Capitolo 3
I IsoMErRrE
DELprANorNsÉ(RrcurAMr)............
2 SruurrRrA oRTocoNAL8................
3 TRAsLAzroNE................
4 RorAzroNEATTORNO
An O ..............
5 SIMMETRIACENTRALE...
6 CONSIDERAZIONI
GENERALI
SULLEISoMETRIE..
7 OlrorrrrB DELprANo...
8 PRoTnzroNEoRToGoNALESUUNARETTAPASSANTE
pnn o..........
...............
Jg
.............3g
............41
............
42
...........
43
..............43
............46
.......49
38 Cap.3; /sometrienetpiano
Aspettoanatiticoe
matriciale
1 lsometriedel pianoin sé (Richiami)
una trasformazione
del pianon in séè un'applicazione
f chefacorrispondere
puntoP di n un altropuntop,di
ad un
n:
I punti U tali che
/(U):
f:n->n
/:p+p'
g si chiamano
puntì uniti dellatrasformazione.
Esistono diversi tipi di trasformazioni
del piano in sé che hanno proprietà
particolari,
come la conservazionedel rapporto
tra le lungh";r;;;ifimenti
corrispondenti
(similitudini)' o che mantengono
un punto fisso, o altre chJ conservano
re distanzedei
segmentie le misure degli angoli
(isàmetrie).In questar.a. ,i
considereranno
alcuni tipi di trasformazioni, s=enza
solo re
4." un loro studio p*i.or*"
dal punto di vista
Al conrrario
ill1ff::geometrico.
si approfondirannà
sologri aspetri
anaritico
e
Sia/ èunatrasform
azionetale
cheVpen,Veez,.f(p): p,,,f(e):
0,,ii.l,ll = li"Oll
una taletrasformazione
si chiamaisometriudelpianoin sé.
ll
ll ll
ll
le simmetrieortogonali,le rota_
Nel seguito' sarannostudiate,sempredal punto
di vista analitico e matriciale, alcune
di questeisometrie.
Negli ultimi due paragrafi si studierannodue
trasform azionidel piano in sé che non
sonodelle isometrie.
2 SimmetriaoÉogonale
Una simmetria ortogonale,rispetto ad una rettar,è un'applic
azionef di nin n tale che
VPen trasformaP in P' (,f(p) : p') e il punto p' è tale che:
l. La retta(PP')J_r
2. (PP')ìr: {H}
3. PH:HP'
4.Per=+P':P
E facile rendersi conto chegti unici punti uniti in questa trasformazione
sono i punti
della retta r, che è ancheuna retta globalment" .rrritu
U?):r).Inoltre ogni retta s, tale
che sJr, è tale che "f(s):s, cioè ogni retta ortogonale all'assedella simmetria
è una
rettaglobalmenteunita (anchese non sonouniti i suoi singoli punti). Dunque
tutte le
rette ortogonali all'asse di simmetria sono globalmente unite.
R.SANTORO.
Geometria
Cap. 3: lsometrienel
t'
_. prano.
Aspetto anatitico e matriciate
3g
Nel piano,munitodi unabaseortonormata
(o,i ,j) @ianoeuclideo),si considera
ra
rettar aventeequazionecartesiana =
-/ tang . x f. iassaper o e formaun angolo
.g
conil vettoredi basei;. Allora
si ia (le condizioniprecedenti
sonotradottein
condizionianaliticheconIe notazioni
della
hgura sottostante):
( - l
lI.
oPJ=cr
f - ì
-q
loP,r)=,9
r -\
- f , r : 2 s_ a
l t . o P J = s+ s
= OPcosa
Op,cos(2S_ct )
{x
{x,=
=
|"Y OPsina [-y': Op'sin(2,g-c[
)
conro
cheop': opesviluppando
reespressioni
trigonolill.'#:;::1Xff:"1',X.1ff
OPcoscrcos2$ + Opsina sin2,g= xcos2.9
+ysin2,g
{x'=
l-y'=oPcosa sin2g -opsincr cos2s = xsin2.g -ycos2.9
(l)
Le telazioni (l) sono le equazioni della simmetria
ortogonalee possonoesserescritte
sotto forma matriciale:
l"'l_fcos2s sin2$Y"l
V')- [sin29 -"oszszb)
(r')
1rcos2S sin2$ I
La matrice |
- *la
" *matrice della trasformazioneedil suo
os2S | è
\ s i n 2 9 - c^^^.,.,
)
determinantevale: - cos, 2$ - sin22$ = _l .
