Università degli Studi di Cagliari

Università degli Studi di Cagliari
Corso di Laurea triennale in Chimica
Insegnamento:
Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica I
CFU 8
Modulo I:
Istituzioni di Matematica I
CFU 5
Docente
Carrisi Maria Cristina
E-mail
[email protected]
Orario di ricevimento
Ogni martedì dalle 11:00 alle 13:00 in aula alfa.
Per altri giorni ed orari occorre prenotarsi
mandando una mail.
Modulo II:
Esercitazioni di Matematica I
Docente
Pennisi Sebastiano
E-mail
[email protected]
Orario di ricevimento
Ogni giovedì dalle 9:00 alle 11.00 al palazzo
CFU 3
delle Scienze
Prerequisiti
Costituiscono prerequisito per il presente corso gli argomenti del test di ammissione. In particolare è
necessario conoscere l’aritmetica e l’algebra elementare, la geometria piana (in particolare gli enti
fondamentali e le loro relazioni reciproche, i principali teoremi sui triangoli e sulla circonferenza) ed i
fondamenti della geometria analitica. E’ necessario saper operare con i numeri e le lettere, con le
frazioni, le potenze e le radici, saper scomporre in fattori numeri e polinomi, saper risolvere equazioni e
disequazioni di primo e secondo grado in una variabile, sistemi di equazioni in due variabili e di
disequazioni in una variabile. Lo studente deve essere in grado di rappresentare punti e rette sul piano
cartesiano, deve saper calcolare la distanza tra due punti, trovare l’equazione di una retta e descrivere le
posizioni reciproche di due rette.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: Il corso si propone di fornire conoscenze sui metodi dell’analisi matematica. In particolare
si vuole che, al termine del corso, gli studenti siano in grado di studiare una qualunque funzione reale di
una variabile reale, disegnandone anche il grafico, e sappiano risolvere semplici integrali di funzioni in
una variabile, usando i metodi e gli strumenti appresi a lezione. Inoltre si vuole che gli allievi
comprendano quali obiettivi si possono perseguire con ognuno degli strumenti matematici di cui
entreranno in possesso.
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Competenze: Gli alunni impareranno ad applicare i metodi generali ai casi concreti che di volta in volta
si presenteranno.
Abilità: Si vuole che gli allievi raggiungano una certa autonomia di giudizio che consenta loro di
scegliere, di volta in volta, la strategia risolutiva più adatta al tipo di problema che si sta affrontando.
Essi dovranno essere in grado di esporre, oralmente e per iscritto, le proprie conoscenze in modo
corretto e comprensibile.
Comportamenti: Ogni studente dovrà seguire le lezioni frontali e rivedere a casa gli argomenti svolti a
lezione in modo da fugare subito eventuali dubbi. Egli dovrà svolgere un congruo numero di esercizi,
rinvenibili nei testi consigliati o messi a disposizione dai docenti, in modo da avere un costante
feedback sul proprio processo di apprendimento. Dovrà partecipare alle lezioni di tutorato, che
verteranno su temi indicati dai docenti del corso e consisteranno in approfondimenti, chiarimenti ed
esercizi sugli argomenti svolti durante le lezioni teoriche. Prima della prova orale lo studente dovrà
esercitarsi a ripetere ad alta voce, in modo da sviluppare le proprie capacità espressive.
Programma
Il corso ha 8 crediti, si svolge nel I semestre e comprende 64 ore di lezioni frontali. E’ suddiviso in due
moduli: il modulo di istituzioni di Matematica (5 CFU) ed il modulo di esercitazioni (3 CFU), ma
l’esame è unico.
Modulo di istituzioni di Matematica I
Cenni di logica preposizionale.
Proposizioni. Principi di non contraddizione e del terzo escluso. Principali connettivi logici e loro
tavole di verità (  ,  ,  e  ). Proposizioni aperte e quantificatori. Principali metodi deduttivi
(modus ponens e dimostrazione per assurdo).
Cenni di teoria degli insiemi.
Definizione di insieme e di elemento. Rappresentazione degli insiemi (grafica, per elencazione e per
proprietà). Operazioni tra insiemi ( , , differenza e complementazione) e loro proprietà. Affinità tra
le operazioni logiche ed insiemistiche. L’insieme vuoto. Insiemi uguali. Sottoinsiemi. Dimostrazione
che per ogni insieme A vale A  A e   A . L’insieme delle parti. Intervalli e intorni. Definizione di
funzione e rappresentazioni. Dominio, codominio e immagine. Grafico di funzione. Funzioni iniettive,
suriettive e bigettive. Funzione inversa.
Trigonometria.
Definizione di radiante. Conversione da gradi sessagesimali a radianti e viceversa. Definizione di sen x,
cos x e tg x e costruzione dei loro grafici. Rappresentazione delle funzioni goniometriche nella
circonferenza goniometrica. Relazioni fondamentali. Determinazione di sen x, cos x e tg x per gli archi
fondamentali in tutti i quadranti (dimostrazione per gli angoli di 45° e 30°). Archi complementari,
supplementari ed esplementari. Archi che differiscono per 90°, 180° e 360°. Funzioni goniometriche
inverse (arcoseno, arcocoseno e arcotangente) e loro grafici. Semplici equazioni e disequazioni
goniometriche.
Insiemi numerici.
Numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi. Motivazioni che conducono all’estensione di un
insieme numerico.
Proprietà delle operazioni aritmetiche in ciascuno dei precedenti insiemi.
Potenze con base ed esponente naturale e loro proprietà (dimostrazione). Dimostrazione del perché
a0  1, a 
. Potenze con esponente negativo (dimostrazione del perché a 1 
1
) e razionale.
a
Esistenza dei numeri irrazionali (costruzione del numero 0, an , dove an è una sequenza di n zeri
seguiti da un uno con n=1,2,…). Dimostrazione che
2
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.
