Fisica
Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle
Scienze Motorie
Lezione 3 maggio 2013
Architettura
(corso magistrale a ciclo unico quinquennale)
Prof. Lanzalone Gaetano
• … dalla precedente lezione
La misura del calore -il calorimetro
•
•
•
Per la misura del calore si può usare un strumento
come quello illustrato in figura
È costituito da una certa quantità di liquido, per es.
acqua, in un recipiente il tutto circondato da pareti
adiabatiche, per evitare scambi di calore con
l’esterno.
Completano lo strumento Termometro
Agitatore
– Un agitatore per far si che la temperatura diventi
uniforme nel più breve lasso di tempo
– E un termometro che misura la temperatura del
liquido.
•
•
•
è necessario conoscere la capacità termica Ctotale del
liquido, recipiente, agitatore e termometro
Si misura la temperatura iniziale, Ti, e finale Tf (dopo
il trasferimento di calore )
Il calore scambiato sarà dato da:
(
Q = C totale T f − Ti
)
Esercizio: Calcolate il calore specifico di un metallo dai seguenti dati. Un
contenitore fatto di questo metallo ha una massa di 3.6kg e contiene 14 litri
di acqua. Un pezzo di metallo m=1.8Kg inizialmente alla temperatura di
180°C viene immerso nell’acqua.
Il contenitore e l’acqua inizialmente hanno una temperatura di 16 °C e la
temperatura finale di tutto il sistema è 18°C.
J
c = 412
kgK
Esercizio: Calcolate il calore specifico di un metallo dai seguenti dati. Un
contenitore fatto di questo metallo ha una massa di 3.6kg e contiene 14 litri
di acqua. Un pezzo di metallo m=1.8Kg inizialmente alla temperatura di
180°C viene immerso nell’acqua.
Il contenitore e l’acqua inizialmente hanno una temperatura di 16 °C e la
temperatura finale di tutto il sistema è 18°C.
Dalla tabella dei calori specifici ricaviamo che quello dell’acqua vale
: cacqua=4190 J/ kgK
Osserviamo che il calore ceduto dal pezzo di metallo è stato tutto acquisito
dall’acqua e dal contenitore.
Il calore ceduto dal pezzo di metallo vale
c
metallo
Q = cmΔT
Il calore acquisito dall’acqua e dal contenitore vale:
Qa = cacquamacquaΔTacqua + cmcontenitoreΔTacqua
cacquamacquaΔTacqua + cmcontenitoreΔTacqua = −mcΔTmetallo
c=−
cacqua macqua ΔTacqua
mΔTmetallo + mcontenitore ΔTacqua
4190 ×14 × 2
117320
J
=−
=
= 412
1.8 × (− 162) + 3.6 × 2 284.4
kgK
Il serbatoio di calore o termostato
Con questo nome indicheremo un sistema termodinamico che può assorbire
o cedere quantità anche rilevanti di calore senza che la sua temperatura vari
apprezzabilmente.
Dalla definizione di capacità termica appare che un tale sistema deve avere
una capacità termica molto elevata o equivalentemente una massa molto
grande
Nota:
Serbatoi di calore naturali sono gli oceani e l’atmosfera
Trasformazioni con scambio di calore
Trasformazioni con trasferimento di calore ma
senza aumento di temperatura
Cambiamenti di fase
Somministrando calore al sistema
La temperatura non varia
Varia invece la quantità di sostanza che ha cambiato fase,
Q=LFΔm
fusione
Q=LvΔm
evaporazione
Esercizio: Un thermos isolato contiene 130 g di caffè caldo, alla temperatura di 80° C.
Per raffreddare il caffè aggiungete all’interno del thermos un cubetto di ghiaccio di massa 12g
tolto da una cella frigorifera alla temperatura di -10°C. Di quanti gradi si sarà raffreddato il caffè
dopo che il ghiaccio si è fuso e si sarà raggiunta la condizione di equilibrio finale? Trattate il caffè
come se fosse acqua pura e trascurate gli scambi termici con l’ambiente circostante.
Dalla tabella dei calori specifici e da quello dei calori latenti ricaviamo:
cacqua=4190 J/ kgK,
cghiaccio=2220J/kgK,
Lf=333kJ/kg
Il ghiaccio subirà le seguenti trasformazioni
– Riscaldamento da -10°C a 0°C
Q1=mghiacciocghiaccio (Tf=0°C-Ticghiaccio)=266.4J
– Fusione a 0°C
Q2=mghiaccioLf=3996J
– Riscaldamento da 0°C alla temperatura finale Q3=mghiacciocacqua (Tf-T0°)
Il caffè, invece, subirà la seguente trasformazione
– Raffreddamento da 80°C alla temperatura finale Q4=mcaffècacqua (Tf-Ticaffè) (<0)
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0
Tf =
mcaffècacquaTicaffè + mghiaccio cacquaT0°C − Q1 − Q2
mcaffècacqua + mghiaccio cacqua
130 ×10 −3 × 4190 × 80 − 0 − 266.4J − 3996J
=
= 66°C
−3
−3
130 ×10 × 4190 +12 ×10 × 4190
Problemi per casa.
