numeri fatidici dispari

ESISTENZA DI NUMERI FATIDICI DISPARI
Gruppo “B: Riemann*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
**Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e
sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show the odd fatidic numbers
Riassunto
In questo lavoro parleremo dei numeri fatidici dispari
Prima di vedere i numeri fatidici dispari e il loro problema
matematico ancora irrisolto (sulla loro esistenza), vediamo, da
Wikipedia, i numeri fatidici pari:
Numero fatidico
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, un numero fatidico è un numero naturale abbondante ma non semiperfetto.[1]
Questo vuol dire n è fatidico se la somma dei divisori di n (escluso il numero stesso) è maggiore di
n ma non esiste nessun sottoinsieme di questi divisori la cui somma è n.
Il più piccolo numero fatidico è 70; un esempio di numero abbondante ma non fatidico è 12, i cui
divisori propri sono 1, 2, 3, 4 e 6 (che sommati danno 16) ma 2+4+6=12.
1
I primi numeri fatidici sono 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... (Sequenza A006037
dell'OEIS) È stato dimostrato che esistono infiniti numeri fatidici, e che la sequenza di questi
numeri ha una densità asintotica positiva.[2]
Non è noto se esistano numeri fatidici dispari; se ne esistono, devono essere maggiori di
.
Stanley Kravitz ha dimostrato che se k è un intero positivo e Q un numero primo tali che
è primo, allora
è un numero fatidico.[3] Con questa formula, trovò il numero fatidico più grande oggi conosciuto:
. … “
Prima di esaminare l’esistenza o meno dei numeri fatidici
dispari, vediamo forma aritmetica e distribuzione fino ad N =
10^n, alla ricerca di indizi sulla soluzione, diretta o indiretta,
del problema
Forma aritmetica.
Essendo pari, i numeri fatidici debbono essere di forma 6k,
6k-2 (come i numeri perfetti) o 6k – 4 , mentre i numeri primi,
(tranne il 2 e il 3 iniziali), sono di forma 6k - 1 e 6k + 1,
essendo dispari ma saltano le forme 6k – 3 e 6k + 3, poiché,
essendo multipli di 3, non possono essere numeri primi.
2
TABELLA 1
Numeri
fatidici
70
836
4030
5830
7192
7912
9272
10430
…
6k – 2
6k
(abb. > 1
6k + 2
= 6*12 – 2
= 6*139 + 2
= 6*672 – 2
= 6*972 – 2
= 6*1199 – 2
= 6*1319 – 2
…
…
= 6*1545 + 2
= 6*1738 + 2
…
Osservazioni:
Non si riscontrano numeri di forma 6k, ma solo 6k – 2 e 6k + 2
Ricordiamo che i numeri perfetti sono tutti di forma 6k -2,
tranne il 6 iniziale, e che i numeri semiperfetti sono invece di
forma 6k – 2, 6k e 6k + 2, che riguardano tutti i numeri pari.
Distribuzione
Circa la loro distribuzione fino a 10^n, vediamo che i numeri
fatidici sono piuttosto rari, ma forse questo ha poca
3
importanza ai fini della dimostrazione dell’esistenza di
numeri fatidici dispari
TABELLA 2
n
N=10^n
1
2
3
4
5
6
10
100
1 000
10 000
20 000
100 000
1 000 000
Numero di
fatidici pari
0
1
2
7
35
?
?
Conclusione
Poiché i numeri fatidici pari sono abbondanti, sebbene non
semiperfetti, i numeri fatidici dispari non sono possibili, forse
per lo stesso motivo per cui non possono esistere i numeri
perfetti dispari (Rif.1) : poiché tutti i numeri dispari primi
sono difettivi, e i multipli di 3 anche, sebbene in misura minore
dei numeri primi (i numeri dispari multipli di 3 hanno
abbondanza attorno a 0,5 tranne qualcuno, per es. 945, che
rivedremo in seguito), quindi non possono essere abbondanti
4
né come i numeri perfetti pari, né come i numeri fatidici pari,
che sono abbondanti per definizione; mentre i numeri perfetti
pari (abbondanza = 1) hanno abbondanza 1 e quindi non sono
né abbondanti (abb. > 1) né difettivi (abb.< 1)
Ci sono alcuni numeri dispari abbondanti, come 945, di forma
6k – 3, di solito difettivi . Prendiamo come esempio proprio
945 =1*3^3 *5*7 , divisori 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63,
105, 135, 189, 315, 945 somma divisori s(n) = 975, abbondanza
975/945 = 1,031 > 1, quindi numero abbondante. Come
multiplo dispari di 3, 945 si trova nella forma 6k-3, e quindi
dei numeri in gran parte difettivi, con qualche eccezione di
numero abbondante (945 ne è il primo), che però non può
essere fatidico.
Quindi i numeri fatidici possono essere soltanto pari, come in
realtà si osserva (sequenza OESIS A006037, Rif.2).
Il problema dell’esistenza dei numeri fatidici dispari quindi
può considerarsi risolto in senso negativo: non possono
5
esistere, forse nemmeno dopo 10^17, come accennato
nell’osservazione di Wikipedia:
“Non è noto se esistano numeri fatidici dispari; se ne esistono, devono essere maggiori di
.”
