Programma Istituzioni di Matematica 2011-12

Corso di Laurea in Chimica
Laurea di 1° Livello (triennale)
Università degli Studi di Cagliari
Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica 1
CFU
8
SSD
MAT/07
Docente
Maria Cristina Carrisi
E-mail
[email protected]
Sito web
people.unica.it/carrisi
Orario di ricevimento
Martedì dalle 11:00 alle 13:00 in aula alfa.
Al termine delle lezioni il ricevimento si svolgerà negli stessi giorni ed
orari nell’ufficio della docente al palazzo delle scienze.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: Il corso si propone di fornire conoscenze sui metodi dell’analisi matematica. In particolare si vuole
che, al termine del corso, gli studenti siano in grado di studiare una qualunque funzione reale di una variabile
reale e di disegnarne il grafico, che sappiano risolvere semplici integrali di funzioni in una variabile, usando i
metodi e gli strumenti appresi a lezione. Inoltre si vuole che gli allievi comprendano quali obiettivi si possono
perseguire con ognuno degli strumenti matematici di cui entreranno in possesso.
Competenze: Gli alunni impareranno ad applicare i metodi generali ai casi concreti che di volta in volta si
presenteranno.
Abilità: Si vuole che gli allievi raggiungano una certa autonomia di giudizio che consenta loro di scegliere, di volta
in volta, la strategia risolutiva più adatta al tipo di problema che si sta affrontando. Essi dovranno essere in grado
di esporre, oralmente e per iscritto, le proprie conoscenze in modo corretto e comprensibile.
Comportamenti: Ogni studente dovrà seguire le lezioni frontali e rivedere a casa gli argomenti svolti a lezione in
modo da fugare subito eventuali dubbi. Egli dovrà svolgere un congruo numero di esercizi, rinvenibili nei testi
consigliati o messi a disposizione dalla docente, in modo da avere un costante feedback sul proprio processo di
apprendimento. Dovrà partecipare alle lezioni di tutorato, che verteranno su temi indicati dalla docente e
consisteranno in approfondimenti, chiarimenti ed esercizi sugli argomenti svolti durante le lezioni teoriche. Prima
della prova orale lo studente dovrà esercitarsi a ripetere ad alta voce, in modo da sviluppare le proprie capacità
espressive.
Prerequisiti
Costituiscono prerequisito per il presente corso gli argomenti del test di ammissione. In particolare è necessario
conoscere l’aritmetica e l’algebra elementare, la geometria piana (in particolare gli enti fondamentali e le loro
relazioni reciproche, i principali teoremi sui triangoli) ed i fondamenti della geometria analitica. E’ necessario
saper operare con i numeri e le lettere, con le frazioni, le potenze e le radici, saper scomporre in fattori numeri e
polinomi, saper risolvere equazioni e disequazioni di primo e secondo grado in una variabile, sistemi di equazioni
in due variabili e di disequazioni in una variabile. Lo studente deve essere in grado di rappresentare punti e rette
sul piano cartesiano, deve saper calcolare la distanza tra due punti, trovare l’equazione di una retta e descrivere le
posizioni reciproche di due rette.
Programma
Il corso si svolge nel primo semestre e consiste di 64 ore di lezioni frontali ed esercitazioni.
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Cenni di logica proposizionale e degli enunciati.
Proposizioni. Principi di non contraddizione e del terzo escluso. Principali connettivi logici e loro tavole di verità
(  ,  ,  e  ). Proposizioni aperte e quantificatori. Principali metodi deduttivi (modus ponens e
dimostrazione per assurdo).
Cenni di teoria degli insiemi.
Definizione di insieme e di elemento. Rappresentazione degli insiemi (grafica, per elencazione e per proprietà).
Operazioni tra insiemi ( ,
, differenza e complementazione) e loro proprietà. Affinità tra le operazioni
logiche ed insiemistiche. L’insieme vuoto. Insiemi uguali. Sottoinsiemi. Dimostrazione che per ogni insieme A
vale A  A e   A . L’insieme delle parti. Prodotto cartesiano. Definizione di funzione e rappresentazioni.