1) I polmoni di una persona adulta possono contenere 6,0 litri d’aria alla temperatura del
corpo (t=37°C) e alla pressione atmosferica (P=1,013 10+5 Pa). Dato che l’aria contiene il 21%
di ossigeno, trova il numero di molecole di ossigeno contenute nei polmoni. 2) L’aula che occupiamo misura una base di 8mx12m ed altezza 7m. Se la temperatura è di
22°C e la pressione è 1atm, determinare il numero di moli di gas che si trovano all’interno
dell’aula.
Quanti respiri può fare uno studente ? Se mediamente fa 10 respiri al minuto, per quanto
tempo sopravvivrà ?
3) Supponi che la pressione di una palla da basket sia di 171 kPa, ad una temperatura di 20
°C, e che il suo diametro sia di 30,0 cm.
1. Quante moli di aria contiene una palla da basket gonfia? 2. Qual è la pressione dell’aria contenuta, espressa in atm ?
NOTA: Una mole di una sostanza è quella che contiene 6.022 x 1023 particelle di quella
sostanza. Le particelle possono essere – atomi, molecole, mele o anche persone. Se avessi il
numero di Avogadro di popcorn, potresti sotterrare gli Stati Uniti sotto uno strato di 15Km di
popcorn. Il numero 6,022 x 10+23 è detto numero di Avogadro: NA= 6.022 x 1023 Trasferimento del calore:
-Coduzione
-Convezione
-Irraggiamento
Trasferimento del
calore:conduzione
•
Calore trasmesso (in regime stazionario) dalla
struttura cristallina
Q
ΔT
P=
•
Δt
= kA
L
k coefficiente di conducibilità termica
T1
A
T2
L
•
Flusso trasmesso (in regime stazionario) dalla
struttura cristallina
Φ=
•
Q
k
= ΔT = HΔT
AΔt L
H conduttanza unitaria
Esercizio: Una barra cilindrica di rame lunga 1.2 m e con sezione di area 4.8 cm2 è
isolata per impedire perdite di calore attraverso la sua superficie laterale. Le
estremità vengono mantenute ad una differenza di temperatura di 100°C ponendo
una estremità in una miscela di acqua e ghiaccio e l’altra in acqua bollente e vapore
Trovate quanto calore viene trasmesso nell’unità di tempo lungo la sbarra.
Quanto ghiaccio si fonde nell’unità di tempo all’estremità fredda.
•
Dalla tabella delle conducibilità termiche e dei calori latenti ricaviamo
• krame=401W/ mK, Lf=333kJ/kg
P=
Q
ΔT
W
100| C
= kA
= 401
4.8 10−2 m 2
= 16.0W
Δt
L
mK
1.2m
Q
J
16.0
Δm L f
1 Q
16.0 −3 kg
−3 kg
s
=
=
=
=
10
= 0.048 × 10
J
Δt
Δt L f Δt 333 × 103
333
s
s
kg
Trasferimento del
calore:conduzione (2)
•
Flusso trasmesso (in regime stazionario) dalla
struttura cristallina
Q
k
= ΔT = HΔT
AΔt L
Φ=
•
H conduttanza unitaria
•
Nel caso di n lastre, la prima a temperatura T1 e
l’ultima a temperatura T2, ed in condizioni di
stazionarietà, si ha :
Φ1 = Φ 2 = Φ3 = ... = Φ
Φ = H (T1 − T2 )
dove
H=
H1 H 2 ...H n
H1 + H 2 + ... + H n
Trasferimento del calore:conduzione (3)
•
La quantità di calore trasmesso (in regime stazionario) nell’unità di tempo (che
è la POTENZA) è detta anche CORRENTE TERMICA
dQ
dT
ΔT
= −kA
→ I = −kA
dt
dx
Δx
Da cui si ricava: ΔT = I Δx = IR
dove R è la Resistenza Termica.
tot
kA
I=
Se gli elementi in serie sono N : R = R1 + R2 + R3 + ... + RN
Se gli elementi in parallelo sono N : 1 1
1
1
1
= +
+ + ... +
R R1 R2 R3
RN
Problema per casa.
