Le isometrie
Capitolo
3
Simmetria centrale e assiale
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quesiti 1.a Completare:
Punti
1. In una simmetria assiale di asse r, i punti appartenenti a r sono
detti ............. .
2. In una simmetria centrale di centro O, se A è l’immagine di A allora OA............. .
3. In una simmetria assiale di asse r, se la retta s ha come immagine se
stessa allora s è ............... all’asse r; s è una retta ............... , ma non
è una retta di punti................ .
4. I punti uniti in una isometria sono punti che hanno come immagine................ .
5. Una figura ha un centro di simmetria quando ............................
........................................................................................................ ,
ha un asse di simmetria quando ..........................................................
........................................................................................................ .
.../...
.../...
1.b Vero o falso?
1. Una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca tra punti del piano.
2. Una isometria non conserva l’ampiezza degli angoli.
3. La simmetria assiale è una trasformazione involutoria.
4. Due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono indirettamente uguali.
5. Due figure che si corrispondono in una simmetria centrale sono indirettamente uguali.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Simmetria 2.a Nella figura è rappresentata una simmetria centrale di centro O.
centrale
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
1. AB DC
V
F
2. AO OC
V
F
3. OB OC
V
F
V
F
V
F
4. D SO 1A2
5. C SO 1O2
2.b Disegnare il simmetrico del segmento AB rispetto al centro O, indicando con A e B le immagini dei punti A e B.
.../...
.../...
Completare:
1. AB ......
2. AO ......
3. BO ......
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195
2.c Dopo aver verificato che la trasformazione che porta la figura F nella
figura F è una simmetria centrale, individuarne il centro O.
.../...
Simmetria 3.a Nella figura è rappresentata una simmetria assiale Sr di asse r. Stabilire
assiale
se le seguenti affermazioni sono vere o false.
.../...
1. AH DH
V
F
2. Sr(B) B
V
F
3. CB EB
V
F
4. Sr 1A B̂C2 D B̂E
V
F
5. CK EK
V
F
3.b Disegnare il simmetrico del triangolo ABC rispetto all’asse r, indicando con A, B, C le immagini dei punti A, B, C.
.../...
Completare:
1. A¿C¿ .....
2. B¿C¿ .....
3. A¿B¿ .....
4. C¿H .....
5. CH .....
3.c Dopo aver verificato che la trasformazione che porta la figura F nella
figura F è una simmetria assiale, individuarne l’asse r.
196
.../...
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Le isometrie
Capitolo
3
Traslazioni - Rotazioni Composizioni di isometrie
Verifica per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quesiti 1.a Completare:
1. In una traslazione
Punti
tv! ,
!
v rappresenta .............................................. .
.../...
2. Nella rotazione O, , O rappresenta ....................................................
e rappresenta .............................................................................. .
3. La composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele corrisponde a ............................................................................ .
4. I punti uniti in una rotazione sono punti che hanno come immagine ............................................................................................. .
5. Ogni rotazione è caratterizzata da ........... elementi.
.../...
1.b Vero o falso?
1. Una rotazione non conserva l’ampiezza degli angoli.
V
F
2. La trasformazione composta SO1 SO2 si ottiene eseguendo prima la simmetria di centro O1 e poi la simmetria di centro O2.
V
F
3. La composizione di due traslazioni non gode della
proprietà commutativa.
V
F
4. La composizione di due simmetrie assiali gode della
proprietà commutativa.
V
F
5. Ogni isometria diversa dall’identità si ottiene componendo al più tre simmetrie assiali.
V
F
Traslazione 2.a Nella figura è rappresentata una traslazione tv! . Stabilire se le seguenti
affermazioni sono vere o false.
1. tv! 1A2 H
2. tv! 1DC 2 HG
ˆG
3. t ! 1AD̂C 2 EF
v
4. BF DH
!
!
5. AE v
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
!
2.b Eseguire la traslazione della figura ABCD secondo il vettore v , indicando con A, B, C, D le immagini dei punti A, B, C, D.
Completare:
.../...
.../...
1. DD¿ .....
2. A¿B¿ .....
3. B¿C¿ .....
ˆ C¿ .....
4. A¿D¿
5. CC¿ ...... ...... ....... ......
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197
2.c Dopo aver verificato che la trasformazione che porta
! la figura F nella
figura F è una traslazione, individuare il vettore v che la rappresenta.
.../...
Rotazione 3.a Nella figura è rappresentata la rotazione O,90°. Stabilire se le seguenti
affermazioni sono vere o false.
.../...
1. rO,90° 1E2 H
V
F
V
F
3. rO,90° 1AB̂E2 FL̂I
V
F
4. BÔL EÔI
V
F
5. OD OH
V
F
2. rO,90° 1B2 L
3.b Eseguire la rotazione di 90° della figura ABC rispetto al centro O,
indicando con A, B, C le immagini dei punti A, B, C.
Completare:
.../...
1. C¿ÔC ..... .....
2. A¿C¿ .....
ˆ B¿ .....
3. A¿C¿
4. A¿O .....
5. B¿C¿ .....
198
3.c Dopo aver verificato che la trasformazione che porta la figura F nella figura F è una rotazione, individuarne il centro O, l’ampiezza dell’angolo di rotazione e il verso.
.../...
Composizione 4.a Individuare e descrivere le due isometrie che compongono la trasfordi isometrie
mazione che porta la figura 1 nella figura 3.
.../...
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Le isometrie
Capitolo
3
Simmetria centrale
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Costruire il simmetrico di un triangolo
ABC rispetto al punto P.
1.
2.
3.
4.
5.
Punti
Costruire il Triangolo
ABC.
Colorare il triangolo ABC con il Riempimento
.
