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Calcolo differenziale 1:
Derivata di una Funzione
(M.S.Bernabei & H. Thaler)
Applicazioni del calcolo differenziale.
1.
La retta tangente
2.
Velocità ed accelerazione
3.
Minimo e massimo di una funzione
Problema della retta tangente
retta secante
∆𝒇
𝒚=𝒇 𝒄 +
(𝒙 − 𝒄)
∆𝒙
c  x, f (c  x)
f  f (c  x)  f (c)
(c, f(c))
x


(c, f(c)) e c  x, f (c  x)
sono due punti del grafico di f.
Il rapporto incrementale é la pendenza della retta
secante passanti per questi due punti
msec
f
f (c  x)  f (c)


x
c  x  c
f (c  x)  f (c)

x
Definizione di retta tangente con coefficiente angolare m
o derivata di una funzione nel punto c
f (c  x)  f (c)
lim
 m  f ' (c )
x 0
x
Definizione alternativa di derivata
La derivata di f nel punto x = c é data da
f ( x )  f (c )
f ' (c)  lim
x c
xc
(x, f(x))
f ( x)  f (c)
(c, f(c))
x  x  c
c
x
Derivata destra e sinistra.
f ( x )  f (c )
lim
x c
xc
f ( x )  f (c )
lim
x c
xc
Funzione derivata
• La derivata di una funzione é il limite del
rapporto incrementale, quando l’ incremento
della variabile x tende a 0. Se il limite esiste,
allora si dice che f(x) é differenziabile in x.
dy
y
 lim
dx x0 x
Notazioni di derivata
dy
• Notazione di Leibniz
dx
• Notazione di Lagrange
• 𝑓′
y
Derivata di una funzione
algebrica
• La funzione costante 𝑓 𝑥 = 𝑎, dove a é un
numero reale
f (c  x)  f (c)
aa
0
lim
 lim
 lim
0
x 0
x 0 x
x 0 x
x
• Quindi se 𝑓 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 0 per ogni
𝑥.
Funzioni Lineari
• Data la funzione lineare 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞, la sua
derivata é costante. Infatti:
f (c  x)  f (c)
m(c  x)  q  mc  q
lim
 lim

x 0
x 0
x
x
mx
 lim
 m  f ' (c )
x 0 x
Esempio: modulo di una funzione
c  x  c
lim
 1
x 0
x
 c  x  c
lim
 1
x 0
x
La derivata non esiste! Non si può definire la retta
tangente in 0.
Regola della Somma
• Date due funzioni f e g differenziabili nel
punto x, allora
𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)
Infatti:
f (c  x)  g (c  x)  f (c)  g (c)
( f  g )' (c)  lim

x 0
x
f (c  x)  f (c)
g (c  x)  g (c)
 lim
 lim
 f ' (c )  g ' (c )
x 0
x 0
x
x
Derivata della funzione
2
𝑦 = 𝑎𝑥 con 𝑎 reale
f ( x  x)  f ( x)
lim

x 0
x
2
2
a ( x  x)  ax
 lim

x 0
x
Quindi la pendenza
della retta tangente
in ogni punto (x, f(x))
é dato da m = 2ax
a ( x  2 xx  x   x )
 lim
x 0
x
ax(2 x  x)
 lim

2
ax
x 0
x
2
2
2
Derivata della funzione
2
quadratica 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Applicando la regola della somma si ottiene:
𝑑
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑑
2
=
(𝑎𝑥 ) +
(𝑏𝑥) +
(𝑐) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑎𝑥 + 𝑏
Derivata della funzione potenza
𝑛
𝑦 = 𝑎𝑥 con n esponente naturale
Analogamente si può
provare che:
d
n
n 1
(ax )  nax
dx
Derivata di un polinomio
𝑛
𝑦 = 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
• Applicando le proprietà della derivata viste
finora si ottiene:
•
•
𝑑
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 =
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑛
(𝑎𝑛 𝑥 ) + (𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 ) + ⋯ +
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
(𝑎1 𝑥) + (𝑎0 ) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑛 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 + (𝑛 − 1) 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1
Esempi
•
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
−𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1 = −3𝑥 2 + 4𝑥
4𝑥 4 − 3𝑥 2 + 5 = 16𝑥 3 − 6𝑥
Regola di Leibnitz: derivata di un
prodotto
• Date due funzioni f e g che ammettono
derivata, allora la derivata del prodotto è:
• 𝑓𝑔 ′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′
• In particolare:
• 𝑐𝑔 ′ = 𝑐𝑔′
• dove c è una costante reale.
Esempio
𝑑
𝑥 − 2 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 =
𝑑𝑥
𝑑
2𝑥 2 − 3𝑥 + 1
𝑥−2
𝑑𝑥
𝑑
+ 𝑥−2
2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 =
𝑑𝑥
= 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 4𝑥 − 3 =
= 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 + 4𝑥 2 − 3𝑥 − 8𝑥 + 6 =
= 6𝑥 2 − 14𝑥 + 7
Derivata della funzione potenza
𝑎
𝑦 = 𝑥 , 𝑥 > 0 e a reale
𝑑 𝑎
𝑥 = 𝑎𝑥 𝑎−1
𝑑𝑥
Trovare la derivata rispetto a t della funzione
2
y .
t
 