Dominio, codominio e immagine. Grafico di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e bigettive. Funzione inversa.
Funzioni composte.
Trigonometria.
Definizione di radiante. Conversione da gradi sessagesimali a radianti e viceversa. Definizione di sen x, cos x e tg
x e costruzione dei loro grafici. Rappresentazione delle funzioni goniometriche nella circonferenza goniometrica.
Relazioni fondamentali. Determinazione di sen x, cos x e tg x per gli archi fondamentali in tutti i quadranti
(dimostrazione per gli angoli di 45° e 30°). Archi complementari, supplementari ed esplementari. Archi che
differiscono per 90° e 180°. Funzioni goniometriche inverse (arcoseno, arcocoseno e arcotangente) e loro grafici.
Semplici equazioni e disequazioni goniometriche.
Insiemi numerici.
Numeri naturali, interi, razionali. Motivazioni che conducono all’estensione di un insieme numerico. Proprietà
delle operazioni aritmetiche in ciascuno dei precedenti insiemi.
Potenze con base ed esponente naturale e loro proprietà (dimostrazione). Dimostrazione del perché
a0  1, a 
1
. Potenze con esponente negativo (dimostrazione del perché a 
1
) e razionale.
a
Esistenza dei numeri irrazionali (costruzione del numero 0, an , dove an è una sequenza di n zeri seguiti da un
uno con n=1,2,…). Dimostrazione che
2
.
I numeri reali: Assiomi relativi alle operazioni, all’ordinamento e assioma di completezza. Dimostrazione della
regola dei segni, della legge di annullamento del prodotto, della semplificazione rispetto alla somma e al prodotto.
Potenze con esponente reale.
I numeri complessi: Esigenza di introdurre un nuovo insieme numerico per risolvere le equazioni di secondo
grado con discriminante <0 (ex. x 2  1 ). L’unità immaginaria, i numeri immaginari ed i numeri complessi.
Estrazione di radici di numeri negativi. Soluzione di equazioni di secondo grado. Numeri complessi in forma
polinomiale. Definizione di numeri complessi opposti, uguali e coniugati. Operazioni tra i numeri complessi.
Rappresentazione dei numeri complessi nel piano di Gauss. Dimostrazione che l’insieme dei numeri complessi
non è ordinato.
Forma trigonometrica ed esponenziale (formula di Eulero) dei numeri complessi, operazioni. Formula di Moivre
ed estrazione della radice ennesima di un numero complesso. Dimostrazione che le radici n-esime formano un
poligono regolare di n lati.
Esponenziali e Logaritmi
Definizione delle funzioni esponenziale e logaritmica. Relazioni tra le due funzioni e loro grafici. Logaritmi
immediati. Proprietà dei logaritmi (con dimostrazione). Semplici equazioni e disequazioni esponenziali e
logaritmiche.
Analisi reale
Funzioni reali di una variabile reale. Definizione e insieme di esistenza. Grafico di una funzione. Funzione
lineare, funzione potenza, funzione esponenziale. Funzioni pari e dispari. Funzioni simmetriche rispetto
all’origine. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzione inversa. Grafico della funzione inversa noto
quello della funzione diretta (in particolare il grafico del logaritmo noto quello dell’esponenziale e delle inverse
delle funzioni goniometriche). Funzioni monotone in tutto il dominio ed in un intervallo.
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Limiti di funzione
Definizione di limite e sua interpretazione geometrica. Limite destro e sinistro. Teoremi e algebra dei limiti.
Forme indeterminate e metodi per risolverle. Infiniti ed infinitesimi. Confronto tra infiniti e confronto tra
infinitesimi, applicazione alla risoluzione di forme indeterminate. Limiti notevoli.
