Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea

Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti
corso di laurea in Scienze geologiche.
Mauro Costantini
1
2
3
Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti) delle funzioni razionali, ovvero del
tipo:
Z
(1)
P (x)
dx
Q(x)
Ricordo che
Z
1
dx = log |x| + C
x
,
C∈R
con la solita interpretazione e
Z
1
dx = arctg x + C
1 + x2
,
C∈R
Osservo che possiamo ridurci al caso ridotto, ossia al caso in cui gr P (x) < gr Q(x). Supponiamo infatti
che sia gr P (x) ≥ gr Q(x). Allora mediante l’algoritmo di divisione euclideo possiamo scrivere
P (x) = S(x)Q(x) + R(x)
con
gr R(x) < gr Q(x)
e quindi
P (x)
R(x)
= S(x) +
Q(x)
Q(x)
con
gr R(x) < gr Q(x)
Di S(x) sappiamo calcolare una primitiva, quindi il problema è ricondotto alla ricerca di una primitiva
di
R(x)
Q(x) .
Esempio 0.1. Calcolare
R
2x3 +3x−2
x2 +2x+1
dx
Soluzione. In questo caso abbiamo P (x) = 2x3 + 3x − 2, Q(x) = x2 + 2x + 1, quindi gr P (x) = 3 >
2 = gr Q(x): non siamo nel caso ridotto. Eseguiamo la divisione:
2x3 + 3x − 2 = (2x − 4)(x2 + 2x + 1) + 9x + 2
e otteniamo
2x3 + 3x − 2
(2x − 4)(x2 + 2x + 1) + 9x + 2
9x + 2
=
= 2x − 4 + 2
2
2
x + 2x + 1
x + 2x + 1
x + 2x + 1
Siamo capaci di calcolare una primitiva di 2x − 4 e siamo quindi ricondotti alla ricerca di una primitiva
di
9x+2
x2 +2x+1 ,
che rappresenta un caso ridotto.
#
Ci mettiamo allora nella situazione del caso ridotto:
Z
P (x)
dx con gr P (x) < gr Q(x)
Q(x)
Per semplicità assumiamo Q(x) monico, cioè con il coefficiente del monomio di grado massimo uguale
ad 1.
4
Caso 1: Q(x) si scrive come prodotto di fattori lineari distinti. Avremo allora
Q(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an ) ,
a1 , . . . , an ∈ R
con ai 6= aj se i 6= j. Il teorema di decomposizione in questo caso afferma che esistono numeri reali
A1 , . . . , An tali che
A1
A2
An
P (x)
=
+
+ ··· +
Q(x)
x − a1
x − a2
x − an
A questo punto sappiamo trovare una primitiva di
R 2 +5x−1
Esempio 0.2. Calcolare x2x3 +x
2 −2x dx
P (x)
Q(x) .
Soluzione. In questo caso già abbiamo gr P (x) < gr Q(x). Si ha
Q(x) = x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x + 2)
in quanto le radici di x2 + x − 2 sono 1 e −2, e siamo nel caso 1. Dobbiamo trovare numeri reali A1 ,
A2 , A3 tali che
A1
A2
A3
2x2 + 5x − 1
=
+
+
x(x − 1)(x + 2)
x
x−1 x+2
Considerando il minimo denominatore comune si trova
2x2 + 5x − 1
A1 (x − 1)(x + 2) + A2 x(x + 2) + A3 x(x − 1)
=
x(x − 1)(x + 2)
x(x − 1)(x + 2)
e quindi
2x2 + 5x − 1 = A1 (x − 1)(x + 2) + A2 x(x + 2) + A3 x(x − 1)
(∗)
Valutando (∗) per x = 0, x = 1, x = −2 si trova
per x = 0 :
−1 = A1 (−1) 2
per x = 1 :
2 + 5 − 1 = A2 3
per x = −2 :
Perciò
⇒
⇒
8 − 10 − 1 = A3 (−2)(−2 − 1)
A1 =
1
2
A2 = 2
⇒
A3 = −
1
2
2x2 + 5x − 1
1 1
2
1
1
=
· +
− ·
x(x − 1)(x + 2)
2 x x−1 2 x+2
e infine
Z
2x2 + 5x − 1
1
1
dx = log |x| + 2 log |x − 1| − log |x + 2| + C
x3 + x2 − 2x
2
2
C ∈ R. In realtà il dominio è D = R \ {0, 1, −2} ed è unione di 4 intervalli:
D = (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞)
e quindi per descrivere tutte le primitive servono 4 costanti.