Uno studente sta aiutando la sua famiglia a disporre un doppio strato di tegole bituminose sul
tetto della baita di montagna di loro proprietà. Il tetto, avente dimensioni di 20 m * 6 m, è in
tavole di pino spesse 2.0 cm, ricoperto in tegole bituminose. C'è uno spazio di 20 cm per inserire
del termoisolante per tetti, e la famiglia si chiede quale differenza apporterebbe al bilancio
energetico della casa l'installazione di 5.0 cm di materiale isolante. Sapendo che lo studente
studia fisica applicata in Architettura, chiedono il suo parere. Qual è il parere dello studente ?
(20°C Tinterna et 5°C Testerna)
Requivalent e = R1, pino + R2,tegole + R3,isolante
Requivalent e = R1, pino + R2,tegole + R3,isolante
R pino
Δx 2 ⋅10 −2
=
=
= 0.182m 2 K / W
k
0.11
R2,tegole = 2(0.077m2 K / W ) = 0.154m2 K / W
R3,isolante = 5(0.194m2 K / W ) = 0.970m2 K / W
Senza:
Rsenza = Rpino + Rtegole = 0.336m2 K / W
Con isolante:
Rsenza
Rcon _ isolante
Rcon _ isolante = Rpino + Rtegole + Risolante = 1.31m2 K / W
I senza = A
= 0.26
ΔT = I
Δx
= IRtot
kA
ΔT
= 5355W
Rsenza
I con _ isolante = A
ΔI = 3963W
ΔT
= 1392W
Rsenza
Circa 8kg di propano al giorno. Poiché 2euro/Kg à 480euro/mese di risparmio !!! Trasferimento del calore: convezione
Movimento di massa dovuto a temperature differenti
Di conseguenza riguarda liquidi e gas
•
Si viene a stabilire un moto, detto convettivo,
attraverso il quale le parti di fluido più calde
vengono continuamente sostituite da parti di fluido
più fredde.
•
Le parti di fluido riscaldate dalla sorgente di
calore allontanandosi da essa trasportano il calore
verso la sorgente fredda e quindi trasportano il
calore dalla sorgente più calda a quella più fredda.
Trasferimento del calore: convezione (2)
Naturale: dovuta a gradienti di temperatura tra le varie parti del fluido
Forzata: dovuta a pompe, ventilatori, vento, …
•
Studio molto complesso. Dipende da numerosi
fattori: forma e dimensioni delle superfici di
scambio dei fluidi, caratteristiche fisiche del
fluido, movimento del fluido, etc.
•
Per convezione naturale, si ha una forma
analoga al caso precedente:
Φ conv = H c ΔT
•
Pareti verticali
Hc (conduttanza
convettiva) è complessa ed
è funzione del materiale,
della geometria e della
temperatura. T2
T1
d
Trasferimento del calore: irraggiamento
•
•
Non è necessario che ci sia materia tra la sorgente calda e
quella fredda.
Il trasferimento di calore avviene attraverso l’emissione e
l’assorbimento di onde elettromagnetiche
P = σεAT
4
Τ2
•
•
•
•
•
σ vale 5.6x10-8 Wm-2 k-4 ed è la costante di StefanBoltzmann,
ε è il potere emissivo della sorgente ed è un numero
compreso tra 0 e 1 che dipende dalla natura della sorgente,
A è l’area della superficie che emette la radiazione
T la sua temperatura (in kelvin). Il potere emissivo ε assume il valore limite 1 nel caso in cui
la superficie emittente è assimilabile ad un “corpo nero”.
4
amb
Pass = σεAT
Τ1
Esercizio: Un atleta è seduto svestito in uno
spogliatoio i cui muri scuri si trovano ad una
temperatura di 15°C. stimate la rapidità con cui il
calore viene ceduto per irraggiamento , assumendo una
temperatura della pelle di 34°C e potere emissivo del
corpo pari a 0.70. Superficie del corpo non a
contatto con la sedia 1.5m2.
[σ=5.6 10-8 Wm-2 k-4 ]
Ambiente
R.120W
Termografia di un edificio
La foto termica ritrae una casa di recente
costruzione 2008. L'edificio in questione è stato
progettato per essere energicamente efficiente ed
offrire agli inquilini non solo un ottimo comfort
estivo ed invernale ma anche bassissimi costi di
conduzione. nonostante la rigidissima temperatura
esterna di -10°C dalla termografia l'edificio risulta
ottimamente isolato e con solo piccole dispersioni
provenienti da deboli ponti termici stutturali, anche
la struttura a sbalzo dei balconi è stata isolata
garantendo così l'eliminazione dell' effetto radiatore
che hanno normalmente le parti in calcestruzzo
esposte. La foto qui sopra riportata ritrae un edificio
costruito nel 1930 la struttura interamente in
muratura portante è costituita da muri a mattoni
pieni posati a due teste per i piani rialzati e a tre teste
per il seminterrato.