Nel casoin cui I'assedella simmetrianon passaper o, ma ha
equazione
-/ = tans 'x + n, le equazionimatriciali della trasformazionesono:
fr'l (cos2$ sin2$Y"l
\y')= [sin2,9 -cos2$)-)-
')
( sin2s
(z"o.rs ) '
Q)
Infatti (posto m= tan$ ) si ha successivamente:
I y'-y -; I
(esprime
la condizione
j ,L_" =
che(PP')lr)
j x'+x
y'+
*, =
(esprime
la condizione
cheil puntomediodi [pp,]e r)
l*T
T
--tr'+x
J *Y'-*y =
I x'+my'=x-ttqt!
=
= y + y'
\** * mx'+2n
\**'-r, = -*t + y -2,
R.SANTORO:
Geometria
40 Cap.3: tsometrie
._ nel piano. Aspettoanatitico
e
matriciale
-x-my+m.x__my+2mn
-t-m2
l_m2
=Q
p r + i m2,m y - #2 m n
_-mx+y+2n-mx-m2y _ 2m
=T;7*- l_m2
-l-m'
t**, l-#
2n
Le ultime espressionidi x' e y'
fornisconole equazionirichieste
deila trasfo rmazione.
Dette equazioni possonotrasformarsi
nelra forma rzl ri"rri.rra con qualche
trasformazionetrigonometrica.
Si ha:
c o s 2 $= c o s ' $ - s i n 2 g = - - - L
S, 7-m2
- - _ - l +ttaanr2i s
=1*;
1+tanr.9
s i n 2 $= 2 s i n $ c o s g :, r t - L = 2 *
cos'$
l+tan,S
1
l+m2
1+tan2,g l+mz
con questenotazionitrigonometrichele
equazioniprecedentipossonoscriversi:
*rsin2$-rsin2,e
,)
-fcos2s sin2slfl _-( sin2s
{.1'=':":1n
o ,1"'l =
-ycos2$
-2ncos2s
rsin2,9
_"orzs][.r)-"1r"'ru
f/'=
[y/
[sin2$
nl
o anche:
lr'l
t t
\y')
(cos2$ sin23
- l
(sin2$
-cos2S
-rrinzsf"l
-2ncos2-,lij
Scrivere la matrice della simmetria ortogonale rispetto alla retta
Y = {3x.
Soluzione:
L'equazionedell'assedella simmetriapuò scriversianche:
! = x tan60o.
Dunque = 60o e lamatrice richiestaè:
(cosr2o"
sinr2o'l
í-l +ì
z I
t-t z
I
\sinl20"-cosl20t-i1! I
i
\ z 2 )
In ogni caso,per non fare inutili sforzi di memoria, é semprepreferibile scriverele equazionidella simmetriaortogonale,applicando,nel
caso concreto, la definizione geometricadi simmetria ortogonale che
si traducenelle due condizioni analiticheviste sopranel casogenerale.
R.SANTORO:Geometria
o e matriciale 4l
3 Traslazione
La composizion.edi due
simmetuieortugonali
ad
assiparalleli dà una traslazion:eai
vetàre A, if ."i
modulo è due volte la distanzl
fra i due assi
paralleli, Ia cui d,r17iol:
è p".p."Oi"o lare aquella
,/
./
". ,
./
,/
../
../
,/ \
./
,/
1"j.9r: assiparaileliedit di;;"
dipende
o.t prodotto"p"r","rì" delle
due
:,1t:1]1" c
simmetrie
simmerria;li,'{xix"il1î,lTrJ,fl?;îetria
di
asse.rmand.al,"in f.,. óun*",ru
composizione
delle
ad assi.parallelir e s mandap p,.
in
**::::;e la composi
Essendo
zionedidueirr_"ììJ",
*,irr." ì"
ji{:::n"
i:ffJ'11".j':;:,i:::;:i::í
;t::;:;:;ttorenuilosidice,.",'j;il'ff
una traslazione
di vettoreD è un'applicazione
f di nin n talechevpen trasforma
p
in P'(cioé,f(p): p') e il puntop;Jilf.
"f,"
lf'=6 .
Nel piano euclideoaventeriferimento
(1)
ortonormato (o,í ,i),ra (1) diventa:
- ' = u'
x + ur
ò F - o F - fi 3
- { x' =
{','
,
l!-!=u'
U'=!+u'
(2)
(r,\
d o v e| . , ' l = n . p ( x , y )e p ' ( x ' , y , ) .