#
5
Esempio 0.3. Calcolare
Z
−3
I=
−4
2x2 + 5x − 1
dx
x3 + x2 − 2x
2x2 +5x−1
x3 +x2 −2x
Soluzione. La funzione integranda f (x) =
.
è definita e continua su tutto [−4, −3], quindi si
1
2
può applicare il teorema fondamentale del calcolo. La funzione F (x) =
log |x|+2 log |x−1|− 12 log |x+2|
è una primitiva di f (x) e quindi
1
1
log |x| + 2 log |x − 1| − log |x + 2|
2
2
1
3
1
= log 3 + log 4 − 2 log 5 + log 2
2
2
2
−3
I=
−4
#
N.B. Invece
Z
2
I=
−1
2x2 + 5x − 1
dx
x3 + x2 − 2x
è un integrale improprio (e non converge). Per calcolarlo bisogna spezzarlo in più parti, ad esempio
Z
0
(∗∗)
Z
1/2
f (x) dx +
−1
Z
1
f (x) dx +
0
Z
f (x) dx +
1/2
2
f (x) dx
1
tutti impropri. L’integrale proposto converge, per definizione, se e solo se tutti i 4 integrali in (∗∗)
convergono. Ma facendo il conto addirittura nessuno converge.
Caso 2. Q(x) è prodotto di fattori lineari con ripetizioni. Facciamo un esempio.
Esempio 0.4. Calcolare
Z
x2 + 2x + 3
dx
+ x2 − x − 1
x3
Soluzione. Qui già abbiamo gr P (x) < gr Q(x). Si ha
Q(x) = x3 + x2 − x − 1 = x2 (x + 1) − (x + 1) = (x + 1)(x2 − 1) = (x − 1)(x + 1)2
In questo caso il teorema di decomposizione ci dice che possiamo scrivere
x2 + 2x + 3
A1
A2
A3
=
+
+
2
(x − 1)(x + 1)
x − 1 x + 1 (x + 1)2
A1 , A2 , A3 in R. Si tratta di calcolare A1 , A2 , A3 . Considerando il minimo denominatore comune
otteniamo
x2 + 2x + 3
A1 (x + 1)2 + A2 (x − 1)(x + 1) + A3 (x − 1)
=
(x − 1)(x + 1)2
(x − 1)(x + 1)2
e quindi
(∗)
x2 + 2x + 3 = A1 (x + 1)2 + A2 (x − 1)(x + 1) + A3 (x − 1)
6
Valutando (∗) per x = 1 e x = −1 otteniamo
per x = 1 :
⇒
1 + 2 + 3 = A1 4
per x = −1 :
1 − 2 + 3 = A3 (−2)
A1 =
⇒
3
2
A3 = −1
Resta da calcolare A2 . Possiamo valutare (∗) per un qualunque valore di x che non annulli il coefficiente
di A2 , ad esempio per x = 0:
per x = 0 :
3 = A1 + A2 (−1) + A3 (−1)
Perciò
⇒
3=
3
− A2 + 1
2
⇒
A2 = −
1
2
3 1
x2 + 2x + 3
1 1
1
=
−
−
(x − 1)(x + 1)2
2 x − 1 2 x + 1 (x + 1)2
e infine
Z
x2 + 2x + 3
1
1
3
+C
dx = log |x − 1| − log |x + 1| +
2
(x − 1)(x + 1)
2
2
x+1
C ∈ R (ricordo che una primitiva di
1
(x+1)2
Esempio 0.5. Calcolare
Z
I=
2
3
1
è − x+1
, attenzione ai segni).
x2 + 2x + 3
dx
(x − 1)(x + 1)2
Soluzione. La funzione integranda f (x) =
x2 +2x+3
(x−1)(x+1)2
.
