Risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado

Facoltà di Agraria
Risoluzione di equazioni e disequazioni
di primo e secondo grado (o ad esse riconducibili)
3x − 2 = 0
x
2
19 x + 2 = 4 x
= 7 x − 10
( 10 x
3
− 1 )( x
2
3x − 2 > 0
( 10 x
3
− 1 )( x
2
= 3 − x
x
− 3x + 2) = 0
19 x + 2 ≤ 4 x
2
− 3x + 2) ≥ 0
1
Facoltà di Agraria
Relazioni equivalenti
Le seguenti coppie di relazioni sono equivalenti, nel senso che le x
che soddisfano la prima soddisfano la seconda e viceversa
2x +7 = 0
2x + 7 = 0
2x + 7 ≥ 0 2x + 7 ≥ 0
4 x + 14 = 0 − 4x −14= 0 4 x + 14 ≥ 0 − 4 x − 14 ≤ 0
3x + 5 ≤ 0 3x + 5 ≤ 1 − 3 x + 2 ≤ 1
2
2x x + 7 ≥ 0
1
3 x + 7 ≤ 2 3 x ≤ −4
−x≤−
2x x + 7 ≥ 0
3
2x
x
2
2
− 5x +1 ≤ 0
2
2x − 5x +1 ≤ 0
5
1
5
1
2
≥ 0
−
x +
≤ 0 − x + x−
2
2
2
2
2
Relazioni equivalenti (continua)
Facoltà di Agraria
Le seguenti coppie di relazioni non sono equivalenti, nel senso
che non è vero che le x che soddisfano la prima soddisfano la
seconda e viceversa
2x + 7 ≤ 0
− 4x −14 ≤ 0
− 3x + 2 ≤ 1
− 3x ≤ −1
3x + 2 ≤
2x x 2 + 7 ≥ 0
3x + 5 ≤ 0
2
2x + 7 ≥ 0
3x + 5 x ≤ 0
3x + 2 =
2x2 − 5x +1 ≤ 0
2
x +1
3x + 2 = x + 1
x +1
3x + 2 ≤ x + 1
x
2
5
1
−
x +
≥ 0
2
2
x +1 ≤ 2x
x +1 ≤ 4x2
3
Facoltà di Agraria
•In una disequazione (equazione) è lecito
sommare ad ambo i membri una stessa
quantità
3x 2 − 2 x ≥ 6
•In una equazione è lecito moltiplicare ambo
i membri per una quantità diversa da 0
− 3x = 7
w
3x 2 − 2 x − 6 ≥ 0
w
x =
•In una disequazione è lecito moltiplicare
ambo i membri per una quantità positiva
7
7
= −
−3
3
− 3x ≥ 7
w
− x ≥
•Se in una disequazione si moltiplicano
ambo i membri per una quantità negativa il
segno della disequazione si inverte
7
3
− 3 x ≥ 7
w
x ≤ −
7
3
4
Facoltà di Agraria
2 x + 7 ≤ 0 non è equivalente a − 4 x − 14 ≤ 0
(moltiplicando per − 2 ambo i membri di una disequazione
il segno della disequazione si inverte)
2
x 2 ⇔ x infatti
2
x2 ⇔ x
[x]
2
2
x = −1
[x]x =−1 = −1
=1
2 x x 2 + 7 ⇔ 2 x x + 7 ma 2 x x 2 + 7 NON
[
]
[
]
è equivalente a 2 x 2 + 7; infatti 2 x x 2 + 7 x =−1 = 5, mentre 2 x 2 + 7 x =−1 = 9
x + 1 ≤ 2 x non è equivalente a x + 1 ≤ 4 x 2
Si osservi che in una disequazione non è lecito elevare al quadrato
ambo i membri; si pensi alla disequazione − 3 < 2 !
5
Facoltà di Agraria
3 x − 2 = 0 ⇔
3 x = 2
1
1
2
3 x =
3
3
2
x =
3
3 x − 2 + 2 = +2
Se si somma una stessa quantità
ad ambo i membri di una
equazione si ottiene una equazione
equivalente a quella di partenza
Se si moltiplicano per una stessa
quantità diversa da 0 ambo i
membri di una equazione si ottiene
una equazione equivalente a quella
di partenza
6
Facoltà di Agraria
3 x − 2 ≥ 0 ⇔
3 x ≥ 2
1
1
2
3 x ≥
3
3
2
x ≥
3
3 x − 2 + 2 ≥ +2
Se si somma una stessa quantità
ad ambo i membri di una
disequazione si ottiene una
disequazione equivalente a quella
di partenza
Se si moltiplicano per una stessa
quantità maggiore di 0 ambo i
membri di una disequazione si
ottiene una disequazione
equivalente a quella di partenza
7
Facoltà di Agraria
− 3 x − 2 ≥ 0 ⇔
−3 x − 2 + 2 ≥ +2
− 3 x ≥ 2
1 
1

2
 −
 (− 3 ) x ≤ −
3 
3

2
x ≤ −
3
Se si somma una stessa quantità
ad ambo i membri di una
disequazione si ottiene una
disequazione equivalente a quella
di partenza
Se si moltiplicano per una stessa
quantità minore di 0 ambo i
membri di una disequazione e
si inverte la disequazione si ottiene
una disequazione equivalente a
quella di partenza
8
Facoltà di Agraria
Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado ammette sempre una e una sola soluzione
−b
ax + b = 0 ⇔ x =
a
 y = ax + b

y = 0
 b 
 − ,0 
 a 
9
Facoltà di Agraria
Disequazioni di primo grado
Si dice disequazione di primo grado nell'incognita x
ogni disequazione del tipo a x + b > 0 con a, b
coefficienti numerici, a ≠ 0.
a>0
a<0
−
b
a
−
b
a
10
Facoltà di Agraria
Disequazioni di primo grado
Una disequazione di primo grado ammette sempre infinite soluzioni
ax + b ≥ 0
b

≥
−
a
>
0
x
se

a

b
x ≤ − se a < 0

a
a<0
 b 
 − ,0 
 a 
y = ax+ b
 y ≥0

11
Facoltà di Agraria
Equazioni di primo grado: interpretazione grafica
La risoluzione di una equazione di primo grado del tipo
mx + q =0 con m, q ∈
è geometricamente interpretabile come la determinazione
dell’intersezione fra l’asse delle ascisse e la retta
y=mx + q
di coefficiente angolare o pendenza m e ordinata all'origine q
(ordinata del punto nel quale la retta interseca l'asse delle ordinate)
1
y = − x +1
2
1
m = − , q =1
2
y = 2x − 2
m = 2, q = −2
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Facoltà di Agraria
Interpretazione grafica della risoluzione
di un'equazione di primo grado
La retta di equazione y = mx + q con m ≠ interseca l'asse delle ascisse nel punto A di ordinata nulla
e di ascissa la soluzione
dell'equazione di primo grado mx + q = 0
y = −
A(1,0)
A(2,0)
y = 2x − 2
1
x +1
2
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