d 2 d
1
11
2
2t  2(1)t
 2t 
 
dx  t  dx
2
 2
t
Regola del quoziente
• Se 𝑓 e 𝑔 sono due funzioni differenziabili in
𝑥 tali che 𝑔(𝑥) ≠ 0, allora il loro rapporto é
differenziabile e
𝑓
𝑔
′
′
𝑓 𝑔 − 𝑓𝑔
=
2
𝑔
′
Esempio
• Se la velocità di un corpo ha la seguente
espressione 𝑣 𝑡 =
3𝑡 2 +1
2(𝑡−1)
• Calcolare la sua derivata, l’ accelerazione a,
all’ interno del suo dominio (𝑡 ≠ 1):
• 𝑎=
•
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 3𝑡 2 +1
𝑑𝑡 2(𝑡−1)
12𝑡 2 −12𝑡−6𝑡 2 −2
4 𝑡−1 2
=
=
6𝑡 2𝑡−2 −2 3𝑡 2 +1
6𝑡 2 −12𝑡−2
4 𝑡−1 2
4 𝑡−1
=
2
3𝑡 2 −6𝑡−1
2 𝑡−1 2
=
1
Derivata dell’ inversa
𝑓
• Sia 𝑓 una funzione differenziabile in 𝑥 tale
che 𝑓(𝑥) ≠ 0, allora anche la funzione
reciproca é differenziabile e si ha
•
1 ′
𝑓
=
𝑓′
− 2
𝑓
• Infatti, applicando la regola del rapporto nel
caso particolare in cui il numeratore è 1 si
ottiene:
•
1 ′
𝑓
𝑥 =
𝑓′ (𝑥)
− 2
𝑓 (𝑥)
Esempio
•
𝑑 1
𝑑𝑥 𝑥 2
=
2𝑥
− 4
𝑥
=
2
− 3
𝑥
Regola della catena
• Siano 𝑦 = 𝑓(𝑥) una funzione
differenziabile nel punto 𝑥, e una funzione
𝑧 = 𝑔(𝑦) una funzione differenziabile nel
punto 𝑦 = 𝑓(𝑥), allora esiste la derivata
della funzione composta ed é della forma
• 𝑔∘𝑓
′
𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 𝑓 ′ (𝑥)
• oppure
•
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Applicazione: Derivata della
funzione potenza.
• Applicando la regola della funzione
composta, si ottiene
• 𝑓 𝑛 ′ = 𝑛𝑓′𝑓 𝑛−1
Derivata delle funzioni
logaritmiche
Derivata delle funzioni
esponenziali
•
•
𝑑 𝑥
𝑒
𝑑𝑥
𝑑 𝑥
𝑎
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
= (ln 𝑎) 𝑎 𝑥
Derivata delle funzioni
trigonometriche
Dimostrazione:
𝑑
𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝑥
tan 𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑥 cos 𝑥
𝑑
𝑑
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
(cos 𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
=
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
1
=
=
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Derivata delle funzioni
trigonometriche inverse
•
•
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
1−𝑥 2
1
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
1−𝑥 2
1
1+𝑥 2
Esempi
−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Applicazioni della derivata alla
geometria
• Trovare la retta tangente alla funzione di