è definita e continua su tutto [2, 3], quindi si
può applicare il teorema fondamentale del calcolo. La funzione F (x) =
3
2
1
log |x − 1| − 12 log |x + 1| + x+1
è una primitiva di f (x) e quindi
3
3
1
1
I=
log |x − 1| − log |x + 1| +
2
2
x+1 2
3
1
1
3
1
1
= log 2 − log 4 + −
log 1 − log 3 +
2
2
4
2
2
3
1
1 1
1
3
= log 2 − 2 log 2 + + log 3 −
2
2
4 2
3
1
1
1
= log 2 + log 3 +
2
2
12
#
In generale, se Q(x) = (x − a1 )n1 (x − a2 )n2 · · · (x − ak )nk , il teorema di decomposizione afferma che
si può scrivere (ricordo che stiamo sempre assumendo gr P (x) < gr Q(x))
P (x)
A1,1
A1,2
A1,n1
=
+
+ ··· +
+
2
Q(x)
x − a1
(x − a1 )
(x − a1 )n1
A2,1
A2,2
A2,n2
+
+
+ ··· +
+
x − a2
(x − a2 )2
(x − a2 )n2
..
.
Ak,1
Ak,2
Ak,nk
+ ··· +
+
+
2
x − ak
(x − ak )
(x − ak )nk
7
dove Ai,j sono numeri reali.
Caso 3. Q(x) contiene fattori irriducibili di 2◦ grado senza ripetizioni. Facciamo direttamente un
esempio
Esempio 0.6. Calcolare
Z
5x2 − 4x + 2
dx
x3 − 1
.
Soluzione. Q(x) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) e il fattore x2 + x + 1 è irriducibile. In questo caso il
teorema di decomposizione dice che posso scrivere
5x2 − 4x + 2
A
Bx + C
=
+ 2
2
(x − 1)(x + x + 1)
x−1 x +x+1
dove A, B, C sono numeri reali. Come calcoliamo A, B, C? Passando a minimo denominatore comune
otteniamo
A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1)
5x2 − 4x + 2
=
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)(x2 + x + 1)
e quindi
5x2 − 4x + 2 = A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1)
e, raccogliendo nel secondo membro,
5x2 − 4x + 2 = (A + B)x2 + (A − B + C)x + A − C
Ora due polinomi sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti (questo è sempre vero, e quindi
questo metodo si può usare in tutti i casi, solo che in situazioni specifiche metodi alternativi risultano
più rapidi), e quindi otteniamo il sistema lineare in A,


 A+B
A−B+C


A
−C
B, C:
=5
= −4
=2
Sommando le tre equazioni si trova 3A = 3 da cui segue A = 1. Dalla prima e dalla terza equazione
troviamo B = 4, C = −1. Pertanto
5x2 − 4x + 2
1
4x − 1
=
+
(x − 1)(x2 + x + 1)
x − 1 x2 + x + 1
Poichè conosciamo una primitiva di
1
x−1 ,
il problema è ricondotto alla ricerca di una primitiva di
4x−1
x2 +x+1 .
Il primo passaggio consiste nel far “sparire” la x al numeratore. Osservo che D(x2 + x + 1) = 2x + 1 e
scrivo
Z
Z
2x − 12
2x + 1 − 1 − 21
dx
=
2
dx
x2 + x + 1
x2 + x + 1
Z
Z
2x + 1
1
=2
dx − 3
dx
x2 + x + 1
x2 + x + 1
4x − 1
dx = 2
x2 + x + 1
Z
8
Proprio perchè abbiamo cercato di ottenere una frazione con al numeratore la derivata del denominatore,
il primo integrale riusciamo a risolverlo. Poniamo t = x2 + x + 1, e quindi dt = (2x + 1) dx. Perciò (in
tutti i passaggi preliminari non introduco C, mi limito ad esibire primitive)
Z
Z
2x + 1
1
dx
=
dt = log |t| = log |x2 + x + 1| = log(x2 + x + 1)
x2 + x + 1
t
1
. L’idea qui è di
poichè x2 + x + 1 > 0 per ogni x ∈ R. Resta da calcolare una primitiva di x2 +x+1
R 1
ricondurci a 1+t2 dt. Per prima cosa bisogna far “sparire” il termine in x, e usiamo il metodo già
visto nello studio dei polinomi quadratici (infatti x2 + x + 1 è un polinomio quadratico): il metodo del
completamento del quadrato. Ponendo x2 + x + 1 = (x − a)2 + b otteniamo a = − 21 , b = 34 . Perciò
2
1
3
2
x +x+1= x+
+
2
4
Allora pongo u = x + 12 , du = dx e
Z
Z
1
dx =
x2 + x + 1
x+
1
1 2
2
Z
+
3
4
dx =
u2
1
+
3
4
du
Per concludere calcoliamo in generale
Z
1
du
u2 + a2
√
dove a è un qualunque numero reale positivo (nel nostro caso poi sarà a =
du = a dt. Allora
Z
1
du =
2
u + a2
Z
a
1
dt =
2
2
2
a t +a
a
Z
3
2 ).
