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Formulario generale di geometria analitica
Prof. Carlo Alberini
1 febbraio 2012
1. Dati due punti nel piano cartesiano A(x 1 ; y 1 ) e B (x 2 ; y 2 ) si definisce distanza tra A e
B la lunghezza del segmento AB tale che:
AB =
√
(x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2
2. Dati due punti nel piano cartesiano A(x 1 ; y 1 ) e B (x 2 ; y 2 ) si calcolano le coordinate
del punto medio M del segmento AB in modo che sia:
M
(x +x y + y )
1
2
1
2
;
2
2
3. Dati tre punti nel piano cartesiano A(x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ) e C (x 3 ; y 3 ) si calcolano le
△
coordinate del baricentro G del triangolo A BC in modo che sia:
G
(x +x +x y + y + y )
1
2
3
1
2
3
;
3
3
4. Dati tre punti nel piano cartesiano A(x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ) e C (x 3 ; y 3 ) si calcola l’area del
△
triangolo A BC in modo che sia:
A
△
A BC
¯

¯
x1
¯
1¯

= ¯det x 2
2¯
x3
¯
y 1 1 ¯¯
y 2 1 ¯¯
y3 1 ¯
5. Siano a , b e c numeri reali. Allora l’equazione ax +b y +c = 0 è l’equazione implicita
di una retta generica del piano cartesiano.
6. Siano m e q numeri reali. Allora l’equazione y = mx + q è l’equazione esplicita di
una retta (orizzontale od obliqua) del piano cartesiano.
7. Sia k un numero reale. Allora l’equazione x = k è l’equazione di una retta (verticale)
del piano cartesiano.
a
b
8. Dall’equazione implicita di una retta nel piano cartesiano, segue che: m = − ,
q =−
c
c
(sotto la condizione b ̸= 0) e k = − (sotto la condizione a ̸= 0).
b
a
1
9. Dato il punto P 0 (x 0 ; y 0 ) del piano cartesiano, il fascio di rette proprio di centro P 0 è
dato da: y − y 0 = m(x − x 0 ).
10. Due rette del piano cartesiano sono tra loro parallele se i loro coefficienti angolari
′
rispettano la condizione: m = m .
11. Due rette del piano cartesiano sono tra loro perpendicolari se i loro coefficienti
′
angolari rispettano la condizione: m · m = −1.
12. Dato il punto P 0 (x 0 ; y 0 ) del piano cartesiano e una retta r nella forma ax +b y +c = 0,
si calcola la distanza del punto P da r in base alla formula: d (P 0 ; r ) =
|ax 0 + b y 0 + c|
.
p
a2 + b2
13. Formule generali sulle circonferenza:
γ : (x 2 − α)2 + (y 2 − β)2 = r 2
centro: (α; β), raggio =r
γ : x 2 + y 2 + ax + b y + c = 0
√
(
)
( a )2 ( b )
a b
centro: − ; − , raggio: = −
+ − −c
2 2
2
2
14. Formule generali sulle parabole:
con asse di simmetria parallelo all’asse y :
con asse di simmetria parallelo all’asse x :
γ : y = ax 2 + bx + c
γ : x = ay2 + by + c
(
b
∆
vertice: − ; −
2a 4a
)
(
)
∆
b
vertice: − ; −
4a 2a
(
)
b 1−∆
fuoco: − ;
2a 4a
direttrice: y =
(
fuoco:
−1 − ∆
4a
asse di simmetria: x = −
b
1−∆
;−
4a
2a
direttrice: x =
b
2a
)
−1 − ∆
4a
asse di simmetria: y = −
2
b
2a
15. Formule generali sulle ellissi (forma canonica):
con asse maggiore coincidente all’asse x : (a ≥ b)
γ:
con asse maggiore coincidente all’asse y :(a ≤ b)
x2 y 2
+
=1
a2 b2
γ:
vertici: (a; 0), (−a; 0), (0; b), (0; −b)
c=
p
x2 y 2
+
=1
a2 b2
vertici: (a; 0), (−a; 0), (0; b), (0; −b)
a 2 − b 2 , fuochi: (c; 0), (−c; 0)
c=
p
a 2 − b 2 , fuochi: (0; c), (0; −c)
√
c
eccentricità: e = =
a
√
b2
1− 2 ≤ 1
a
c
eccentricità: e = =
b
1−
a2
≤1
b2
N.B. Qualora un’ellisse abbia eccentricità e = 1 degenererebbe in una circonferenza
di equazione x 2 + y 2 = a 2 , di centro - quindi - O(0; 0) e raggio r = a .
16. Formule generali sulle iperboli (forma canonica):
con i fuochi sull’asse x :
γ:
con i fuochi sull’asse y :
x2 y 2
−
=1
a2 b2
γ:−
vertici: (0; b), (0; −b)
vertici: (a; 0), (−a; 0)
c=
p
x2 y 2
+
=1
a2 b2
a 2 + b 2 , fuochi: (c; 0), (−c; 0)
c=
p
a 2 + b 2 , fuochi: (0; c), (0; −c)
√
c
eccentricità: e = =
a
√
b2
1+ 2 > 1
a
c
eccentricità: e = =
b
b
a
b
a
asintoti: y = ± x
asintoti: y = ± x
N.B. Una iperbole non può avere eccentricità e = 1.
3
1+
a2
>1
b2
17. Formule generali sulle iperboli equilatere riferite ai propri assi di simmetria:
con i fuochi sull’asse x :
con i fuochi sull’asse y :
γ : x2 − y 2 = a2
γ : −x 2 + y 2 = a 2
vertici: (a; 0), (−a; 0)
vertici: (0; a), (0; −a)
p
( p ) ( p )
c = a 2, fuochi: a 2; 0 , −a 2; 0
p
p
p )
(
c = a 2, fuochi: 0; a 2), (0; −a 2
p
p
eccentricità: e = 2
eccentricità: e = 2
asintoti: y = ±x
asintoti: y = ±x
18. Formule generali sulle iperboli equilatere riferite ai propri asintoti:
y=
k
, con k ∈ R
x
asintoti: x = 0, y = 0.
se k > 0
vertici:
se k < 0
vertici:
(p p ) ( p
p )
k; k e − k; − k
(√
|k|; −
√
) ( √
√ )
|k| e − |k|; |k|
19. Formule generali sulle iperboli equilatere traslate:
y=
ax + b
, con c ̸= 0 e ad − bc ̸= 0
cx + d
d
c
a
c
asintoti: x = − , y = .
4