\uz)
Le equazionidella traslazione(2) possono
scriversisotto forma matriciale:
(u,\
l"'l
f"l
(.-u'J=ly)*lr,)<+
o anche:
X,
l_ 01
)-
0 x (u.
+l
1
\uz
0=[?:,n
Esempio
Scriverele equazionidella traslazionedi vettore :
t (;t)
Soluzione:
Risultasubito: { x ' =
x-l
1 y ' :y + 3 '
R.SANTORO:
Geometria
" e matriciale
4 Rotazioneattorno ad
O
Una rotazione è la composizione
di due
ngura,rasimmetriadiasse,;;"d^;i"í,f
i:':r{f :;rT!r:!r:':,#:i:ííi#ll"
la composizionedelledue
isometrie
f,r"ey:
r e s mandap in p,. Seo
l1:r:t,lTtdenti
d,inters#r"".:iff;;ii": è il
.p,
':.
'
-<--,
,' -,.--1,
\ c_'
iio,
ounto
i;?J"',
fra i dueassi,la-rotazione
(comeÀ immediato
dimostrare)
è talecheil p"ft" ò junito
e
nA-'
J
It
-- ..,..... ;
.rp
,
PÓp.'=2a = .g,.qua-lunque
sia la coppia
--l
di
punti corrispondentip
sp,.
La rotazione,essendora composi
zionedi due isometrie,
è una isometria.
LJ!,r!purro
Nel piano euclideo,di riferimento
ofonorm ato (o,i, j) se g
è r,angoroorientato
,
della rotazionee p(x, y) e p(x,,n')
.orro-àuepunti corrispondenti,
si ha:
= OPcosa
{x
l-y= OPsincr
Op'cos(S* c r ) = O P c o s c rc o s . g- OP
sincrsins
{x'=
l,y'= OP'sin(S* u ) = O P s i n c c o s , g+ OPcosasin$
E infine:
'r'=.trcos,9-ysin$
!'= xsinS +ycos.9
(l)
Le(l)rappresentano|eequazionidella,oro'affiscrittesotto
formamatriciale:
/
r
\
lxl
\y')
|
|
-
l c o s $ -sins)[x')
\si n s cos.9/(y/
/
l
dove il determinantedella matrice
cost $ + sin2,9 : * 1 .
Esempio2
^
az: l"ot$
Isin$
(1' )
- sin.9\
vale:
^^_o I dellatrasformazione
cos.9
/
Scriverele equazionidella rotazioneattornoad
o di un angolo di 30".
Soluzione:
Datochesin30o:1e
- cos30"
- - - - " =Jj , si hanno subito le equazioni
2
)
richieste:
o(7:4k)
R.SANTORO:
Geometria
o e maîiciale 43
5 Simmetriacentrafe
La simmeftia centrale
rispe,tt1ad O può essere
consideratc
j,Zliii;1:í#!;"yí,:{#i::(
i:ff;;W:l::;::;i":r:;A,";
scrlvonosubito(cosl80o: -1,
sinlSói: Oi,
F=-yl
l[y'=
na centralerispeftoad
onnurel,'l =l(-r laÌ
[y/
o -r)lr)
O si
(t).
In unasimmetriacentraleil
segmentocheunisceunacoppia
di punti corrispondenti
haproprio il centrodella simr;erii,o"li^,
punto
medio.
Si può' allora,utilizzarequesta
definizioneper general
izzareeconsiderare
simmetriacenrrare
la
"d;;;;i;!r'r,-r',
.h.;í;;rto
f1n;tto
mediodelracoppiadi
punticorrispondenti
p(r, y) "y,1*i,y{Ounque
deveesseie:
Ir'+*= *o
..P'(x',y')
)-z
i l'+l
lj=lo
=
-x +2xo
{x'=
1y'= _y +2yo
<+
-in.,e).,)
0CIl=(;
o anche:
lr'l (_t o 2""fLl
[ r j = ( . o- r , ; , \ i )
Le (l) e le (l') fornisconole equazioni
di una simmetriocentrale.In entrambi
i casi la
matrice della simmetria centrale,essendo
questauna partico lare rotazioHe,è
la
stessa
ed ha determinanteugualea f l.