Poniamo u = at,
u
1
1
1
dt
=
arctg
t
=
arctg
t2 + 1
a
a
a
e otteniamo
Z
Z
2
√ arctg
3 du =
3
4
2
2
1
= √ arctg √ (x + )
2
3
3
2
2x + 1
√
= √ arctg
3
3
1
dx =
x2 + x + 1
1
u2 +
2
√ u
3
poichè avevamo posto u = x + 12 . Riassumendo, tenedo conto dei vari passaggi
Z
Z
Z
4x − 1
2x + 1
1
dx
=
2
dx
−
3
dx
2
2
2
x +x+1
x +x+1
x +x+1
√
2x + 1
2
√
= 2 log(x + x + 1) − 2 3 arctg
3
Il risultato finale è
Z Z
5x2 − 4x + 2
1
4x − 1
dx =
+
dx
x3 − 1
x − 1 x2 + x + 1
√
= log |x − 1| + 2 log(x + x + 1) − 2 3 arctg
2
C ∈ R.
2x + 1
√
3
+C
9
Esempio 0.7. Calcolare
Z
0
I=
−1
5x2 − 4x + 2
dx
x3 − 1
Soluzione. La funzione integranda f (x) =
5x2 −4x+2
x3 −1
.
è definita e continua su tutto [−1, 0], quindi si
può applicare
fondamentale del calcolo. La funzione F (x) = log |x − 1| + 2 log(x2 + x + 1) −
il teorema
√
√
2 3 arctg 2x+1
è una primitiva di f (x) e quindi
3
0
√
2x + 1
2
√
I = log |x − 1| + 2 log(x + x + 1) − 2 3 arctg
3
−1
√
√
1
−1
= log 1 + 2 log 1 − 2 3 arctg √
− log 2 + log 1 − 2 3 arctg √
3
3
√
1
= −4 3 arctg √
− log 2
3
2√
3π − log 2
=−
3
in quanto arctg è dispari e arctg √13 = 61 π.
#
In generale, se
Q(x) = (x − a1 )n1 (x − a2 )n2 · · · (x − ak )nk (x2 + b1 x + c1 )(x2 + b2 x + c2 ) · · · (x2 + br x + cr )
dove x2 + bi x + ci sono irriducibili, a due a due distinti, il teorema di decomposizione afferma che si può
scrivere (ricordo che stiamo sempre assumendo gr P (x) < gr Q(x))
P (x)
A1,1
A1,n1
A1,2
=
+ ··· +
+
+
Q(x)
x − a1
(x − a1 )2
(x − a1 )n1
A2,1
A2,2
A2,n2
+
+
+ ··· +
+
x − a2
(x − a2 )2
(x − a2 )n2
..
.
Ak,nk
Ak,1
Ak,2
+ ··· +
+
+
+
2
x − ak
(x − ak )
(x − ak )nk
B1 + C 1 x
B2 + C 2 x
Br + Cr x
+ 2
+ ··· + 2
+ 2
x + b1 x + c1
x + b2 x + c2
x + br x + cr
dove Ai,j , Bh , Ch sono numeri reali.
