I teoremi di Gödel

I teoremi di Gödel
Antonio Maida
Premesse
Il modello di Klein scoperto 1879, mentre da una parte risolveva definitivamente il millenario
problema delle parallele legittimando le geometrie non euclidee, da un’altra parte fece sorgere
l’esigenza di riformulare le teorie fondamentali della matematica su basi assiomatiche secondo il
metodo euclideo. Tali teorie dovevano però essere fondate su assiomi, non più evidenti, vista la
scarsa evidenza della negazione del postulato delle parallele, ma coerenti; la coerenza assicurava
poi l’esistenza di un modello, anche se recondito.
Non a caso dunque, dal 1870 in poi, Cantor fondò la teoria degli insiemi, Frege la logica, Peano
l’Aritmetica, Hilbert riformulò la Geometria. L’obiettivo era quello di trovare una teoria base che
fosse adeguata, nel senso che su di essa fosse possibile fondare gran parte della matematica, e della
quale fosse possibile provare la coerenza. Tale obiettivo era poi legittimato dal riduzionismo
ottocentesco col quale era stato possibile ricostruire l’Analisi sull’Aritmetica.
La prova della coerenza della teoria base non era però cosa da poco conto, non appena si scoprì che
la teoria degli insiemi di Cantor e la logica di Frege erano incoerenti. Un modo nuovo pensò di
averlo trovato Hilbert il quale, nel suo programma, privilegiò l’utilizzo dei metodi finitistici, i soli
in grado di legittimare una eventuale prova di coerenza dell’aritmetica S. Nei primi del novecento
Hilbert pose il problema della completezza sintattica degli assiomi di Peano: erano cioè gli stessi
sufficienti per provare ogni proprietà che si conosceva esser vera nel modello standard dei numeri
naturali? oppure serviva viceversa qualche altro assioma? La risposta è, come si è più volte detto,
nei teoremi di incompletezza di Gödel del 1931
Si individuava quindi nella coerenza sintattica e nella completezza delle nuove teorie assiomatiche
i due problemi essenziali dei fondamenti della matematica. Si osservi che, mentre la coerenza
richiede l’assunzione di un numero minimo di assiomi, la completezza richiede invece
l’allargamento degli stessi; si capisce allora come ci possa essere una qualche incompatibilità fra
coerenza e completezza, e come dunque anche la concezione moderna di assiomatica sia
problematica.
Si ricordi che, in base al teorema di completezza di Gödel del 1930, ogni teoria formale T è
semanticamente completa, nel senso che i suoi teoremi sono esattamente le formule vere in ogni
suo modello; cioè: TeorT=VerT=∩⎨Veri /i∈ModT⎬. La completezza sintattica richiede viceversa
l’esistenza di un particolare modello tale che le formule in esso vere siano teoremi.
A proposito dei teoremi di Gödel, si sottolinea il fatto che, mentre quello di completezza fa
riferimento alla completezza semantica, quello di incompletezza si riferisce invece
all’incompletezza sintattica.
In quel che segue si espone a grandi linee le prova del teorema; facendo però osservare che la
versione qui accennata non è quella originaria di Gödel del 1931. ma piuttosto quella del teorema di
Gödel-Rosser del 1936; ma ciò è ininfluente.
Aritmetizzazione e rappresentabilità
Gödel iniziò col formulare, tramite una certa funzione H di seguito definita, la metaritmetica
M(S) dentro la stessa aritmetica S. Ciò gli permise di trovare una formula chiusa ♦ di S tale che,
indicando con P il metaenunciato “♦ non è un teorema di S”, risultasse H(P)=♦. La formula ♦
allora, analogamente agli enunciati autoattribuentisi la falsità che generavano l’antinomia del
mentitore, si autoattribuisce la indimostrabilità.
Successivamente, Gödel provò che la coerenza di S implicava l’indecidibilità di ♦, e che dunque,
se S è coerente esso è allora sintatticamente incompleto. Questo è in sostanza il teorema di
incompletezza, o primo teorema di Gödel. Si osservi per completezza che, poiché ♦ si
autoattribuisce la indimostrabilità, essa, non dimostrabile, è dunque vera nell’interpretazione
standard; e ciò è in accordo con la caratterizzazione semantica della completezza.
Ulteriormente, Gödel trovò un’altra formula chiusa ♦♦ di S tale che, posto che consS sia il nuovo
metaenunciato “S è coerente”, risultasse H(consS)=⎤♦♦. Poiché provò poi che la formula ⎤♦♦→♦ era
un teorema di S, ne concluse che, se S è coerente, allora la formula ⎤♦♦ non poteva essere un
teorema di S; che cioè, poiché H(consS)=⎤♦♦, se S è coerente allora tale coerenza non è
dimostrabile dentro S. Questo è in sostanza il secondo teorema di Gödel, che segnò il fallimento
del programma di Hilbert!
La funzione H.
Una relazione numerica R=Rx1…xn dicesi rappresentabile in S se esiste una formula Ax1…xn di S
con n variabili libere tale che, per ogni n-pla ki di naturali, si abbiano le:
Rki⇒╞SAki
nonRki⇒╞S⎤Aki.
Gödel provò che, R è rappresentabile se e solo se è ricorsiva. Poiché allora ogni enunciato P di
M(S) verte su elementi di S, utilizzando la gödelizzazione si puó allora associare a P una relazione
aritmetica R che, se ricorsiva, sarà a sua volta rappresentata in S da una formula H(P). La H
permette quindi di formulare la parte ricorsiva di M(S) in S.
La prima formula ♦ di Gödel.
Si considerino le relazioni numeriche
W1(<n,m>)⇔(esiste una formula Ax con x libera tale che n=g(Ax) ed m=g(dimAn))
W2(<n,m>)⇔(esiste una formula Ax con x libera tale che n=g(Ax) ed m=g(dim⎤An)).
Esse, essendo ricorsive, saranno rappresentate rispettivamente da due formule, W1(x,y) e W2(x,y),
di S con due variabili libere. Si consideri allora l’ulteriore formula chiusa Bx di S
∀y(W1(x,y)→∃z(z≤y, W2(x,z))),
e sia h=g(Bx). La formula chiusa Bh è la prima formula ♦ di Gödel.
Si verifica facilmente che
W1(h,m)⇔m=g(dim♦), e
W2(h,m)⇔m=g(dim⎤♦); se ne deduce
che, se P è il metaenunciato ╞S♦⇒╞S⎤♦, allora HP=♦; ma, se S è coerente sarà allora P≈(⎤╞S♦); e
dunque, H(⎤╞S♦)=♦. La ♦ si autoattribuisce quindi la indimostrabilità.
La seconda formula ♦♦ di Gödel.
Si consideri la relazione numerica
W3(<n,m,h>)⇔( esiste una formula A tale che n=g(A), m=g(dimA) ed h=g(dim⎤A).
Anch’essa è ricorsiva. La formula di S che la rappresenta è proprio la ♦♦.
Per concludere, si osservi che quand’anche si aggiungesse la formula indecidibile ♦ agli assiomi di
S, il nuovo sistema assiomatico risulterebbe ancora incompleto; Gödel provò infatti che S è
essenzialmente incompleta.
Si ricordi poi ancora una volta che i teoremi di incompletezza restano validi per tutte le teorie
fondamentali della Matematica.