2) Un corpo di massa 15 kg è posto su un piano inclinato di 20°. Una forza orizzontale di 200 N fa risalire il corpo lungo il piano inclinato con un’accelerazione di 0.25 m/s2. Qual è il coefficiente d’attrito fra il corpo e il piano inclinato? 3) Un corpo di 0.60 kg scivola senza attrito su un lungo piano inclinato di 30°. Sul corpo agisce la resistenza aerodinamica R=(-0.80 kg/s) v. Calcola la velocità limite del corpo. Il lavoro L svolto da una forza costante è il prodotto scalare della forza per lo spostamento del punto di applicazione della forza medesima Lavoro ed Energia L F s Fs cos F// s L = 0 se: [L] = [ML2T-2] Nxm=J dyne x cm = erg 1J = 107 erg F=0 s=0 = 90° F// (S.I.) (C.G.S.) esempio 1 Il lavoro svolto da F per sollevare il blocco di massa m è L = mgh Il lavoro svolto da F durante lo spostamento d è nullo ( = 90°) Il lavoro svolto dalla forza di gravità è Lg = -mgh esercizio Un uomo tira una cassa con una forza F = 90N e la sposta di 2.0 m. La fune forma un angolo di 60° rispetto al pavimento. Calcolare il lavoro svolto da F. Quale forza avrebbe dovuto applicare, a parità di L, se la fune fosse stata parallela al pavimento ( = 0°) ? L = F x s = Fs cos = 90 J; F’ = L/(s cos ) = 45 N θ Lavoro svolto da una forza variabile L j F j x L L j F j x F j x x 0 L lim x L f x i F x dx Lavoro svolto da una molla F kx x Lel x f x i legge di Hooke x f 1 Fdx kxdx kx 2 2 x x i f i 1 1 2 2 k x f xi k xi2 x 2f 2 2 Potenza la potenza è la rapidità con cui viene svolto un lavoro o, più in generale, la rapidità con cui viene trasferita dell’energia potenza media L P t L dL P lim t 0 t dt [P] = [ML2T-3] J/s = W erg/s (S.I.) (C.G.S.) potenza istantanea PIRAMIDE DI CHEOPE… h=146 m; V= 2,3 x106 m3; 2,5 x106 blocchi; 20 anni; rroccia=2700 Kg/ m3 Energia cinetica e teorema delle forze vive 1 2 K mv 2 teorema delle forze vive energia cinetica L K l’energia è la capacità di compiere un lavoro Campi di Forza campo: regione dello spazio sotto l’azione di una forza. Ad ogni punto dello spazio si può associare un vettore che rappresenta la forza agente su un corpo sonda posto in quel punto. esempio: campo gravitazionale (radiale attrattivo) un campo viene rappresentato graficamente mediante le linee di forza (tangenti al vettore campo). campo elettrico, +q (radiale repulsivo) Forze conservative e forze non conservative 1 B L F ds A B 3 A se L1 L2 L3 forza non conservativa 2 se L1 = L2 = L3 forza conservativa se le forze sono conservative il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo LAA = L1 + (-L2) = 0 U x, y , z Energia Potenziale LAB U x A , y A , z A U xB , y B , z B U A U B U U B U A LAB [U] = U(x,y,z) è definita a meno di una costante additiva L AB U A U B J (S.I) erg (C.G.S) [ML2T-2] C A se UB = 0 LAB = UA Se prendiamo C come posizione di riferimento LAB = LAC + LCB = UA –UC + UC – UB = UA – UB B B posizione di riferimento LAC = UA – UC LCB = UC – UB L’energia potenziale in un punto è il lavoro svolto dalle forze del campo per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento. esempio: il campo gravitazionale è conservativo L AB P h mgh A O d energia potenziale gravitazionale c h P = mg B U L mgdy mgy A b a y B L AB L AC LCB L AC P d mg d cos mg sen d mgh LCB 0 L AB mgh U mgh C esempio: il campo dovuto all’azione di una forza elastica è conservativo 1 L k xi2 x 2f 2 F kx se xi = xf (ciclo) L = 0 Fel è conservativa 1 U L k ( x 2f xi2 ) 2 se xi = 0 1 2 U x kx 2 energia potenziale elastica l’energia è la capacità di compiere un lavoro Principio di conservazione dell’energia meccanica ipotesi: campo conservativo, sistema isolato L U i U f U 1 2 1 2 L mv f mvi K 2 2 U i U f K f Ki Ki U i K f U f E = energia meccanica totale K U E in un sistema isolato in cui agiscano solo forze conservative l’energia meccanica totale si conserva esempio: moto di un grave se U(yi) = 0 e vf = 0 1 2 1 2 mvi mgyi mv f mgy f 2 2 1 2 mvi mgy f 2 vi2 yf 2g esempio: sistema massa molla 1 2 1 2 1 2 1 2 mvi kxi mv f kx f 2 2 2 2 se U(xi) = 0 e vf = 0 1 2 1 2 mvi kx f 2 2 2 2 mvi xf k Per rendere fertili le uova, lo sperma del granchio reale deve penetrare attraverso due strati protettivi dello spessore di circa 40 mm. Per ottenere ciò un insieme lungo 60 mm di filamenti di actina assemblati tra loro viene raddrizzato e spinge con una forza di 1.9x10-9 N. Se i filamenti di actina hanno una massa dell’ordine di 10-16 Kg, quale è il modulo della velocità di filamenti alla fine di questo processo? h=? 2 Un vagone di massa m=1000 Kg viene sparato da una molla di costante k=1000 N/m sul punto iniziale di un percorso di montagne russe (h=60m). Di quanto è stata accorciata la molla durante il caricamento per raggiungere quel punto? Una volta partito il vagone che velocità avrà nel punto 2=? Se per attrito si perde un 30 % dell’energia nel punto 2 quanto sarà l’altezza nel punto B? Quantità di moto Data una particella di massa m e velocità v si definisce quantità di moto: p = mv [P] = [MLT-1] Kg m/s (S.I.) Esempio: v = 10 m/s, m1 = 1 kg, m2 = 10 kg p1 = 10 kg m/s, p2 = 100 kg m/s d v d m v d p F ma m dt dt dt dp Fris Fext dt dp Fris 0 0 p cos t. dt Relazione valida anche per sistemi a massa variabile II legge di Newton Se il sistema è isolato la risultante delle forze è nulla e la q.m. si conserva esempi: il cannone e il biliardo m1, v1 m2, v2 p1i p2i p1 f p2 f se si conserva anche l’energia cinetica l’urto si dice ELASTICO URTI…. m1v1i m2 v2 i m1 m2 v f m1v1i m2 v2 i m1v1 f m2 v2 f 1 2 1 2 1 2 1 2 m1v1i m2 v2 i m1v1 f m2 v2 f 2 2 2 2 Completamente ANELASTICO: le due masse dopo l’urto restano attaccate Completamente ELASTICO: si conserva anche l’energia cinetica Il centro di massa il centro di massa di un corpo o di un insieme di corpi è quel punto che si muove come se tutta la massa fosse ivi concentrata e tutte le forze esterne agissero in quel punto Fext Fris Macm Esempio: i fuochi d’artificio