Caso 4. Q(x) contiene fattori irriducibili di secondo grado con ripetizioni. Facciamo un esempio.
Esempio 0.8. Calcolare
Z
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
(1 + x) (4 + x2 )
2
dx
Soluzione. Qui già abbiamo gr P (x) < gr Q(x). In questo caso il teorema di decomposizione ci dice
che possiamo scrivere
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
(1 + x) (4 +
2
x2 )
=
A
Bx + C
Dx + E
+ 2
+ 2
x+1
x +4
(x + 4)2
10
A, B, C, D, E in R. Si tratta di calcolare A, B, C, D, E. Facendo minimo denominatore comune
otteniamo
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
(1 + x) (4 +
2
x2 )
=
A(x2 + 4)2 + (Bx + C)(x + 1)(x2 + 4) + (Dx + E)(x + 1)
2
(1 + x) (4 + x2 )
e quindi
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3 = 16 A + 4 C + E + (4 B + 4 C + D + E) x +
+ (8 A + 4 B + C + D) x2 + (B + C) x3 + (A + B) x4
Si tratta di risolvere il sistema lineare

A+ B




B+ C


8A + 4B + C + D



4B + 4C + D + E



16A +
4C +
E
=0
= 10
= −26
= 60
= −104
Un modo per risolverlo è il seguente: A = −B, C = 10 − B, D = −26 − 8A − 4B − C = 5B − 36,
E = −104 − 16A − 4C = 4(5B − 36), e quindi sostituendo nella quarta equazione, 25B = 200 da cui
segue B = 8, A = −8, C = 2, D = 4, E = 16. Quindi
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
2
(1 + x) (4 + x2 )
=
−8
8x + 2
4x + 16
+
+
x + 1 x2 + 4 (x2 + 4)2
Ora la derivata di x2 + 4 è 2x, quindi scrivo
8x + 2
2x
2
=4· 2
+ 2
2
x +4
x +4 x +4
Poniamo t = x2 + 4, dt = 2x dx e quindi
Z
Z
2x
1
4
dx
=
4
dt = 4 log |t| = 4 log(x2 + 4)
x2 + 4
t
D’altro canto, essendo x2 + 4 = 4(( x2 )2 + 1), ponendo x = 2t, dx = 2 dt otteniamo
Z
Z
Z
2
4
1
x
dx
=
dt
=
dt = arctg t = arctg
2
2
2
x +4
4t + 4
t +1
2
Resta infine da calcolare una primitiva di
4x+16
(x2 +4)2 .
Scrivo
4x + 16
2x
16
=2· 2
+ 2
(x2 + 4)2
(x + 4)2
(x + 4)2
in quanto D(x2 + 4) = 2x. Poniamo t = x2 + 4, dt = 2x dx e quindi
Z
Z
2x
1
2
2
2
dx
=
2
dt = − = − 2
2
2
2
(x + 4)
t
t
x +4
11
Per calcolare una primitiva di
16
(x2 +4)2
Z
utilizziamo la formula (vedi tabella successiva)
1
t
arctg(t)
dt =
+
(1 + t2 )2
2 (1 + t2 )
2
Ponendo x = 2t, dx = 2 dt si ottiene
Z
Z
Z
16
32
1
t
dx =
dt = 2
dt =
+ arctg(t)
(x2 + 4)2
(4t2 + 4)2
(t2 + 1)2
1 + t2
x
x
x
2x
2
=
=
+
arctg
+
arctg
2
2
4 + x2
2
1+ x
2
Tenendo conto delle primitive ottenute e dei corrispondenti coefficienti otteniamo
Z
Z −104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
−8
8x + 2
4x + 16
dx
dx =
+
+
2
x + 1 x2 + 4 (x2 + 4)2
(1 + x) (4 + x2 )
x
x
2
2x
= −8 log |x + 1| + 4 log(x2 + 4) + arctg
− 2
+ 2
+ arctg
2
x +4 x +4
2
x 2x − 2
= −8 log |x + 1| + 4 log(x2 + 4) + 2 arctg
+C
+ 2
2
x +4
con C ∈ R. Si può anche scrivere
Z
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
(1 + x) (4 + x2 )
2
dx = 4 log
x 2x − 2
(x2 + 4)
+
2
arctg
+ 2
+C
(x + 1)2
2
x +4
C ∈ R. Possiamo calcolare un integrale definito:
Z
0
b
−104 + 60 x − 26 x2 + 10 x3
2
(1 + x) (4 + x2 )
dx =
(b2 + 4)
b
1
2b − 2
4 log
+ 2 arctg
− 4 log 4 −
+ 2
=
(b + 1)2
2
b +4
2
1
(b2 + 4)
b
2b − 2
− 4 log 4 +
4 log
+
2
arctg
+ 2
2
(b + 1)
2
b +4
2
dove b è un qualunque numero reale maggiore di −1.