6 Gonsiderazioni
generalisulle isometrie
Da quantovisto finora si evince che le equazioni
di una isometrianel piano euclideo
sonoequtvioni del tipo:
,, :,)(-ì*f.",
b,',f'l
*11:l=f
{:,'=:'*::,v+c,
I
f.l=f,",
( y , J = [ o ,b 2 , r \ i )
l!'=arx+bry+c, [y'l-[", 4)\y), \r, )Lamatrice,:(:,
';r)
si chiama matrice della isometria edè sempretale
che
detM: +l
R.SANTORO:
Geometria
"o e matriciale
t;îi:;t::,:;:;isometrie
Msoddisfanoailacondizione
detM:r1
Segueuna'finestra sulla
defini
e sonodeue
zionegeneralee re proprietà
di una matrice ortogonare:
Una matuic,
Perle matrici
valgono le seguentiproprietà:
Una isometriacon îletM = +l
viene chiamataisometria diretta.
Una isometriacon detM= _l
viene chiamataisometria inversa.
La composizionedi dueisom
elrje f , e f
,.dimatrici rispettiveM, e Mre una isometria
M: MrMz(ra
ffi.t"rt.e
verifica,1r.í"rur.iuta
per.r*irro arretrore:
Esercizio
Allora, essendodet(M
:
rMr) detMr.d,etM2,risultache:
'
'
'
il prodotto di due isometrie dirette
è una isometria diretta
il prodotto di due isometrie inverse
è una isometria diretta
il prodotto di una isometria diretta
e di una inversa è una isometria
inversa
Se 5 è I'insiemedeile-isometriedel piano
la struttura(s,") è un gruppo non abeliano,
chiamatogruppo delle isometrie dàl piano.
Le considerazioniprecedenti,assieme
alla ricercadei punti uniti di una isometria,
sonodi grandeaiuto nella classificazione
di una isometriadi cui si conosconole
equazioni.
In€ffetti' dal punto di vista dei punti uniti,
le isometriepossonoclassificarsiin questo
Una isometria diretta senzapunti uniti è una
traslazioneo una glissosimmetria
(composizionedi una traslazionee di una
simmetriaortogonaleo viceversa)
una isometrianon identicacon un solo punto unito
è una rotazione(o una
simmetriacentraleche, in ogni caso,è un casoparticolare
di rotazione)
R.SANTORO:
Geometria
mahciate 43
o una isometria
non identicacon almeno
due punti uniti è una
ortogonale'essendo
simmetria
la rettapul*n* per
i due puniiurriti |asse
dera simmetuia.
o Una isometri
- ---a avente almeno
tre punti uniti non
identica.
allineati è la trasform
azione
Infine un cenno aile
trasformazioni invorutorie.
Una trasform
punro"oin"ial'lll'if
h[",#itii',;i"::;:#ff;:;:erimmaginediun
per unatrasformazion.
inuoiuiorì
î#ì*Íil'ilì!?;'1#fi
li!;"1ry*ìor""n;;;;;i;;:,ì'.1;::ff
,
Sonotrasformazionirrrvwrulurrenstmmefuiaorfugonaleelasimmefuia
involutorie lr
centrale.
EsempioI
Studiarela trasformazioneT
definitadalleequazioni:
\
L =t ; x + ;Jy :
lr
L
Z
i , = Jt xi - t yI
ly
Soluzione:
(r
t
La matricedi T è , =l
_
_
^rn
l"
-
J:l
l
2'
i. niruttadetM:_l, dunqueT è una
_11
isometriainversa.,u -)1,.. t;irscriversi
anche:
(co s(2 .30") -sin(
' ^ - x 2.30")
- "" / I
M =l
|
\ s i n ( 2 . 3 0 " ) _ c o s ( 2. 3 0 \ ) ,
dunque è la matrice di una simmetria ortogonale
rispetto alla retta
r di
equazione
! = xtan3y.:
fr.
La stessaconclusionepuò aversicon la ricerca
dei punti uniti. Tare
ricercaporta alla soluzionedel sistemadi equazioni:
-lir=o
['=:r.f r.- f'
l, =t. j,
=s
+3v
[-J5'
t;
equazionichesonoequivalentiall'unicay =
YJ x (rettar) il che
significacheci sonoinfiniti punti uniti, tutti i punti dellaretta
r.
per altravia, cheT è unaisometriaortogonale
Questoconferma,
rispettoallarettar.
R.SANTORO:
Geometria
46 Cap.
._..._nelpiano.Aspettoanatitico
. 3: tsometrie
e matriciale
Esempio2
Studiarela trasform azjone
T definita dalle equazioni:
1 , 26
Jr=j"-.y
i " A )
Soluzione:
[r'= , **]l
La matrice di T è
/
(z
J jll
-T
M =7l
2 i
irs
r.t
l)
e risultadetM: *1.
DunqueT è unaisometriadiretta.potrebbe
essere
unarotazione.
2
Infatti sea è un angolotale
cherrurL.r.