Applicazione dei limiti allo studio di funzione: Funzioni continue in un punto ed in un intervallo. Principali
funzioni continue. Tipi di discontinuità. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
Derivate
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Determinazione della derivata di una costante, di y=x, di
y=xn e di sen x, applicando la definizione. Tabella delle derivate fondamentali. Regole di derivazione della
somma, del prodotto e del quoziente. Derivata di una funzione composta e dell’inversa di una funzione. Derivate
di ordine superiore al primo.
Equazione della retta tangente in un punto al grafico di una funzione.
Differenziale di una funzione, significato geometrico e applicazione al calcolo di un valore approssimato.
Definizione di funzione crescente o decrescente in un intervallo e in un punto. Definizione di punto di massimo
e minimo relativo e di massimo e minimo assoluto. Test della crescenza attraverso l’uso delle derivate prime.
Concavità, convessità e punti di flesso di una funzione. Test della concavità mediante la derivata seconda.
Teorema di De l’Hospital e suo utilizzo per la risoluzione di forme indeterminate.
Studio del grafico di una funzione.
Formula di Taylor e di Mc Laurin e dimostrazione della formula di Eulero.
Integrali
La funzione primitiva. Integrale indefinito e sue proprietà. Integrali immediati. Integrazione per decomposizione,
in particolare di funzioni razionali. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrale definito: significato
geometrico e proprietà. Teorema della media. Teorema di Torricelli – Barrow e formula fondamentale del calcolo
integrale.
Uso dell’integrale per il calcolo dell’area di domini piani.
Equazioni differenziali  da confermare
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Teorema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie a
variabili separate. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali del secondo ordine a
coefficienti costanti.
Vettori
Generalità, norma di un vettore e normalizzazione di un vettore.
Operazioni con i vettori: addizione, moltiplicazione per uno scalare, prodotto scalare di due vettori e prodotto
vettoriale. Angolo tra due vettori.
Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Vettori dipendenti da un parametro.
Matrici e sistemi lineari
Generalità, trasposizione, matrici simmetriche, diagonali e triangolari. Matrice identica. Operazioni con le matrici:
addizione, moltiplicazione per uno scalare, moltiplicazione tra matrici righe per colonne.
Determinanti e loro proprietà, complementi algebrici, minori, rango di una matrice. Matrici invertibili e inversa di
una matrice.
Sistemi lineari: sistemi normali e non normali, sistemi omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer.
Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Gauss-Jordan. Discussione e risoluzione di sistemi omogenei e non
omogenei.
Testi consigliati
Teoria
Elementi di Calcolo, P.Marcellini-C.Sbordone, Liguori editore, oppure Matematica-Calcolo infinitesimale e
algebra lineare, seconda edizione, M. Bramanti-C.D. Pagani-S.Salsa, Zanichelli.
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Esercizi
Esercizi di matematica Vol.1 tomi 1, 2, 3, 4 e Vol.2 tomo 2, P.Marcellini-C.Sbordone, Liguori editore.
Esercizi di Matematica Vol. 1 e 2, S. Salsa-A. Squellati, Zanichelli.
Esercizi di Geometria (solo Cap. 1, 2 e 3), A. Sanini, Editrice Levrotto & Bella.
Modalità di verifica:
X
X
X
NO
Prove di verifica intermedie
Esame scritto
Esame orale
Prova di laboratorio
Descrizione: Per poter sostenere l’esame orale è necessario aver sostenuto e superato entrambe le prove
intermedie, che si svolgeranno durante il corso, o l’esame scritto. L’intero programma del corso è oggetto sia
delle prove scritte che dell’esame orale. Il colloquio serve a valutare le competenze nella materia ed inoltre le
capacità di analisi e sintesi dello studente e le sue capacità espressive. Le prove si superano conseguendo una
votazione superiore o uguale a 18. Fa eccezione solo il primo parziale che si supera con votazione superiore o
uguale a 16. Il voto finale è determinato dalla media dei voti delle prove scritta ed orale.
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