Poiché, come numero dispari, è molto difettivo (al massimo
≈ 0,5 < 1) se multiplo di 3, e molto meno se è numero primo o
un suo multiplo o una sua potenza, o un prodotto di primi
(tranne il 2) tutti di forma 6k -1 e 6k +1 e tutti più o meno
difettivi, salvo qualche raro numero dispari, come il 945 sopra
accennato. La causa della non esistenza dei numeri fatidici
dispari forse è da ricercare nella fattorizzazione dei numeri
semiperfetti , connessi, come i numeri perfetti (dei quali sono
un sottoinsieme), alle potenze n di 2 di forma 6k -2 (per es.
2^4 = 16 = 6*3 -2 = 18 – 2 =16 se l’esponente è pari e 6k+2 se
n è dispari(es. 2^5 = 6*5+2 =30+2 =32).Vediamo ora una
tabella dei fattori dei numeri semiperfetti per verificare questa
nostra supposizione:
Un numero si dice semi-perfetto se è uguale alla somma di alcuni (o tutti) suoi divisori. In
particolare poi, quando un numero è uguale alla somma di tutti i suoi divisori (eccetto se stesso) si
dice perfetto. I primi numeri semi-perfetti sono: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60,
66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100… (Sequenza A005835 dell’OEIS)
6
TABELLA 3
Numeri
semiperfetti e
forma
6
6k
perfetto
12
6k
18
6k
20
6k+2
24
6k
28
6k-2
perfetto
30
36
40
42
48
54
56
60
66
72
78
80
…
496
perfetto
…
Fattori primi
Potenze di 2
2*3
2
2*2*3
2*3*3
2*2*5
2*2*2*3
2*2*7
4
2
4
8
4
6k
6k
6k-2
6k
6k
6k
6k+2
6k
6k
6k
6k
6k+2
2*3*5
2*2*3*3
2*2*2*5
2*2*3*7
2*2*2*2*3
2*3*3*3
2*23
2*2*3*5
2*3*11
2*2*2*3*3
2*3*13
2*2*2*2*5
…
6k-2 2*2*2*2*31
2
4
8
4
16
2
2
4
2
8
2
16
…
…
…
I numeri fatidici sono tutti pari poiché hanno 2 o una potenza
7
di 2 come fattore, e uno o più numeri primi (dispari) ,o loro
potenze (anch’esse dispari) e il prodotto tra un numero pari
ed un numero dispari è sempre un numero pari (in questo caso
tutti i numeri semiperfetti, e di conseguenza tutti i numeri
fatidici, di forma 6k - 2 e 6k + 2; e che, pur non essendo
semiperfetti (da definizione: abbondanti ma non semiperfetti)
hanno pure una fattorizzazione simile.
Ora affinché un numero fatidico possa essere dispari, deve
mancare del fattore 2, il che ne diminuisce l’abbondanza
le forme 6k-3 sono raramente abbondanti, 6k -1 e 6k +1 sono
sempre difettivi , e quindi molto difficilmente possono essere
abbondanti (ma mai sono semiperfetti, come da definizione,
poiché questi sono numeri pari) e quindi anche difficilmente
possono essere numeri fatidici. Ecco perché non se ne trovano,
proprio come i numeri perfetti dispari, anch’essi connessi alla
disparità, all’abbondanza ( 1); mentre i più noti numeri
perfetti pari sono connessi alla parità, all’abbondanza (1)e alle
varie potenze di consecutive di 2 come fattori.
Quindi l’estrema rarità o l’impossibilità dell’esistenza di
numeri fatidici dispari è legata a questi concetti di
8
abbondanza (deve essere > 1) e all’assenza di 2 e potenze di 2
tra i loro fattori. Nei numeri perfetti pari l’abbondanza
deve essere 1, e tra i loro fattori sono presenti 2 e le potenze di
2, ma sono assenti 3 e le potenze di 3; mentre per i numeri
perfetti dispari mancano la parità , l’abbondanza 1(rarissima
o impossibile) e le potenze di 2 come fattori.
Staremo a vedere eventuali verifiche future, preferibilmente
anche in base alle nostre osservazioni di questo lavoro, che
mostra le suddette similitudini e differenze tra numeri fatidici
e perfetti pari, e numeri fatidici e perfetti dispari, e che
potrebbero essere utili per eventuali dimostrazioni più
rigorose e definitive.
Riferimenti
1) “I NUMERI PERFETTI DISPARI
(proposta di dimostrazione della loro inesistenza)
Gruppo “B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Nel quale la tabella 6 riporta in rosso i numeri difettivi, con qualche
9
raro numero abbondante nella colonna dei numeri di forma 6k-2,
come per esempio il 70, primo numero fatidico pari, e come gli altri
numeri fatidici di forma 6k -2 e 6k+2 della Tabella 1 di questo lavoro.
2) Sequenza OESIS dei numeri fatidici pari
A006037
Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835).
(Formerly M5339)
70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410,
11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, 15610,
15890, 16030, 16310, 16730, 16870, 17272, 17570, 17990, 18410, 18830,
18970, 19390, 19670 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format) …
Grafico
Greetings from The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!)
10
18
A006037 as a graph
11