)v^v lqrv wrrv
coscr,== ^ ^,- . =;,Jt
J
scrivere:
" slnc[
Msi
puo
- sincr
)
I
coscr/
(cosa
M=l
\srno
Dunque T è una rotazionedi angolo
a (= 4g") attorno ad O.
La ricercadei punti uniti porta ullu
rolu)ione del sistemaJi equazioni:
I
l
2
J
_
5
l'=lj-TY
i , _J 5
ly=îx+ay
-= [ r + J i y = s= I x = o
l . f r *, y = o l y = o -
Allora I'unico punto unito è (0, 0). Dal momento
che la rotazioneè
I'unica isometriadiretta aventeun solo punto
unito, questoconferma
che la trasformazioneT è una rotazroneai centro
ó " urrgoto.,.
7 Omotetiedel piano
una omotetiapianadi centroQ e rapporto k (k * 0) éunatrasform
azionedelpianoz
in z cheassociaal puntop il puntopi taleche:
-..----=/
IoP'=kopl (l)
R.SANTORO'.
Geometria
--> Q é il centro dell'omotetia
k è rl rapporto di omotetia
.
Cap.3: lsometrie
__.._.._,
netptano.
,
Aspettoanaliticoe matriciale
47
.9
Geometricamente:
o Se k < 0, il centro
0 < k < ' 1 .'.-r
.^ ,
dell,omotetiae é compreso p p,.
tra e
. Se k> 0, il punto p_é
comprero* -p,
ó .
(f >l) oppureil punto
..P
P' é compresotra e e p (,t.f
).
o Una omotetia trasforma:
l. una rettar in una rettar,
parallelaadr
2. una semiretta
in
[Or) unui"_ir.itafO,r ) parallela
ad [Or) e
:[T;"*.sso
3.
4.
5.
6.
verso
di r sek> 0,;".rJ;;;;ì;l!u"no
un angolo in un angolo di uguale
ampiezza
un segmentoin.un segm"rrtJpu.utt"lo
al primo
un vettore d nel vettire kd
un segmento dilunghezza a inun
segmento dilunghezza
Itla
7. il punto medio di un segmento
nel punto medio del
segmentoimmagine
8. una circonferenzadi centro C
e raggio a jnuna
circonferenzadi centroC, (immagine
di C nell,omotetia)e
raggio lkla.
Ad esempio'per dimostrarela proprietà
5., si può procederecosì:
Se P e Q sono due punti del piano allineati
o no .oi n e p, e e, sonorispettivamente
i loro corrispondenti nell'omotetia
di
centro
sJ e rapporto É, si ha:
'ì
-
+ l
C)P'=fOPl
-
-+
/
\
= e'p'=op'-od'=r eiF-/rod:,[Ae_.rd
-/l=/,oÉ
_-_.
,
__
|
\
f)Q'=koQJ
La dimostrazionedella proprietà6. è una conseguenza
immediatadella precedente,
passandodai vettori alle norme dei vettori.
Casiparticolarie ountiuniti:
Sefr;c1,
o
a l'unico punto unito dell'omotetiaé il suo centro
s)
o tutte le rette passantiper e sono globalmente
unite
o Se fr: l, I'omotetia é la trasformazione
identicae, quindi, tutti i punti sono uniti
. Se È: -1, I'omotetia é una simmetria
centraledi centroe
Analiticamente:
Sia Q(x6y6),P(x,y)ep'(x, y,).
La definizione (l) si puo scrivere:
R.SANTORO:
Geometria
"o e matriciale
x'= lec+ (l - k)a
y'= lW+ (l - k)yo
oppure,infine:
(3)
se' in particolare,
' centrodell'omotetiacoincide
cono(0,0),ra (3) si riscrive:
I
k 0 x
0 k
(3')
Le equazioni(3') rappresentano
re equazionidi una omotetia
di centro o(0,0) e
rapportok. La matricedell,omotetia
è:
M=[k
0l
il cui determinanteé, in generare,
diverso):=fl""rformemente
l'omotetia non é una isometria.
Nota bene:
al fatto che
Le proprietàgeometrichedell'omotetia
enunciate(o dimostrate)prima
possonotutte essereverificate
analiticamente,a partire dalle
equazioni
(2) deil'omotetia stessa.Negli
"."-pi"rr" ,"r.rorro si vedranno
alcune
di questeverifiche. Altre soi., """J;;;^:;l
-;)'s.*",;
Esempio
r
;'il;ì;;; ;:iì?"il:i".,ìJ.I?*:Tiíl_,,
" rapporro
k:
Ul Oeterminare ,:qri1: le coordinate
dei punti immagine,
f
nell'omotetia,
di A(3,2)e di B(0,_2).
c) Verificarele proprietà1.,5. e 6.