L'edificio è completamente non isolato sono ben
visibili le abbondanti dispersioni termiche dalle
nicchie dei termosifoni, dagli impianti non isolati
correttamente e dalle varie porzioni murarie.
Riscaldamento di un sistema
termodinamico
Per portare un sistema termodinamico
Τi
– Nella figura è illustrato il caso di una certa quantità di gas
contenuto in volume costante
dalla temperatura Ti alla temperatura Tf, con Tf>Ti
basterà far interagire il sistema termodinamico , il gas,
attraverso una parete conduttrice, con un termostato a
temperatura Tf e attendere un certo tempo perché il gas si porti
nello stato di equilibrio finale.
• Questa trasformazione non è reversibile, perché durante tutta
la trasformazione non c’è equilibrio termico tra il sistema
termodinamico, il gas, e l’ambiente esterno, il serbatoio di
calore a temperatura Tf
• Per realizzarla in maniera reversibile è necessario procurarsi
un numero molto grande di serbatoi di calore con temperatura
compresa tra Ti e Tf, in modo che la differenza di temperatura
tra due serbatoi successivi sia molto bassa. Q
Τf
Riscaldamento reversibile di un sistema termodinamico
Τi
Τi
•
Τi
Q
Τi+dT
•
•
•
Partendo dalla temperatura Ti, si mette a contatto il
serbatoio a temperatura Ti+dT, si aspetta che sia fluito il
calore dQ=nCV dT
così il gas si porta alla temperatura Ti+ dT
Si mette in contatto il successivo termostato, si aspetta che il
calore sia fluito dal serbatoio al gas che raggiunge la
temperatura del secondo serbatoio
E così via
Il sistema si trova sempre in equilibrio o in stati molto
prossimi ad uno stato di equilibrio
Naturalmente si può ripercorre all’indietro.
…………….
Il lavoro in termodinamica
•
•
•
•
Il lavoro rappresenta uno dei modi con cui, durante una trasformazione il
sistema e l’ambiente circostante si scambiano energia.
In termodinamica viene considerato positivo L il lavoro fatto dal sistema
sull’ambiente circostante
Nel dare la definizione di lavoro fatto dal sistema dobbiamo far riferimento
al lavoro fatto dall’ambiente sul sistema
Il lavoro fatto dal sistema è l’opposto del lavoro fatto dall’ambiente sul
sistema
L=-Lest
•
Il motivo di questa scelta è semplice. – Quando il sistema subisce una trasformazione non reversibile (non si
conoscono gli stati intermedi del sistema durante la trasformazione) non
è possibile determinare le forze esercitate dal sistema sull’ambiente
esterno e quindi il lavoro effettuato dal sistema
– Viceversa è possibile determinare le forze esercitate dall’ambiente
esterno sul sistema (quelle esercitate dal sistema risultano essere uguali
in modulo ed opposte in segno).
– In caso di trasformazioni reversibili converrà usare le coordinate
termodinamiche del sistema
Fe= PatmS + Mg
(S superficie del
pistone)
Patm
Δl
M
Fe
Il lavoro in termodinamica
Facendo riferimento alla figura, il lavoro esterno sarà dato da:
Lest=-FeΔl
–
Fe= Pat mS + Mg
il segno meno indica che forza e spostamento sono discordi.
Il lavoro fatto dal sistema sarà allora
L=-Lest= FeΔl
La forza esercitata dall’ambiente esterno può essere derivata dalla
esterna:
Fe=PeS ,
(S superficie del
pistone)
Pat m
pressione
dove S è l’area del pistone.
L= FeΔl= PeSΔl= PeΔV
Si ottiene
•
•
•
•
ΔV è la variazione di volume subita dal gas
Se la trasformazione è reversibile, e quindi è quasi statica, la pressione
esterna deve essere uguale a quella interna (equilibrio meccanico)
Il lavoro diventa
L= PΔV
Se la trasformazione è reversibile allora possiamo suddividerla in tratti
infinitesimi. Il lavoro in ciascun tratto sarà dato da:
dL= PdV
M
Δl
Fe
Il lavoro in una trasformazione reversibile
L
W
I = area sotto la
trasformazione
P
•
Per una trasformazione reversibile tra gli stati i ed f
– Il lavoro infinitesimo
dL=PdV (zona in verde)
– Il lavoro complessivo:
f
i
P
f
L = ∫ PdV
i
Corrisponde all’aria sotto la trasformazione
– Nel caso di una espansione (Vf>Vi) il lavoro è positivo
– Nel caso di una compressione (Vf<Vi) il lavoro è negativo
– Percorrendo al contrario la trasformazione reversibile, P
da f a i, il lavoro cambia di segno.
