Conservatività della forza peso Vogliamo dimostrare che la forza peso è una forza conservativa. Sappiamo che una forza è conservativa se il lavoro da essa esercitato su una qualunque linea chiusa è nullo. Analizziamo, quindi, il caso di un bambino che sale su uno scivolo tramite una scala verticale, si lascia scivolare lungo il piano inclinato e ritorna al punto di partenza per una nuova salita. Verificheremo che il lavoro fatto dalla sua forza peso su tutto il percorso è uguale a zero.1 Il percorso del bambino può essere scomposto nei tre tratti: AB, BC e CA2 e di conseguenza il lavoro complessivo sarà dato dalla somma dei tre lavori parziali: LA-A = LA-B + LBC + LCA Nel primo tratto AB (v. fig.) il vettore peso P3 e il vettore spostamento S hanno verso opposto e quindi formano un angolo α di 180°; in questo tratto il modulo dello spostamento è h, quindi: LA-B = P ⋅ S = mg h cos 180° = − mgh Nel secondo tratto, agisce la componente Ps della forza peso tangente al piano inclinato. Sempre con riferimento alla figura 1 si ha: Ps = Psenβ In questo tratto, lungo l, Ps e S sono concordi, quindi α = 0° e cos 0° = 1: LBC = P ⋅ S = Ps l cos 0° = Psenβl = mg senβl 1 Notiamo innanzitutto che la forza peso P = mg è costante, quindi la nostra “dimostrazione” si può applicare ad ogni altra forza costante. 2 Notiamo che la nostra non si può considerare una vera dimostrazione, perché dovremmo provare che il lavoro è nullo su qualunque percorso chiuso; si tratta comunque di una convincente verifica. 3 Non potendo rappresentare la linea sopra la lettera per indicare un vettore si userà il grassetto mentre il carattere normale indicherà il suo modulo Essendo β l’inclinazione dello scivolo, si ha l = h / senβ, quindi LBC = mg senβ h / senβ = mgh Nel tratto finale P e S formano un angolo di 90° ed essendo cos 90° = 0, il lavoro è nullo. Sommando i tre contributi si ha dunque: LA-A = LA-B + LBC + LCA = − mgh + mgh + 0 = 0