Soluzione:
a) Applicando la (2) si ha successivamente:
(r)_(-, o ,f.ì
fx,=-2x+3
(y'./-t.o -2 ulrr)= lr,=_2y_e
-6+ 3= -3
b
v )A
^ .' : { x ' =
= A'(-3,-13)
ly,=_4_9=_13
""
lx'=3
= B'(3'-5)
1r'= 4-9=-5
=,-',llrll
")iÉ=
=ff)
=-,[_;)=
-,iÈ={llt'll
E),Ai,
l(A'B')/ t(AB)
R SANTORO..
Geomitria
Cap.3: lsometrie
__..-.._,
netprano.Aspettoanalitico
e matriciale4g
Esempio2
Drta una genericaomotetia
di centro o(0,0) e di rapporto
È,dimostrare
a) una retta r: y = mx +n,
si trasforma nella rettar, :y =
mx + n
parallela ad r
b) la circonferenzadicentro
c(xo,yo)eraggio À si trasforma
nera
circonferenzaaventecome
..nió'
punto c'(fu0,tryù, omotetico
di
C,e raggio
lÉlR.
Soluzione:
a) Le equazionidell,omotetia
sono:
,
[
Ix'=kx
i.'
ly,: b
x =-,
lx
k
I
. che.sostituitenell,equazione
di r, danno:
ì
,,
l V = -
r - k
x'
,v'
r:-=*
1 7 , ' ; y , : m x , + l cona n c h er , : y : m x + n
k*77
parallelaa r (stessocoefficiente
angolare).
b) L'equazionedella circonferenza
è:
G _ * , f + ( y _ ! , f= R ,
L'equazionedella circonferenzaimmagine
é:
(x
l'
(v
\'
*
l
î
r
,
) = R 2= >
\l-',)
'
@ a,)' +(y ty,Í =(rloI
il che dimostraquantorichiesto.
8 Proiezioneortogonaresu una retta passanteper
o
La proiezione ortogonalep su una retta r é unatrasformazione
del piano n nella Íettar
che trasforma un punto P di n in un punto P' di r in modo
che il vettore Fi sia ortogonalealla retta r. In simboli:
l. p:n-+r
2 .p : P - + P '
(1)
------J
3. PP' - Lr
R.SANTORO:Geometria
50 Cap.
_ ._"..-nelpiano.Aspettoanalitico
. 3. tsometrie
e matriciate
Geometricamente:
*l t: azionep é un,applicazionesuriettiva.
Lt' r punrr
z'
delrarettar sonopunti uniti e la
rettar é ancheglobarmente
unita.
3' Se(P,P')e (e,e') sonocoppie
aiprnri
paralIele (sonoentrambepèrpendiiol "ooirpona".,ti,ìerette(pp,) e (ee,) sono
ari allar,.r r; ;;;i; ;r.
4' Duesegmentidiversiperìunghe
t:tu " p"rdirezionepossonoavere
la stessa
"voi
rper"6qfa"'u
ilil"';l;:::1il:':Xl$:Jii:::T,,i1
:
:
:.i
:iù:r,i
menre
ar
ratto
che
raproiezione
*#Hì:iT:r;:;n*JTîíÌ;n:ru.
Analiticamente:
scegliendoun sistemadi riferimento
in modo che la rettar
passaperl'origineO degli
assi,sia ax + by:0la sua
equazione,P(x,y)un genericopunto
del piano e p, (x,y,) la
sua immagine sulla rettar.
Essendoù = -bí + aj unvettore
direttore di r e
.PP' : (x'-x)í + o'-y)i, per le
condizioni(r), deveessere:
ax'+by'= 0
-b(x'-") +a(y'-y)=0
,
b
2
.tr=-l--r-TA- +b,
q
Y---)
a
b
.!
A',16z
b
q
r x *^ -- ; - ;
a2+b2
<>
'
o';b,
+
Iax'+by,=g
,
l-bx'+ay,: -ox + qy
1
l"'l- l a .b,
2+ b 2
l
l
l
l
- a b
tr,
7.r'
$
_"óy"_l
a' +6' |
a ' f l
|
(2)
7+F N)
Le equazioni(2) rappresentano
le equazionidella proiezioneortogonalesulla
retta r di
equazionecartesianaax + by: 0. L; matrice
della trasformazioneé:
(
F
-ab I
-.----l
"7' r- _l l a-ra+bb , a r + b r l
Q' I
\7 *u, ir.u, 1
il cui determinanteè, in generale,diversoda -r 1, non
essendola proiezioneortogonale su una retta una isometria.