•
•
Il lavoro dipende dalla trasformazione che connette lo stato
iniziale e lo stato finale
V V+dV
V
W
I = area sotto la
L
trasformazione
i
f
V
Il lavoro dipende dalla trasformazione
P
i
L = ∫ PdV = ∫ PdV + ∫ PdV = P ∫ dV =
D
P
f
1
C
i
f
i
C
f
f
C
i
= 0 isocora dV = 0
= Pf [V ]c = Pf (V f − Vi )
f
Pf
Vc =Vi
f
D
L2 = ∫ PdV = ∫ PdV +
i
i
f
PdV
∫
D
D
= Pi ∫ dV =
f
Vi
1
2
3
= Pi [V ]i = Pi (V f − Vi )
D
VD =V f
L3 = Area sotto la trasformazione = L1 +
Vf
i
=0 isocora dV = 0
•
C
iCf
iDf
if
1
(Pi − Pf )(V f − Vi )
2
Il lavoro dL=PdV
– Non è un differenziale esatto : à Non esiste una funzione delle coordinate tale che
il lavoro può essere espresso come differenza dei valori assunti da questa funzione
nello stato finale e in quello iniziale
V
Il lavoro adiabatico
Se si effettua una trasformazione adiabatica :
• In qualunque modo viene effettuata la
trasformazione – più lentamente o più rapidamente, – per una parte del tempo azionando il
mulinello, e per la restante il generatore
– Invertendo i due processi
M
M
Generatore
senza perdite
Mulinello
•
Il lavoro effettuato non dipende dalla particolare
trasformazione ma solo dallo stato iniziale e da
quello finale
•
•
•
Esiste una funzione dello stato del sistema, U , tale che:
U i − U f = Ladiab
•
La funzione U(P,V) è detta energia
Sistema termodinamico:
– Acqua alla pressione atmosferica alla
temperatura Ti
Trasformazione:
– Trasformazione adiabatica che porta
il sistema sempre alla pressione
atmosferica ma ad una temperatura
più elevata, Tf.
interna
Esprime la conservazione dell’energia
La funzione energia interna
•
L’osservazione fatta sul lavoro adiabatico ci dice che esiste una funzione di stato, l’energia interna: U(P,V)
U(V,T)
U(P,T)
– Solo due coordinate sono sufficienti per individuare uno stato di equilibrio
termodinamico
• La variazione dell’energia interna non dipende dalla particolare trasformazione subita dal
sistema termodinamico, reversibile, irreversibile, adiabatica, non adiabatica, senza scambi di lavoro
ma solo dallo stato iniziale e dallo stato finale
•
•
•
Per una trasformazione infinitesima la variazione di energia interna sarà data da dU=-dLadiab
dU è un differenziale esatto
– Esiste la funzione U tale che la variazione dell’energia interna è data dalla differenza di
valori assunti dalla funzione nel punto finale meno quello del punto iniziale
Anche il lavoro adiabatico, dLadiab, è un differenziale esatto.
Il IO principio della termodinamica
E’ possibile realizzare la stessa trasformazione
– l’innalzamento di temperatura di una certa quantità d’acqua alla
pressione atmosferica
senza compiere lavoro adiabatico, o addirittura senza compiere lavoro
Per esempio, posso utilizzare un serbatoio di calore •
La variazione di energia interna è la stessa che avevo prima
– Lo stato iniziale e finale (delle due trasf.) coincidono
– Non è stato compiuto alcun lavoro
– Ma è stato trasferito del calore a causa delle differenze di
temperatura tra il sistema e l’ambiente esterno
•
Per continuare a conservare l’energia : ΔU=Q
• La variazione di energia interna è uguale al calore scambiato con
l’ambiente esterno
– I segni del calore sono opposti a quelli del lavoro
•
In generale se nella
trasformazione viene
– Eseguito lavoro
– Scambiato calore
ΔU=Q-L
I principio della termodinamica
Il IO principio della termodinamica ΔU=Q-L
Esprime l’esistenza della funzione energia interna del sistema che è una funzione dello stato del
sistema;
•
Esprime la conservazione dell’energia
•
Stabilisce che il calore è una forma di energia, – è l'energia scambiata tra il sistema e l'ambiente circostante a causa di una differenza di
temperatura. – In altri termini è l'energia che transita attraverso i confini del sistema a causa di una
differenza di temperatura tra il sistema e l'ambiente circostante. – Essendo il calore un’energia, nel Sistema Internazionale di Unità di Misura si misura in
Joule.