In generale ci sarà la necessità di conoscere primitive delle funzioni
#
1
(1+x2 )n ,
per n = 1, 2, . . . . Di
seguito riporto la lista per i casi n = 1, 2, 3, 4:
Z
1
dx = arctg(x)
1 + x2
Z
1
x
arctg(x)
dx =
+
(1 + x2 )2
2 (1 + x2 )
2
Z
1
3 arctg(x)
x
3x
dx =
2 + 8 (1 + x2 ) +
2
(1 + x2 )3
8
4 (1 + x )
Z
1
x
5x
5x
5 arctg(x)
dx =
3 +
2 + 16 (1 + x2 ) +
2
2
(1 + x2 )4
16
6 (1 + x )
24 (1 + x )
12
si ottengono mediante opportune integrazioni per parti. Ad esempio
Z
Ora scrivo
x2
(1+x2 )2
1
dx =
(1 + x2 )2
=x·
Z
x
(1+x2 )2
Z
1 + x2 − x2
(1 +
2
x2 )
Z
dx =
1
dx −
1 + x2
e osservo che una primitiva di
x
(1+x2 )2
Z
x2
dx
(1 + x2 )2
1
è − 2(1+x
2 ) quindi
Z 1
x2
1
dx = x · −
−
dx
−
(1 + x2 )2
2(1 + x2 )
2(1 + x2 )
1
x
+ arctg x
=−
2(1 + x2 ) 2
pertanto
Z
Esercizio 0.1. Calcolare
Soluzione.
Z
1
x2
dx
−
dx
1 + x2
(1 + x2 )2
x
1
= arctg x − −
+ arctg x
2(1 + x2 ) 2
x
arctg(x)
=
+
2 (1 + x2 )
2
1
dx =
(1 + x2 )2
Z
Z
6x
dx
(−8 + x) (2 + x) (4 + x)
2 log | − 8 + x| + 3 log |2 + x| − 5 log |4 + x|
+C
5
C ∈ R.
Esercizio 0.2. Calcolare
Z
25 x2
2
(−8 + x) (2 + x)
dx
Soluzione.
10
+ 16 log | − 8 + x| + 9 log |2 + x| + C
2+x
C ∈ R.
Esercizio 0.3. Calcolare
Z
4
dx
(2 + x) (2 + 2 x + x2 )
Soluzione.
2 arctg(1 + x) + 2 log |2 + x| − log(2 + 2 x + x2 ) + C
C ∈ R.
13
Esercizio 0.4. Calcolare
Z
4x
2
(2 + x) (2 + 2 x + x2 )
Soluzione.
dx
4
+ 2 arctg(1 + x) − 2 log |2 + x| + log(2 + 2 x + x2 ) + C
2+x
C ∈ R.
Esercizio 0.5. Calcolare
Z
4
(2 + x) (2 + 2 x + x2 )
Soluzione.
2
dx
2+x
log(2 + 2 x + x2 )
+
2
arctg(1
+
x)
+
log
|2
+
x|
−
+C
2 + 2 x + x2
2
C ∈ R.
Esercizio 0.6. Calcolare
Z
4
2
2
(2 + x) (2 + 2 x + x2 )
dx
Soluzione.
−
C ∈ R.
1
1
+
+ arctg(1 + x) + 2 log |2 + x| − log(2 + 2 x + x2 ) + C
2 + x 2 + 2 x + x2