equazione 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 nel punto 1.
• La pendenza della retta tangente nel punto
1 è data dalla derivata della funzione
calcolata nel punto 1:
′
• 𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 3 − 𝑥 = 3𝑥 2 − 1
• 𝑚 = 𝑓′ 1 = 2
• Nel punto 1 la funzione vale 𝑦0 = 𝑓 1 =
0
• L’ equazione del fascio di rette per un punto
𝑥0 , 𝑦0 è
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
• Per 𝑥0 , 𝑦0 = (1,0) e 𝑚 = 2 si ha
𝑦 =2 𝑥−1
𝑦 = 2𝑥 − 2
Esempio
• Trovare la retta tangente alla funzione di
2
equazione 𝑦 = nel punto -1.
𝑥
• 𝑥0 = −1
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
• 𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 𝑓 −1 =
′
•𝑓 𝑥 =
1
−2 2
𝑥
=
2
− 2
𝑥
2
−1
= −2
• 𝑚 = 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑓 ′ −1 = −2
• 𝑦 − −2 = −2(𝑥 − −1 )
Esempio
• 𝑦 + 2 = −2(𝑥 + 1)
• 𝑦 = −2𝑥 − 2 − 2
• 𝑦 = −2𝑥 − 4
Esempio. Trovare la pendenza del grafico di f(x) = x2 +1
nel punto (-1,2). Quindi, troviamo l’ equazione della
retta tangente
Quindi, la pendenza
in ogni punto (x, f(x))
é dato da m = 2x
y = -2x
(-1,2)
y = x2 +1
f(x) = x2 + 1
Quindi, la pendenza
in ogni punto (x, f(x))
é dato da m = f’(x)=2x
Qual é la pendenza
nel punto (-1,2)?
m =f’(-1)= -2
L’ equazione della retta tangente é
y – 2 = -2(x + 1) in generale
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒅𝒐𝒗𝒆 𝒙𝟎 =-1 e 𝒚𝟎 =2 e
m=f’(𝒙𝟎 ) -> y = -2x
Esempio: trovare la derivata della
funzione 𝑦 = 𝑥 e usare il risultato
ottenuto per trovare la pendenza del
grafico nel punto (1,1) e (4,2).
Cosa succede nel punto (0,0)?
𝑑
𝑑
1 −1
1
1
𝑥 =
𝑥 2 = 𝑥 2=
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
2 𝑥
f ' ( x)  m 
1
2 x
Quindi, nel punto (1,1), la
pendenza é ½, e nel punto (4,2),
La pendenza é ¼.
Che cosa succede nel punto (0,0)?
La pendenza é indefinita, poichè si ottiene la divisione
per 0.
1
m
4
1
m
2
1
2
3
4
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Michel Rolle
(1652-1718)
Teoremi sulle derivate:
Teorema di Rolle
•
1.
2.
3.
•
Ipotesi:
f continua in [a , b]
f derivabile in (a , b)
f(a) = f(b)
Tesi:
Esiste almeno un punto c in (a , b) tale
che f’(c)=0
TEOREMA DI ROLLE
tangente
curva
a
Punto a
tangente
orizzontale b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI LAGRANGE
Giuseppe Luigi
Lagrange
(1736-1813)
Il Teorema di Lagrange o del
valor medio