•
Il primo principio si applica a tutte le trasformazioni, sia a quelle reversibili che a quelle
irreversibili
L’equivalente meccanico del calore
•
•
•
Abbiamo definito la caloria come la quantità
di calore necessaria per innalzare la
temperatura di un grammo di acqua da
14.5°C a 15.5°C alla pressione atmosferica.
Lo stesso cambiamento di stato si ottiene
anche effettuando solo del lavoro adiabatico
Joule esegui una serie di esperimenti come
quello mostrato in figura con cui determinò
l’equivalente meccanico del calore, ossia la
relazione tra la caloria e l’unità di misura
del lavoro, J.
1 caloria = 4.1858 J
M
Mulinello
Il calore dipende dalla trasformazione
•
ΔU=Q-L
Il primo principio stabilisce che
(che in parole può enunciarsi : la variazione di energia interna di un sistema, corrisponde alla differenza tra il calore
scambiato dal sistema con l’ambiente e il lavoro effettuato/ricevuto dal sistema).
ΔU non dipende dalla trasformazione
•
L dipende dalla trasformazione (dL non è un differenziale esatto, δL )
Anche Q dipende dalla trasformazione (dQ non è un differenziale esatto, δQ)
Per una trasformazione infinitesima :
dU= δQ – δL
(che in parole può enunciarsi : la variazione infinitesima di energia interna di un sistema, corrisponde alla differenza tra
la variazione infinitesima del calore scambiato dal sistema con l’ambiente e il lavoro infinitesimo effettuato/ricevuto dal
sistema).
•
Esistono due eccezioni
– Le trasformazioni a lavoro nullo (a volume costante)
– Le trasformazioni a pressione costante
per queste trasformazioni il calore è una funzione di stato, dipende solo dallo stato iniziale e
da quello finale.
Il calore nelle trasformazioni a volume costante
•
Il lavoro può essere valutato utilizzando i parametri dell’ambiente esterno sia per una
trasformazione reversibile che per una non reversibile (irreversibile).
L=Pe(Vf-Vi)
ma se Vf=Vi (volume costante)
•
à
L=0 (lavoro nullo)
Allora
ΔU=Q
(per una trasformazione infinitesima dQ= dU)
– il calore scambiato nella trasformazione a volume costante è uguale alla variazione di
energia interna
– Poiché l’energia interna è una funzione di stato,
• Anche il calore in questo caso è una funzione di stato
Conseguenza importante:
– Il calore scambiato in una trasformazione a volume costante (lavoro nullo) dipende solo
dallo stato iniziale e da quello finale e non dipende dalla particolare trasformazione
– Il calore scambiato sulla trasformazione irreversibile è uguale a quello scambiato sulla
trasformazione reversibile.
Il calore nelle trasformazioni a pressione costante
Anche in questo caso il lavoro può essere valutato utilizzando i parametri dell’ambiente
esterno sia per una trasformazione reversibile che per una irreversibile.
L=Pe(Vf-Vi)= PfVf-PiV
i
• Essendo Pf=Pi=Pe
•
Per il I principio della termodinamica
ΔU=Q-L
Q= ΔU+L= ΔU+ PfVf-PiVi=Uf-Ui + PfVf-PiVi=(Uf + PfVf)-(Ui + PiVi)
•
La grandezza
H= U + PV
è una funzione di stato (ENTALPIA)
Q= ΔH
Anche in questo caso il calore scambiato è una funzione di stato. È lo stesso sia per una
trasformazione reversibile che per una irreversibile
Per una trasformazione infinitesima
dQ= dH
Il gas perfetto
I gas
• Monoatomici (i gas nobili: He,Ne, Ar, Kr, Xe)
• Biatomici
(H2, O2, N2)
• Poliatomici (C O2, H2O,…)
Si comportano come gas perfetto in condizione di bassa densità
Un gas perfetto è un gas che in ogni condizioni soddisfa l’equazione di stato di un gas perfetto
PV=nRT
Legge di Avogadro: volumi uguali di gas nelle stesse condizioni di pressione e temperatura contengono lo stesso numero di molecole.
