro otteniamo una delle seguenti forme indeterminate:
+∞ − ∞,
± ∞⋅ 0,
±∞
±∞
Allora per scoprire «quanto fa» il limite a primo membro (se esiste) dobbiamo studiare
più in dettaglio il comportamento di f e g vicino a x0
Forme indeterminate
FUNZIONI RAZIONALI: forma indeterminata ∞/∞
∞
∞
Forme indeterminate
La forma indeterminata +∞ -∞
)
(
lim x − x 2 + 1 = +∞ − ∞
x →+∞
Per calcolare questo limite possiamo riscrivere la funzione data in modo che nell’argomento del
limite scompaia la differenza x − x 2 + 1 e appaia invece la somma x + x 2 + 1 :
(
)
2
x − x2 + 1 = x − x2 + 1 ⋅
x + x +1
x + x2 + 1
=
x 2 − ( x 2 + 1)
x + x2 + 1
Tornando al limite si avrà:
lim
x →+∞
−1
2
x + x +1
=0
=
−1
x + x2 + 1
Forme indeterminate
Anche lo studio del limite di un quoziente quando il denominatore tende a 0 richiede
maggiori informazioni. Se il limite del numeratore è non nullo (o infinito), il limite del
valore assoluto del quoziente è +∞, ma il limite del quoziente potrebbe essere +∞ o -∞ o
non esistere affatto. Se invece anche il limite del numeratore è nullo siamo in presenza
della forma indeterminata:
0
0
Più avanti tratteremo alcune modalità di risoluzione di tale forma indeterminata,
introducendo poi con il calcolo differenziale una importante regola.
Cosa significa che
0
0
Forme indeterminate
è una forma indeterminata?
Sta a significare che se f(x) e g(x) tendono a 0 per x→x0, da questa unica informazione
non si può dedurre qual è il comportamento di f(x)/g(x) al tendere di x ad x0.
ESEMPIO:
Si considerino le seguenti tre funzioni:
Si ha:
lim f ( x ) = lim g ( x ) = lim h ( x ) = 0
x→0
x →0
x →0
Tuttavia:
lim
x→0
f ( x)
g ( x)
=
x 0
=
3
x
0
g ( x)
x3 0
lim
=
=
x →0 f ( x )
x 0
lim
x→0
h ( x)
f ( x)
=
2x 0
=
x 0
→ lim
x →0
1
= +∞
2
x
→ lim x 2 = 0
x →0
→ lim 2 = 2
x →0
f ( x) = x
g ( x ) = x3
h ( x ) = 2x
Forme indeterminate
FUNZIONI RAZIONALI FRATTE: forma indeterminata 0/0
0
0
scomposizione
lim
x →0
2 x2 ( 2 x + 1)
x ( x − 3)
=
2 x2/ ( 2 x + 1)
x/ ( x − 3)
=0
x/ ( x − 3)
x 2 − 3x
lim 3
=
=3
2
x →0 4 x + 2 x 2 − x
x/ ( 4 x + 2 x − 1)
Ampliamento di R
Altre «apparizioni» di limiti infiniti a secondo membro non creano grossi problemi. Infatti,
sono definite le seguenti operazioni:
Per c ∈ R definiamo le seguenti operazioni:
+∞ + c = +∞
+∞ + +∞ = +∞
+∞ ⋅ +∞ = +∞
Ciò significa che qualunque sia la funzione f per x→a
tende a +∞, e qualunque sia la funzione g che per x→a
tende a c, allora f+g per x→a tende a + ∞. Analogamente
per - ∞
c
=0
±∞
se inoltre c ≠ 0,
+∞ se c > 0
( +∞ ) ⋅ c =
−∞ se c < 0
−∞ se c > 0
( −∞ ) ⋅ c =
+∞ se c < 0
Calcolo dei limiti
Operazioni sui limiti
ALCUNI LIMITI DA RICORDARE
Esercizi sui limiti
Calcolare i seguenti limiti:
2 x2 − 1
a) lim 2
x →+∞ 5 x + 3
c) lim
x →1
e)
2
x + x−6
b) lim
x →−3
x +3
x −1
1− x
d ) lim
2
x →−∞
x
x −1
lim ( x − 3x + 1)
4
x →+∞
2
2x −1
f ) lim 3
x →−∞ x + 2 x
Esercizi: studio di funzioni
Studiare le seguenti funzioni, determinando:
a)
b)
c)
d)
e)
Campo di esistenza;
Eventuali simmetrie;
Incontro con gli assi
Positività
Esistenza di asintoti (asintoti verticali, orizzontali e obliqui)