Ipotesi:
1. f continua in [a , b]
2. f derivabile in (a , b)

Tesi:
f b   f a 
c  a; b , f ' c  
ba
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Il teorema di
Lagrange ha un
corda evidente
significato
geometrico
tangente
f(b)
curva
f(a)
a
c
b
Osservazione 1
• Data una funzione y=f(x), derivabile in (a,b)
• Ogni funzione del tipo y=f(x)+k, è derivabile in
(a,b) e risulta:
d
 f x   k   f ' x 
dx
Osservazione 2
• Pertanto se esiste la derivata di una funzione
essa è unica
• Invece se una funzione f(x) è la derivata di
un’altra F(x) questa non è unica
• infatti [F(x) + k]’= f(x) , per ogni numero
reale k
Teoremi
• Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 é tale che 𝑓 ′ 𝑥 = 0 per
ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora si ha che 𝑓 𝑥 = 𝑘,
per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
• Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 e 𝑔: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 sono tali
che 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),
allora esiste 𝑐 ∈ 𝑅 tale che 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 +
𝑐, per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Augustin Louis
Cauchy
(1789-1857)
Teorema di Cauchy e Regola di
de l’Hôpital

Ipotesi: Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 e 𝑔: [𝑎, 𝑏] → 𝑅
sono due funzioni continue in [𝑎, 𝑏],
derivabili in (𝑎, 𝑏) con 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 per ogni
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Tesi: Allora esiste 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che
f ' c  f b   f a 

g ' c  g b   g a 
Regola di De L’Hôpital
Forme indeterminate del tipo 0/0
• Prendiamo in considerazione dei limiti che
presentano una forma del tipo 0/0. Ad esempio:
x2 1
lim
2
x 1 x  1
sin x
lim
1
x 0
x
1  cos x
lim
0
x 0
x
• Il primo limite é stato risolto algebricamente mentre
gli altri due applicando i limiti notevoli. Ci sono altri
tipi di limite che non possono essere risolti con questi
metodi. Abbiamo quindi bisogno di sviluppare un
metodo più generale per risolverli.
Teorema
Regola di De L’Hôpital
• Supponiamo che le funzioni f e g sono funzioni
differenziabili su un intervallo aperto che contiene x =
a, eccetto al più il punto x = a, e che g’(x) ≠ 0 per ogni
x dell’ intervallo, escluso al più il punto a e che
lim f ( x)  0
e
xa
lim g ( x)  0
xa
/
• Se esiste il limite
/
lim[ f ( x) / g ( x)]
xa
o se questo limite é

allora/
f ( x)
f ( x)
lim
 lim /
x a g ( x)
x a g ( x)
Possiamo verificare la regola di De L’Hôpital
tornando indietro, e usando la definizione di
derivata (nel caso in cui il limiti sono nulli):
f  x  f a
f  x  f a
lim
f a
x a
xa
xa

 lim
x a g  x   g  a 
g  x  g a
g  a 
lim
x a
xa
xa
f  x  f a
 lim
x a g  x   g  a 
f  x  0
f  x
 lim
 lim
x a g  x   0
x a g  x 
Esempio:
1  cos x
lim
x 0 x  x 2
sin x
𝟎
0
=  lim
x 0 1  2 x
𝟎
Se la forma non é più
indetermianta,
bisogna fermarsi!
Se proviamo ad applicare di nuovo De L’Hôpital:
cos x 1
sin x

 lim
 lim
x 0
x 0 1  2 x
2
2
É sbagliato!

Esempio 1
• Trovare il seguente limite:
x 4
lim
x 2 x  2
2
𝟎
=
𝟎
• Precedentemente abbiamo fattorizzato e
semplificato e sostituito di nuovo il valore 2.
x 4
( x  2)( x  2)
lim
 lim
 lim ( x  2)  4
x 2 x  2
x 2
x 2
( x  2)
2
Esempio 1
x 4
lim
x 2 x  2
2
• Trovare il seguente limite
• Ora possiamo applicare la regoal di De L’Hôpital per
risolvere questo limite.
x 4
2x
lim
 lim
 2(2)  4
x 2 x  2
x 2 1
2
Esempio 2
• Trovare il seguente limite.
sin x
lim
x 0
x
• Verifichiamo che si tratta di una forma indeterminata
della forma 0/0.
sin x 0
lim

x 0
x
0
Esempio 2
• Trovare il seguente limite
sin x
lim
x 0
x
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi applichiamo la regola di De L’Hôpital per
trovare il limite.
sin x
cos x 1
lim
 lim
 1
x 0
x 0
x
1
1
Esempio 3
• Trovare il seguente limite:
1  sin x
lim
x  / 2 cos x
• Si tratta di una forma indeterminata della forma 0/0.
1  sin x 1  1 0
lim


x  / 2 cos x
0
0
Esempio 3
• Trovare il seguente limite.
1  sin x
lim
x  / 2 cos x
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi usiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il
limite.
1  sin x
 cos x 0
lim
 lim

0
x  / 2 cos x
x  / 2  sin x
1
Esempio 4
e 1
lim 3
x 0
x
x
• Trovare il seguente limite
• E’ una forma indeterminata del tipo 0/0.
e 1 1 1 0
lim 3 

x 0
x
0
0
x
Esempio 4
e 1
lim 3
x 0
x
x
• Trovare il seguente limite
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi applichiamo la regola di De L’Hôpital per
trovare il limite
e 1
e
1
lim 3  lim 2   
x 0
x 0 3 x
x
0
x
x
Esempio 5
• Trovare il seguente limite:
tan x
lim 2
x 0
x
• E’ una forma indeterminate della forma 0/0.
tan x 0
lim 2 
x 0
x
0
Esempio 5
tan x
• Trovare il seguente limite xlim
2
0  x
• Applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il
limite
tan x
1
lim 2  lim
 
2
x 0
x 0 2 x cos x
x
Esempio 6
•
1  cos x
Trovare il seguente limite lim
2
x 0
x
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi usiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il
limite.
1  cos x
sin x 0
lim
 lim

2
x 0
x 0 2 x
x
0
• Applichiamo di nuovo la regola di De L’Hôpital.
1  cos x
sin x
cos x 1
lim
 lim
 lim

