1) Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono 3 a caso;
qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?
Prima soluzione (utilizzando il Calcolo Combinatorio)
Casi possibili C 16,3
Casi favorevoli C 12,3
La probabilità richiesta è
Seconda soluzione ( utilizzando il grafo ad albero)
M
F
12/16
4/16
11/15
10/14
P(MMM) =
2) Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Merè (1620-1685) amico di Blaise
Pascal: “giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo
dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”
Definiti gli eventi
E = {Esce il numero 1} F = {Esce la coppia di numeri 1, 1},
si tratta di ottenere le seguenti probabilità:
a.
P(A) : la probabilità che con 4 lanci di un dado si ottenga almeno una volta l’evento
E ossia si abbia almeno un successo su 4 prove, ciascuna ripetuta nelle medesime
condizioni e indipendentemente dalle prove precedenti;
b. P(B) la probabilità che si presenti almeno una volta l’evento F in una serie di 24
prove con due dadi.
In entrambi i casi conviene considerare l’insieme complementare
{Esce un numero diverso da 1}
{Esce una coppia di numeri diversa dalla coppia di numeri 1, 1},
a) P(E) =1/6
P( ) = 5/6
La probabilità che si verifichi sempre
in 4 prove è
P {Esce il numero 1 almeno una volta in 4 prove} = 1-(5/6)4
b) P(F) = 1/36
p( ) = 35/36
La probabilità che si verifichi sempre
in 24 prove è
P{Esce la coppia di numeri 1, 1 almeno una volta in 24 prove}=
Confronto:
Supponiamo che la prima probabilità sia maggiore della seconda
Verifichiamo se l’ultima disuguaglianza è vera passando ai logaritmi
4 ln 5- 4ln6 <24 ln35-24 ln 36
4 ln 5 -4 ln 6< 24 ln 5 +24 ln 7 -48 ln 6
44 ln 6 < 20 ln 5 +24 ln 7→ 6 ln 7+5ln5-11 ln 6
Il risultato conferma quindi che P(A) > P(B)
3) Assumendo che i risultati - X, 1, 2 - delle 13 partite del Totocalcio siano equiprobabili, calcolare
la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.
Casi possibili Dr 3,13 = 3 13
Casi favorevoli:
le sequenza del tipo
1
X XXXXXXXXXXX
2
sono in tutto 26 ( 13 che contengono un 1 e 13 che contengono un 2) tenendo conto che il risultato
diverso da X può stare in una delle 13 posizioni
La probabilità richiesta è
Utilizzando i teoremi della probabilità si può dire che ciascuna delle sequenze del tipo
X XXXXXXXXXXX
ha probabilità
Poiché le suddette sequenze sono in numero di 13 si ottiene
=
4) Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune
difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e
C
ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia
difettosa?
Definiti gli eventi
D = {la lampada `e difettosa}
EA = {lampada estratta dalla scatola A}
EB = {lampada estratta dalla scatola B}
EC = {lampada estratta dalla scatola C}
notiamo che gli eventi D∩EA, D ∩EB, D ∩EC sono incompatibili e che l’evento
complesso D si pu`o decomporre nell’unione dei tre precedenti ossia
per il teorema delle probabilità totali e quindi esprimere
la probabilità dell’evento D, p(D) come
p(D) = p(D ∩ EA) + p(D ∩ EB) + p(D ∩ EC).
Applicando il teorema della probabilità composta
p(D ∩ EA) = P(EA)*P(D/EA)
p(D ∩ EB) = P(EB)*P(D/EB)
p(D ∩ EC) = P(EC)*P(D/EC)
Poich´e si sceglie una scatola a caso risulta p(EA) = p(EB) = p(EC) = 1/3 mentre,
una volta scelta la scatola, risulta
P(D/EA) = 0.05
P(D/EB)=0,20
P(D/EC) =0,10
Pertanto la probabilità richiesta è 0,35/3
0,1167
5) Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è
la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in
sei lanci?
Evento A {Esce una coppia di numeri la cui somma è 10},
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Casi possibili 36
Casi favorevoli 3 →P(A) = 3/36 = 1/12
a)La probabilità che A si verifichi due volte in 6 lanci è la probabilità totale delle sequenze del tipo
Esse sono in numero di C6,2 = 15 e ciascuna ha probabilità
P(2 volte 10 in 6 lanci) = 15*
≈ 0,0735
b)La probabilità che A si verifichi almeno due volte in 6 lanci può essere calcolata attraverso l’evento
complementare {A si verifica 0 volte o A si verifica 1 volta}
Probabilità dell’evento {A si verifica 0 volte} =
Probabilità dell’evento {A si verifica 1 volta} 6
La probabilità richiesta è 1-
-
≈ 0,0831.
6) Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale
ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: “che cos’è la probabilità?” era
solito rispondere: “la probabilità non esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta?
E’ possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state
storicamente proposte?
La frase di Bruno De Finetti è coerente con la definizione soggettiva di probabilità, proposta dallo stesso De
Finetti;
la probabilità di un evento è il valore o prezzo p che un giocatore equo e coerente
è disposto a pagare per ricevere una vincita pari ad 1 nel caso si verifichi
l’evento
La suddetta definizione mette in rilievo l’importanza del <<soggetto >> nella definizione di
probabilità.La probabilità è legata essenzialmente al grado di fiducia che un individuo coerente
attribuisce al verificarsi dell’evento.
7) Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per
ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta?
La probabilità che il tiratore non colpisca il bersaglio è 0,7 e la probabilità che non lo colpisca mai
in n tiri è (0,7) n.
Pertanto la probabilità che il bersaglio sia colpito almeno una volta in n tiri è 1-(0,7) n
Imponendo 1-(0,7) n≥0,99
Si ottiene
(0,7)n ≤0,01→ n ln(0,7) ≤ ln (0,01)→n≥ ln(0,01)/ ln (0,7) ( si cambia il verso della disuguaglianza
in virtù del fatto che ln(0,7) è un numero negativo
n≥12,91 ovvero n≥13, dovendo n essere un numero intero
8) Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.
L’insieme dei punti del triangolo aventi distanza maggiore di dai vertici , corrisponde alla zona interna al
triangolo ma esterna ai tre settori circolari evidenziati in figura.
L’area della suddetta regione che indicheremo con R , è la differenza tra l’area del triangolo e l’area
complessiva dei tre settori circolari
L’area del triangolo è
L’area complessiva dei tre settori circolari equivale a
ovvero
quindi l’area della regione R è
Possiamo considerare il numero dei casi favorevoli proporzionale all’area di R e il numero dei casi
possibili proporzionale all’area del triangolo
La probabilità richiesta è
≈ 0,5969
9) In una classe composta da 12 maschi e 8
femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8
studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo,
vi siano esattamente 4 studentesse?
Prima soluzione (utilizzando il Calcolo
Combinatorio)
Casi possibili C 20,8
Casi favorevoli C 12,4 * C8,4
La probabilità richiesta è
= 0,275 =
27,5 %
Seconda soluzione
Si consideri la probabilità totale delle sequenze del tipo MMMMFFFF che sono in numero di C8,4
Poiché ciascuna sequenza ha probabilità
Si ottiene
Risultato uguale al precedente
10) [2008, PNI.suppletiva] Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata,
si ottenga 4 volte testa
Si deve ottenere in uscita una sequenza del tipo TTTTCCCC realizzabile in
Poiché la probabilità della singola sequenza è si ottiene
=
OVVERO
Casi possibili
Probabilità
=
Casi favorevoli
modi diversi