x+3
1. f ( x) =
x +1
2. f ( x) = log ( x + 1)
2
2x −1
3. f ( x) =
x +1
2
4. f ( x) = x + 1
Esercizi: studio di funzioni
x+3
1. f ( x) =
x +1
a) Campo di esistenza
x + 3 ≥ 0 x ≥ −3
x + 1 ≠ 0 x ≠ −1
-3
-1
C.E :[−3; −1) ∪ (−1; +∞)
Esercizi: studio di funzioni
b) Eventuali simmetrie
Funzione pari
Funzione dispari
Né pari né dispari
f ( − x) = f ( x)
− f ( x) = f ( − x)
−x + 3
x+3
=
−x +1
x +1
x+3
−x + 3
−
=
x +1
−x +1
Esercizi: studio di funzioni
d) Positività
x+3
f ( x) =
≥0
x +1
x+3 ≥ 0
x +1 > 0
-3
-1
-
+
Esercizi: studio di funzioni
c) Incontro con gli assi
x+3
y =
x +1
x = 0
p1 : 0; 3
x+3
y =
x +1
y = 0
p2 : ( −3;0)
(
)
Esercizi: studio di funzioni
e) Asintoti
Asintoto verticale
x+3
lim− =
= −∞
x →−1
x +1
x+3
lim+ =
= +∞
x →−1
x +1
x=-1
Asintoto orizzontale
3
x 1 +
x+3
x+3
x+3
1
x
lim =
=
=
=
=
=0
2
2
x →+∞
2
1
+
+
x +1
x
2
x
1
x
( x + 1)
x 2 1 + + 2
x x
y=0
x+3
1. f ( x) =
x +1
Esercizi: studio di funzioni
2. f ( x) = log ( x + 1)
1. CAMPO DI ESISTENZA
x + 1 > 0 x > −1 C.E.: ( −1; +∞ )
2. SIMMETRIA
Né pari né dispari
3. POSITIVITA’
log ( x + 1) ≥ 0
log ( x + 1) ≥ log1
-1
0
x≥0
-
+
2. f ( x) = log ( x + 1)
4. INCONTRO CON GLI ASSI
y = log ( x + 1) y = 0
x = 0
x = 0
y = log ( x + 1) y = 0
y = 0
x = 0
P1 = ( 0,0)
2. f ( x) = log ( x + 1)
5. COMPORTAMENTO ESTREMI E ASINTOTI
ASINTOTO VERTICALE
lim+ log ( x + 1) = −∞
x=-1 asintoto verticale
x →−1
ASINTOTO ORIZZONTALE
lim log ( x + 1) = +∞
x →+∞
ASINTOTO OBLIQUO
lim
x →+∞
log ( x + 1)
x
∞
= =0
∞
No asintoto obliquo
2
2x −1
3. f ( x) =
x +1
1. CAMPO DI ESISTENZA
x + 1 ≠ 0 C.E.: R \ {−1}
2. SIMMETRIA
Né pari né dispari
3. POSITIVITA’
2 x2 − 1
≥0
x +1
1
2x −1 ≥ 0 x = ±
2
x +1 > 0
x > −1
− 12
-1
+ 12
2
-
+
-
+
2
2x −1
3. f ( x) =
x +1
2
4. INCONTRO CON GLI ASSI
2 x2 − 1
y =
x +1
y = 0
2 x2 − 1
y = −1
y =
x +1
x = 0
x = 0
1
P1 = − ;0
2
1
P2 = + ;0
2
P3 = ( 0; −1)
2x −1
3. f ( x) =
x +1
2
5. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI
ASINTOTO VERTICALE
2x −1
3. f ( x) =
x +1
2
2x −1 1
lim+
= + = +∞
x →−1
x +1 0
2
2x −1 1
lim−
= − = −∞
x →−1
x +1 0
x=-1 asintoto verticale
2
ASINTOTO ORIZZONTALE
2 x2 − 1
= +∞
lim
x →+∞ x + 1
2x −1
3. f ( x) =
x +1
2 x2 − 1
lim
= −∞
x →−∞ x + 1
ASINTOTO OBLIQUO
2x2 − 1
2
2
x
−1
lim x + 1 = 2
=2
x →+∞
x
x +x
y=2x-2 asintoto obliquo
2 x2 − 1
2 x2 − 1 − 2x2 − 2 x −2 x − 1
q = lim
− 2x =
=
= −2
x →±∞ x + 1
x +1
x +1
2
4. f ( x) = x + 1
1. CAMPO DI ESISTENZA
C.E.: ℜ
2. SIMMETRIA
Funzione pari
3. POSITIVITA’
Sempre positiva
4. INCONTRO CON GLI ASSI
y = x2 + 1 y = 1
x = 0
x = 0
y = x2 + 1
MAI
y = 0
P1 = ( 0;1)
4. f ( x) = x2 + 1
5. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI
ASINTOTO ORIZZONTALE
lim
x →+∞
2
x + 1 = +∞
4. f ( x) = x2 + 1
ASINTOTO OBLIQUO
1
x 1 + 2 x 1 + 12
x
x = ±1
=
x
x
2
m = lim
x →±∞
q = lim
x →+∞
x2 + 1
=
x
x 2 + 1 − x = +∞ − ∞
= x2 + 1 − x ⋅
x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
=
x2 + 1 − x2
x2 + 1 + x
=
1
=0
+∞
y = ±x
q = lim
x →−∞
2
x 2 + 1 + x = +∞ − ∞
= x +1 + x ⋅
x2 + 1 − x
2
x +1 − x
=
x2 + 1 − x2
1
=
=0
2
x + 1 + x +∞
Asintoto obliquo
4. f ( x) = x2 + 1