2
x 0
x 0 2 x
x 0
x
2
2
Esempio 7
4 / 3
x
• Trovare il seguente limite: lim
x   sin(1 / x )
• E’ una forma indeterminata del tipo 0/0.
• Applichiamo quindi la regola di De L’Hôpital per
trovare il limite.
x 4 / 3
(4 / 3) x 7 / 3
(4 / 3) x 1/ 3 0
lim
 lim
 lim
 0
2
x  sin(1 / x)
x  (1 / x ) cos(1 / x)
x  cos(1 / x)
1
Forme indeterminate del tipo  / 
• Teorema: Supponiamo che le funzioni f e g sono
funzioni differenziabili su un intervallo aperto che
contiene x = a, eccetto al più il punto x = a, e che
lim f ( x)  
x a
lim g ( x)  
x a
/
/
lim
[
f
(
x
)
/
g
( x)]
• Se esiste il limite
xa
• o se questo limite é   allora
/
f ( x)
f ( x)
lim
 lim /
x a g ( x)
x a g ( x)
Esempio 8
• Trovare il seguente limite:
x
lim x
x   e
• E’ una forma indeterminata.
• Applichiamo la regola di De L’Hôpital.
x
1
1
lim x  lim x 
0
x  e
x  e

Crescita esponenziale
• Come mostra il seguente grafico la funzione
esponenziale ha una crescita più rapida all’ infinito di
ogni potenza di 𝑥.
xn
lim x  0
x   e
ex
lim
 
x   x n
Forme indeterminate del tipo 0  
• Utilizzando la regola di De L’Hôpital possiamo
trasformare la forma indeterminata 0   in
/
Esempio 9
• Valutare il seguente limite:
lim x ln x
x 0
• Si tratta di una forma indeterminata: lim x ln x  0  ()
x 0
• Riscrivendo la funzione come
ln x  
lim

x 0 1 / x

• Applicando la regola di De L’Hôpital
ln x
1/ x
lim
 lim
 lim ( x)  0
2
x 0 1 / x
x 0  1 / x
x 0
Forme indeterminate del tipo   
• Questa forma indeterminata   . può essere
ricondotta alle precedenti, utlizzando qualche artificio
Esempio 10
1
1 

• Trovare il seguente limite
lim  

x 0  x
sin x 
• Genera una forma indeterminata
• Riscriviamo la funzione nella forma   
1 
1
 sin x  x 
lim  
  lim 

x 0  x
sin x  x0  x sin x 
• Ora la forma indeterminata é 0/0, così possiamo
usare la regoal di De L’Hôpital.
cos x  1
0
 sin x  x 
lim 
 
  lim
x 0  x sin x 
x 0 x cos x  sin x
0
 sin x
0
lim
 0
x 0  x sin x  2 cos x
2
Forme indeterminate del tipo

0 ,  ,1
0
0
• Limiti della forma lim f ( x) g ( x ) danno luogo ad altre
forme indeterminate del tipo:

0 ,  ,1
0
0
• Per risolverla introduciamo una variabile dipendente
y  f ( x) g ( x )
Esempio 11
• Mostrare che
lim (1  x)
1/ x
x 0
e

• Questa é una forma indeterminata del tipo 1
la risolviamo con qualche artificio.
così
Esempio 11
• Mostrare che
lim(1  x)
1/ x
x 0
• 1+𝑥
1
𝑥
= 𝑒 ln
1+𝑥
1
𝑥
e
ln(1  x) 1 /(1  x)
1
lim