S.I.
litri ⋅ atm
joule
cal
R = 0.08205
= 8.314
= 1.986
mole ⋅ K
mole ⋅ K
mole ⋅ K
Il gas perfetto
Legge di Charles: V1=Vo(1+αt) à V/T=cost
α coefficiente di dilatazione = 1/273.15 [T-1]per tutti i gas (in condizioni di gas perfetto)
•
•
Legge di Gay-Lussac : P1=Po(1+αt) à P/T=cost
α coefficiente di dilatazione = 1/273.15 [T-1]per tutti i gas (in condizioni di gas perfetto)
•
Legge di Boyle PV=cost a T=cost
L’energia interna del gas perfetto
Si consideri una Espansione libera
La trasformazione è irreversibile
[Infatti: Non c’è equilibrio
meccanico et la pressione è
diversa nei due contenitori]
Vuoto
Gas
Pe
fig. A
•
Per calcolare il lavoro dobbiamo usare i parametri
dell’ambiente:
L=PeΔV
ΔV è la variazione del volume su cui agisce la pressione esterna
(=0 contenitore con pareti rigide)
•
Temperat ura iniziale
=Τ
• Facendo avvenire l’espansione in un calorimetro
– Se il gas si comporta come un gas perfetto à Ti=Tf
•
Il calore scambiato con il calorimetro è nullo (Q=Cap_terΔT)
e quindi :
ΔU=Q-L=0
•
U(T,V1)=U(T,V2)
U non dipende da V ma solo da T.
Temperat ura finale
=Τ
Determinazione della variazione di energia interna del
gas perfetto tra due stati qualsiasi
•
Supponiamo di voler calcolare la variazione di energia interna tra i
due stati i ed f
•
P
L’energia interna è una funzione di stato: possiamo usare una
•
qualsiasi trasformazione che connetta lo stato i con f
Pf
Scegliamo una trasformazione costituita da una isocora, tratto ic, e
Pi
da una isoterma, tratto cf.
ΔUcf=0 perché l’energia interna del gas perfetto dipende solo dalla
temperatura e la temperatura non varia tra
•
c ed f.
ΔUic=Qic - Lic
(
Lic =0, volume costante)
Qic =nCVΔT= nCV(Tf-Ti) (numero di moli per il calore
specifico molare a volume costante per la variazione di
temperatura)
ΔUif=nCV(Tf-Ti)
i
P
Vf
V
c
Pf
Pi
Τf
Τi
Vi
ΔUif=ΔUic+ ΔUcf
•
f
f
i
Vi
Τf
Τi
Vf
V
La relazione di Mayer
•
Si dimostra che:
CP = CV + R
•
•
Gas monoatomici
Gas biatomici
3
5
CV = R ⇒ CP = R
2
2
5
7
CV = R ⇒ CP = R
2
2
γ =
CP C V + R 5
=
= = 1.6
CV
CV
3
CP C V + R 7
γ =
=
= = 1.4
CV
CV
5
Esercizio: Una quantità di gas ideale monoatomico alla temperatura di 10.0°C e a una
pressione di 100 kPa occupa un volume di 2.50 m3. Il gas viene riscaldato a volume
costante fino a quando la pressione diventa 300 kPa .
• Determinare il calore assorbito dal gas e la variazione di energia interna.
P
V
T
T+dT
3
J
(849.4 − 283.15)K = 733.7kJ
Q = nCV ΔT = 106.2mol × × 8.134
2
mol × K
ΔU = 733.7kJ
!
Esercizio: Una quantità di gas ideale monoatomico alla temperatura di 10.0°C e a una
pressione di 100 kPa occupa un volume di 2.50 m3. Il gas viene riscaldato a volume
costante fino a quando la pressione diventa 300 kPa .
• Determinare il calore assorbito dal gas e la variazione di energia interna.
L V =cost = 0
→ Q = ΔU = nCV ΔT = nCV (T2 − T1 )
n=?
P1V1 = nRT1
P2V2 = nRT2
oppure T2 = T1
n=
T2 = ?
100 ×10 3
P1Vo
=
RT1 8.314
P
P2
N
× 2.50 m 3
2
m
J
(273.15 + 10.0)K
mol × K
P1
= 106.2mol
N
× 2.50 m 3
2
PV
m
T2 = 2 o =
= 850K
J
nR 8.314
106.2mol
mol × K
300 ×10 3
P2
300kPa
= 284K
= 850K
P1
100kPa
3
J
(849.4 − 283.15)K = 733.7kJ
Q = nCV ΔT = 106.2mol × × 8.134
2
mol × K
Vo
V
T
T+dT
ΔU = 733.7kJ
Esercizio: Una quantità di gas ideale biatomico alla temperatura di 0.0°C e a una
pressione di 100 kPa occupa un volume di .50 m3. Il gas viene riscaldato a
pressione costante fino a quando il volume raddoppia.
• Determinare il lavoro effettuato, la variazione di energia interna e il calore
assorbito dal gas.
PV = nRT
L = P(V f − Vi ) = 100 ×103 Pa × (1.00 − .50) = 50kJ
ΔU = nCV ΔT
n=?
P
P
Tf = ?