Casi oarticolari:
o Proiezioneortogonalesullaprimabisettricey:
x. In questo caso,q= I e ó : _1.
Le (2) si scrivono:
';,==a:.**1',*[,ì
ii*)
R.SANTORO:
Geometria
.
Cap.3: lsometrienet
r
_.ptano.
Aspettoanaliticoe maticiale
51
'
i:óí::tilffflale
sullaseconda
: - x.rnquesto
bisettricev
caso,
a: l e ó : r.
r,=ti,l;,-0?,
t
'
;:t,".'i:JA;ifffle
sull'asse
delle
x (diequazio
,ey:0). rnquesto
caso,
A: 0 e
Ix,=x €) l",l (t oyxl
o
l-u'=
'
;$:LJA;Tffilt""rill'asse
[r',/=lo ú,r)
dellev
(diequazione.r:0).
rnquesto
caso,4:1e
o
(o)=(ooy,l
<,
]":=
(y'l-(o
ly'= y
t)yy)
Esempio
Sonodati i punti A(2,2)e B(3,-r) e
la rettar di equazione
y :2x.
a) Scriverele equazionidella proiezione
ortogonul" sulla retta r.
b) Determinarel,immagine ÀG del
vettore ÀÉ.
c) verificare che il vettore ÀE
della rettar.
Soluzione:
o collineare con il vettore direttore
a) Le equazionidellaproiezioneortogonale
sonodateda,e (2),
p o n e n dao:2 e b : - l:
2
l , | +!r
),'=,x
l
"
(
2/\r ',
% 'ùl:
€) l,,l zi
2
4
| , * *it
lr,)=l
/ \7s Hv) I
\-Y
[r'=i
(d tr\
b) Siha,'l;,
(r r\
; ), r G.;l = AÉ,= _t_2j
c) Essendoù = I + 2j il vettoredirettoredella retta
r, risulta
A G ' =- d .
Restacomunquevalido il principio che non é necessario
ricordarea
memoria le (2): bastaripetere,nel casospecifico,il procedimento
seguitoper dedurlenel casogenerale.
R.SANTORO:
Geometria
52 Cap.3: tsometrie,
_ nel piano. Aspettoanatiticoe
matriciale
9 Esercizi
N'B' Per gri esercizi2, 3, .,13,
14 e ..6,si consigriaro studente
di non ricordare a
fr:#:r;:j,t #:-ute,
madi rifureit ragionamenlto
pr"rndnrraper trovarete
?a*o.in-
1
Scriverele equazionidella traslazione
,
di vettore , =( )
\-) l
2
scrivere le equazionidella simmetria
ortogonalerispetto ailarettay:
)y.
3
Scrivere le equazioni della simmetria
4
Datele retter: y: x es:./: x _1,
scrivere
a) le equazionidelrasimmetriaortogonale
o, rispettoa,aretîar;
b) le equazionideila simmetriaortogonale
o, rispettoalla retta s;
c) le equazionidclla isometriaol"o2.
Coru ríprà osservare?
5
Scriverele equazionidelle rotazionirispetto
ad o e di angolo 45o, 60o.90".
6
Studiaree classificarele trasformazioni
(r
,
ortogonalerispetto a\a rettay : _x t
2.
caratterizzatedalle matrici:
J3l
(q
3l
- _ l
M' ,i =v l 3T 2 .1 " u , = 1 1
.sl
I
l i
(t -t)
t ;
- - ' 1 34 |
\t i)
Dimostrareche la matrice dell'isometriacomposizione
di due isometrieè uguale
al prodotto delle matrici delle due isometrie(fare
attenzioneall,ordine con cui si
eseguela composizionedelle due isometriee, quindi,
all,ordine del prodotto
delle due matrici).
(z\
Data la traslazionet di vettore o = [ t j 'la simmetria
ortogonaleo di €rsse
y:
3x, determinare:
a) le matricidi t, di o, di o.ote di too
b) il valoredei determinantidellematrici precedenti
per classificare
il tipo di
isometriacorrispondente.