1
x 0
x
1
1 x
lim ln y  1
x 0
• Questo implica che y  e
per x  0 .
Esercizi
1. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 6𝑥 + 2
[6]
b) 𝑦 = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 7
[4𝑥 − 12]
c) 𝑦 = 𝑥 5 − 3𝑥 3 + 12𝑥 [5𝑥 4 − 9𝑥 2 + 12]
d) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥
e) 𝑦 =
10
𝑥3
f) 𝑦 =
𝑥3
𝑥 2 −1
g) 𝑦 =
𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 −2𝑥+1
[1 +
1
]
𝑥
30
[− 4]
𝑥
𝑥 4 −3𝑥 2
[ 2 2]
𝑥 −1
−4(𝑥 +1)
[
]
3
𝑥 −1
2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 2𝑥 + 1
2
3
b) 𝑦 = 3𝑥 4 + 3
c) 𝑦 = 𝑒 4𝑥+1
d) 𝑦 = 10
e) 𝑦 =
2𝑥 2 −3
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
4
3
2𝑥 + 1
6𝑥 3
3𝑥 4 +3
4𝑥+1
4𝑒
4𝑥(ln 10) 10
4
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
f) 𝑦 = ln 𝑥 + 1
2𝑥
𝑥 2 +1
g) 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥
ln 𝑥
2
1
3
−
2𝑥 2 −3
3. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
2(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
2 cos 2𝑥
c) 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
d) 𝑦 = tan 𝑥 2
e) 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
f) 𝑦 = ln cos 𝑥
g) 𝑦 =
2 +1
𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑒
𝑥2
[2𝑥 cos
h) 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥
+1
𝑥 cos 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
2𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2
cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
− tan 𝑥
2 +1
𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑒
]
[𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)]
4. Calcolare l’ equazione della retta tangente
alla funzione di equazione 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 +
2 nel punto 0. [3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0]
5. Calcolare l’ equazione della retta tangente
alla funzione di equazione 𝑦 = 𝑥 4 − 𝑥 2 nel
punto 1.
[𝑦 = 2𝑥 − 2]
6. Calcolare l’ equazione della retta tangente
alla funzione di equazione 𝑦 = 𝑥 − 1 nel
𝑥
punto 2.
[𝑦 = ]
2
7. Calcolare i seguenti limiti applicando la
regola di De L’Hôpital:
a) .
b) .
x2  4
lim
x 2 x  2
[4]
x
1 x 1
2
lim
x 0
x2
c) . lim  x sin 1 


x 
x

d)

1 
 1
lim 


x 1 ln x
x 1 

[-1/8]
[1]
[1/2]
sin 2 x
lim
x 0
x
i)
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −2
lim
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
j)
3𝑥
lim+
𝑥→1 𝑥−1
−
1
ln 𝑥
k) lim (3𝑥 − 5)
𝑥→2
1
𝑥−2
1
+∞
𝑒3
Svolgimento esercizi
• 1c) 𝑦 = 𝑥 5 − 3𝑥 3 + 12𝑥 [5𝑥 4 − 9𝑥 2 +
12]
• 𝑦 ′ = 5𝑥 4 − 3 3 𝑥 2 + 12
• 𝑦 ′ = 5𝑥 4 − 9 𝑥 2 + 12
• 1 e) 𝑦 =
′
• 𝑦 =
10
𝑥3
3 𝑥2
−10 6
𝑥
30
[− 4]
𝑥
=
30
− 4
𝑥
Svolgimento esercizi
• 1e) bis 𝑦 = 10 𝑥 −3
′
• 𝑦 = 10 −3 𝑥
• 1𝑔) 𝑦 =
• 𝑦′ =
•=
−3−1
𝑥3
𝑥 2 −1
=
𝑥 4 −3𝑥 2
[ 2 2]
𝑥 −1
3𝑥 2 𝑥 2 −1 −2𝑥(𝑥 3 )
𝑥 4 −3 𝑥 2
𝑥 2 −1 2
𝑥 2 −1 2
30
− 4
𝑥
=
3𝑥 4 −3 𝑥 2 −2 𝑥 4
𝑥 2 −1 2
=
Svolgimento esercizi
a) 2b) 𝑦 = 3𝑥 4 + 3
• 𝑦′ =
12 𝑥 3
2
3𝑥 4 +3
=
• In generale vale
• 𝑦=
𝑓(𝑥)
• 𝑦′ =
𝑓′ (𝑥)
2 𝑓(𝑥)
6 𝑥3
3𝑥 4 +3
6𝑥 3
3𝑥 4 +3
Svolgimento esercizi
• 2 e) 𝑦 =
• 𝑦′ =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 ′ 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −(𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )(𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 )′
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
• 𝑦′ =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 (−1)
• =
4
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −(𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )(𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 (−1))
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −(𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )(𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
Svolgimento esercizi
• 2 e)
• 𝑦′ =
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −(𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )(𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
• 𝑦′ =
𝑒 2𝑥 +1+1+𝑒 −2𝑥 −(𝑒 2𝑥 −1−1+𝑒 −2𝑥 )
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
• 𝑦′ =
𝑒 2𝑥 +2+𝑒 −2𝑥 −(𝑒 2𝑥 −2+𝑒 −2𝑥 )
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
′
•𝑦 =
𝑒 2𝑥 +2+𝑒 −2𝑥 −𝑒 2𝑥 +2−𝑒 −2𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
=
4
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2