Disegnare un Punto
P esterno al triangolo.
Con lo strumento Simmetria centrale
disegnare il simmetrico del triangolo ABC.
Chiamare i nuovi tre vertici ottenuti A, B e C (dove A è il simmetrico di A...).
6. Verifica della costruzione / Teoria
6.a Con lo strumento Calcolatrice
calcolare AB/AB ....; CP/CP .... .
6.b Con lo strumento Misura dell'angolo
individuare gli angoli congruenti
(anche modificando il triangolo ABC con il mouse).
6.c Individuare nella figura formata i segmenti paralleli.
6.d Alla luce di quanto osservato, descrivere un procedimento per costruire un parallelogramma di cui siano noti un lato e le lunghezze delle due diagonali ...............
............................................................................................................................... .
6.e Come sono tra loro i triangoli ABC e ABC? ..................................................... .
(Fornire una dimostrazione del risultato ottenuto.)
6.f Osservare il verso di percorrenza delle figure: si tratta di un'isometria ............... .
6.g Muovere il punto P sul piano di lavoro fino a farlo coincidere con un vertice o
farlo diventare interno al triangolo.
6.h Indicare i punti uniti della figura nelle due diverse posizioni del punto P.
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
7. Ritornare alla situazione di partenza, in cui il punto P è esterno al triangolo ABC ed è
stato costruito il triangolo ABC.
8. Verifica della costruzione / Teoria
8.a Con quale delle seguenti coppie di trasformazioni applicate al triangolo ABC non
è possibile ottenere lo stesso triangolo ABC?
a traslazione e simmetria assiale
b traslazione e rotazione
c due simmetrie assiali
8.b Comporre sul foglio di lavoro una coppia di isometrie tra quelle indicate per ottenere ABC.
8.c Descrivere il procedimento utilizzato. .................................................................. .
8.d Dove sono state posizionate le rette o i punti (se necessari alla costruzione)?
Quanto misura l'ampiezza degli angoli utilizzati (se necessari alla costruzione)?
8.e Nel caso in cui il punto P coincida con un vertice del triangolo, quali simmetrie
possono essere utilizzate in alternativa a quella centrale?
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
Facoltativo. Costruire un quadrato ABCD e posizionare il punto P nel centro del quadrato.
Ripercorrere i punti del problema precedente mostrando quali sono i punti uniti e quali gli
invarianti nella trasformazione.
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199
Capitolo
3
Le isometrie
Simmetria assiale e simmetria centrale: verifica e laboratorio di Cabri
Obiettivi
●
●
●
●
●
●
Verifica
Definire le simmetrie centrale e assiale
1.a; 1.b
Definire/Individuare gli invarianti in una trasformazione
1.a; 1.b; 2.a; 3.a
Costruire il simmetrico di un punto (di una figura) rispetto a un asse o a un 1.a; 1.b; 3.b
centro
Riconoscere proprietà simmetriche di figure
1.a
Riconoscere simmetrie assiali e centrali
2.a; 2.c; 3.a; 3.c
Riconoscere le trasformazioni geometriche come funzioni
1.b
Soluzioni degli esercizi
Lab.
Cabri
Teoria al
paragrafo
★
★
★
§ 4, 5
§ 1, 2, 4, 5
§ 4, 5
★
§ 4, 5
§ 4, 5
§1
tempo previsto: 60 min
1.a
1.b
2.a
2.b
3.a
3.b
1. punti uniti
2. OA
3. perpendicolare, unita, uniti
4. se stessi
5. Il simmetrico rispetto a O di ogni punto della figura rimane un
punto della figura, cioè la figura viene trasformata in sé dalla
simmetria centrale; il simmetrico rispetto a r di ogni punto della
figura rimane un punto della figura, cioè la figura viene trasformata in sé dalla simmetria assiale.
1. V;
2. F;
3. V;
4. V;
5. F
1. V;
2. F;
3. V;
4. V;
5. F
AB AB
AO AO
BO BO
1. F;
2. V;
3. F;
4. V;
5. V
AC AC
BC BC
AB AB
CH CH
CH ⊥ r
Traslazioni. Rotazioni. Composizioni di isometrie: verifica e laboratorio di Cabri
Obiettivi
●
●
●
●
●
●
Verifica
Definire la rotazione
Definire la traslazione
Definire/Individuare gli invarianti in una trasformazione
Definire la composizione di due o più isometrie e conoscerne le proprietà
Costruire il trasformato di un punto (di una figura) tramite rotazione attorno a
un centro
Costruire il trasformato di un punto (di una figura) tramite traslazione di un
vettore
Riconoscere traslazioni e rotazioni
Comporre due o più isometrie
1.a; 1.b
1.a
1.a; 2.a; 3.a
1.a; 1.b
3.b
1. il vettore che indica
direzione e verso
2. il centro; l’angolo
di rotazione
3. una traslazione
4. se stessi
5. due
200
1.b
1. F;
2. F;
3. F;
4. F;
5. V
Teoria al
paragrafo
★
★
§6
§7
§ 1, 2, 6, 7
§ 1, 3, 8
§6
2.b
§7
2.c; 3.c
4.a
§ 6, 7
§ 3, 8
★
Soluzioni degli esercizi
1.a
Lab.
Cabri
tempo previsto: 60 min
2.a
2.b
3.a
3.b
4.a
1. F;
2. V;
3. F;
4. V;
5. V
!
DD v
1. F;
2. V;
3. V;
4. V;
5. F
CÔC AÔA BÔB
AC AC
AĈB AĈB
AO AO
BC BC
una simmetria
assiale più una
traslazione
AB AB
BC BC
A D̂C A D̂C
CCAABBDD
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