Sonodatele retter: y:2x, s:y: 4x.
a) Determinare I'angolo tra le rette r e s.
b) Determinarele equazionidella simmetriaortogonaleo, rispetto
allarettar.
c) Determinarele equazionidella simmetriaortogonaleo, rispetto
alla retta s.
d) Determinarele equazionidella isometriao,oor. cosa sÍ può concludere?
l0
E dato il punto Q(1,-2).
a) Determinarele equazionidella rotazionedi centroc) e angolo 30o.
R.SANTORO:
Geometria
cap.3'. lsometrienetpiano. Aspetto
anatiticoe manciares3
b) Determinaredue simmetrie
ortogonalila cui composizione
sia ugualealla
rotazioneprecedente.
l1
sono date re trasformazionidel
piano in sé definite da'e matrici:
(a
1I
',^^-=
i ! l a' - l^ ,- ( o- ' l
o)'
\ z - ft )l " ' = [ - r
a) Caratterjzzare geometricamente
le trasformazioni To e Tu.
b) Determinare la trasformazione
c)Seuna
circonre
îenzar,u
"quu,il:1il']b?;
3 ='^",::ilil'#í"
immagine nella trasfo rmazione
Ts o To.
(t
12
E d'atalamatrice
M =l
r'l
ì^
? "*trasformazione delpianoin séviene
i v 3 1 !l
definitadallamatri"";.'
t )
a) caratterizzare il tipo di trasform
azionee individuare gli eventuali punti
uniti.
b) Determinare come si trasforma la
rettay : 2x, nellatÀsformazione di matrice
M.
c) Determinare come si trasforma, nelra
trasformazionedi matrice M,
I'equazionedella circonferenzadicentro
c(-r,3) e raggio uguarea 4.
13
a) scrivere le equazionideil'omotetiadi
centro(1,4) e rapportok: 3.
b) SeA(1,-3), B(3,-0ìe C(2,2),disegnare
il triangoloABó e la suaimmagine,
nell'omotetia,
A,B'C,
c) Determinarel'immagine, nell,omotetia,
della retta2x_y + | :0.
d) DeterminareI'equazionedellacirconferenzaimmagine
della circon ferenza
aventecentro in (2,0) e raggio ugualea 4.
e) calcolare il rapportodelle areeracchiusedalle
due circonferenze.
t4
Data una genericaomotetia di centro (0,0) e rapporto
k, verifrcareanaliticamente
che:
a) il punto medio dell'immagine di un segmento
coincidecon l,immagine del
punto medio del segmento.
b) il perimetrodel triangolo immagineA'B'c' é É
volte il perimetrodel
triangolo ABC.
c) l'area del triangolo immagineA'B,c, e È voltel'area
del triangolo ABC.
1 5 Sono datele omotetiefr1di centro(0,0) e rapportokt:3 e
h, dicentro (0,0) e
rapportokz: -2.
b) Determinarele matrici delle omotetieh1,h2,hph2, h2oh1.
c) Come é possibilescriverele ultime due matrici della domanda
precedente?
R.SANTORO:Geometria
54 Cap'3: rsometrie
netpiano.Aspettoanatitico
e matriciare
t6
a) Scriverele equazionidella proiezione
ortogonalesulla retta di equazione
cartesianay: -3x.
t
Îli
A(3,4)e B(-1,2),determinare
le coordinate
delleroroimmagini
;T*t
c) Verificare che le rette (AA,) e (BB,)
sonoparallele.
d) Verificare che il vettore ÀG e parallelo
allarettay : -3x.
t7
a) scrivere le equazionile equazioni
della proiezioneortogonalesulla retta di
equazionex+2y*1:0.
b) Dati i punti A(3,4) e B(-1,2), determinare
le coordinatedelle roro immagini
A'e B'.
l8
scrivere le equazionidella proiezioneortogonale
suila retta ax + sy * c : 0.
l9
Sono dateI'omotetia h, di centro(0,0) e rapporto
k: -2e la proiezione
ortogonalep sulla rettay: -2x.
a) Scriverele equazionidi h e dip, determinando
anchele matrici che le
definiscono.
b) scrivere le equazioni delle trasformazioni piane
ltop e poh determinando
anchele matrici che le definiscono.
c) Scrivere le matrici delle ultime due trasformazioni in
funzione delle matrici
dihedip.
20 Nelpianoeuclideodi origineO sonodatii puntiA(1,0),B(0,1),al:,+1.
\)
( a ?\
D l- - . : l .
\ 5.5/
/
/ +
\
+ \
a) Mostrareche I OC,OD | é una baseortonormata.
\
/
b) Determinarele equazionidell'isometriaf definita in modo che:
(O):O,f(A):Cef(B):O.
R.SANTORO:
Geometria
5)