N
3
×
.50m
2
PVi
m
n=
=
= 22.0mol
J
RTi 8.314
(273.15)K
mol × K
100 × 103
N
3
×
1.00m
2
PVf
m
Tf =
=
= 546.7K
J
nR 8.314
22.0mol
mol × K
Vi
Vf
100 × 103
5
J
(546.7 − 273.1)K = 122.4kJ
ΔU = nCV ΔT = 22.0mol × × 8.134
2
mol × K
Q = nCP ΔT = 22.0mol ×
7
J
× 8.134
(546.7 − 273.15)K = 171.4kJ
2
mol × K
Τ
Τ+dΤ
Q = 171.4kJ
V
Esercizio: Calcolate il lavoro svolto da un agente esterno durante una
compressione isoterma di una certa quantità di ossigeno da un volume di
22.4 L alla temperatura di 0.00°C e 1 bar di pressione a un volume di
16.8L.
f dV
nRT
dL = PdV → L = ∫ PdV = ∫
dV = = nRT ∫
i
i
i V
V
Vf
f
= nRT [log V ]i = nRT (log V f − log Vi ) = nRT log
Vi
f
f
N
10 2 × 22.4 ×10 −3 m 3
PV
m
n= i i =
= 0.99 mol
RTi 8.314 J
(273.15)K
mol × K
5
n=?
ΔU = 0
L = nRT log
P
Pf
Isoterma
Pi
Τ
Vf
Q = L + ΔU →
Q=L
Vf
J
16.8
273.15 K log
= −639.17 J
molK
22.4
Vi
= 1mol × 8.314
Lest = − L = 639.17 J
Vi
V
Le trasformazioni del gas perfetto:
adiabatica reversibile
Si dimostra che per l’adiabatica reversibile vale:
PV γ = cost
Oppure una equazione che deriva da questa utilizzando l’equazione di stato
nRT γ
γ −1
PV =
V = cos t ⇒ TV = cos t
V
γ
1
1
TV γ −1 = cost
1
−1
γ
γ nRT
γ
P V =P
= cos t ⇒ TP = cos t
P
1
TP
γ
−1
= cost
Esercizio: Una certa massa di gas occupa un volume di 4.3 L a una pressione di 1.2 bar e una temperatura
di 310 K.
Essa viene compressa adiabaticamente fino a un volume di 0.76 L.
Determinare la pressione finale e la temperatura finale supponendo che si tratti di un gas ideale per il
quale γ=1.4.
Pf = ?
SOLUZIONE.
L’ adiabatica reversibile vale
Pf Vfγ = Pi Viγ
PV = cost
γ
⎛ Vi
Pf = Pi ⎜
⎜ V
⎝ f
Tf Vfγ −1
Oppure:
Tf = ?
γ
1.4
⎞
4
.
3
⎞
⎟ = 1.2 ×10 5 ⎛⎜
⎟ = 13.56bar
⎟
⎝ 0.76 ⎠
⎠
= Ti Viγ −1
⎛ Vi ⎞
Tf = Ti ⎜ ⎟
⎝ Vf ⎠
γ−1
0.4
⎛ 4.3 ⎞
= 310K⎝
= 620K
⎠
0.76
Esercizio: Un gas monoatomico ideale, a una temperatura iniziale T0 (in Kelvin) si espande da
un volume V0 ad un volume 2V0 per mezzo di uno dei cinque processi indicati nel grafico
delle temperature in funzione del volume mostrato in figura.
– In quale processo l'espansione è
• isoterma
• isobara (pressione costante)
• Adiabatica.
Date una spiegazione alle vostre risposte.
P0Vo = nRTo
V0 =
nRT0
P0
→
P1 2Vo = nRT1
⇓
nRT0
P T
P1 2
= nRT1 → 2 1 = 1
P0
P0 T0
•
Isoterma T1=T0 trasformazione AE
2 P1 = T1 = 1 → P = 1 P
1
0
P0 T0
2
•
Isobara trasformazione AC
•
Adiabatica trasformazione AF
γ −1
T1 (2Vo )
2
P1 T1
= = 2 → T1 = 2T0
P0 T0
γ −1
= ToVo
To
To
⇒ T1 = γ −1 = 1.66−1 = 0.63To
2
2
Esercizio: Un gas ideale subisce una compressione adiabatica reversibile da P=1.0 bar, V=1.0 106 litri,
T=0.0 °C a P= 1.0 105 bar, V=1.0 103 litri.
• Si tratta di un gas monoatomico, biatomico o poliatomico?
• Quante moli del gas sono presenti?
• Qual è la temperatura finale?
• Qual è l’energia cinetica traslazionale per ogni mole prima e dopo la compressione?
Il gas è monoatomico
PV
Tf = f f
nR
1010 Pa × 1m 3
⇒ Tf =
= 27349K
J
8.31
44000mol
molK