I numeri reali: Assiomi relativi alle operazioni, all’ordinamento e assioma di completezza.
Dimostrazione della regola dei segni, della legge di annullamento del prodotto, della semplificazione
rispetto alla somma e al prodotto. Potenze con esponente reale.
I numeri complessi: Esigenza di introdurre un nuovo insieme numerico per risolvere le equazioni di
secondo grado con discriminante <0 (ex. x 2  1 ). L’unità immaginaria, i numeri immaginari ed i
numeri complessi. Estrazione di radici di numeri negativi. Soluzione di equazioni di secondo grado.
Numeri complessi in forma polinomiale. Definizione di numeri complessi opposti, uguali e coniugati.
Operazioni tra i numeri complessi. Rappresentazione dei numeri complessi nel piano di Gauss.
Dimostrazione che l’insieme dei numeri complessi non è ordinato.
Forma trigonometrica ed esponenziale (formula di Eulero) dei numeri complessi, operazioni. Formula
di Moivre ed estrazione della radice ennesima di un numero complesso. Dimostrazione che le radici nesime formano un poligono regolare di n lati.
Esponenziali e Logaritmi
Definizione delle funzioni esponenziale e logaritmica. Relazioni tra le due funzioni e loro grafici.
Logaritmi immediati. Proprietà dei logaritmi (con dimostrazione). Semplici equazioni e disequazioni
esponenziali e logaritmiche.
Analisi reale
Funzioni reali di una variabile reale. Definizione e insieme di esistenza. Grafico di una funzione.
Funzione lineare, funzione potenza, funzione esponenziale. Funzioni pari e dispari. Funzioni
simmetriche rispetto all’origine. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzione inversa. Grafico
della funzione inversa noto quello della funzione diretta (in particolare il grafico del logaritmo noto
quello dell’esponenziale e delle inverse delle funzioni goniometriche). Funzioni monotone in tutto il
dominio ed in un intervallo.
Limiti di funzione
Definizione di limite e sua interpretazione geometrica. Limite destro e sinistro. Teoremi e algebra dei
limiti. Forme indeterminate e metodi per risolverle. Infiniti ed infinitesimi. Confronto tra infiniti e
confronto tra infinitesimi, applicazione alla risoluzione di forme indeterminate. Limiti notevoli.
Applicazione dei limiti allo studio di funzione: Funzioni continue in un punto ed in un intervallo.
Principali funzioni continue. Tipi di discontinuità. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
Derivate
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Determinazione della derivata di una costante, di
y=x, di y=xn e di sen x, applicando la definizione. Tabella delle derivate fondamentali. Regole di
derivazione della somma, del prodotto e del quoziente. Derivata di una funzione composta e
dell’inversa di una funzione. Derivate di ordine superiore al primo.
Equazione della retta tangente in un punto al grafico di una funzione.
Differenziale di una funzione, significato geometrico e applicazione al calcolo di un valore
approssimato.
Definizione di funzione crescente o decrescente in un intervallo e in un punto. Definizione di punto di
massimo e minimo relativo e di massimo e minimo assoluto. Test della crescenza attraverso l’uso delle
derivate prime (Teoremi I e II).
Concavità, convessità e punti di flesso di una funzione. Test della concavità mediante la derivata II.
Teorema di De l’Hospital e suo utilizzo per la risoluzione di forme indeterminate.
Studio del grafico di una funzione.
Formula di Taylor e di Mc Laurin e dimostrazione della formula di Eulero.
Integrali
La funzione primitiva. Integrale indefinito e sue proprietà. Integrali immediati. Integrazione per
decomposizione, in particolare di funzioni razionali. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrale
definito: significato geometrico e proprietà. Teorema della media. Teorema di Torricelli – Barrow e
formula fondamentale del calcolo integrale.
Uso dell’integrale per il calcolo dell’area di domini piani (da definire).
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Modulo di esercitazioni di Matematica I
Matrici e sistemi lineari. Generalità, trasposizione, matrici simmetriche, diagonali e triangolari. Matrice
identica. Operazioni con le matrici: addizione, moltiplicazione per uno scalare, moltiplicazione tra
matrici righe per colonne.
Determinanti e loro proprietà, complementi algebrici, minori, rango di una matrice. Matrici invertibili e
inversa di una matrice .
Sistemi lineari: sistemi normali e non normali, sistemi non omogenei. Teorema e regola di Cramer.
Teorema di Rouché e di Capelli. Sistemi omogenei e autosoluzioni .
Studio e risoluzione di sistemi omogenei e non omogenei.
Vettori, norma di un vettore e normalizzazione di un vettore.
Operazioni con i vettori: addizione, moltiplicazione per uno scalare, prodotto scalare di due vettori e
prodotto vettoriale.
Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Vettori dipendenti da un parametro.
Testo adottato
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE, Salvatore Serra, Pitagora Editrice Bologna.
Per approfondimenti sull’algebra lineare, logaritmi e numeri complessi si possono usare le dispense della
prof. Buttu, depositate presso la biblioteca della cittadella e nella copisteria One Way (accanto all’aula
alfa). Eventuale materiale aggiuntivo verrà depositato presso la copisteria One Way.
Modalità di verifica:
2
1
1
NO
Prove di verifica intermedie scritte
Prova scritta per chi non ha sostenuto o non ha
superato le prove intermedie
Prova orale
Prova di laboratorio
Descrizione: Per poter sostenere l’esame orale è necessario aver sostenuto e superato entrambe le
prove intermedie o l’esame scritto. L’intero programma del corso è oggetto sia delle prove scritte che
dell’esame orale. Il colloquio serve a valutare le competenze nella materia ed inoltre le capacità di analisi
e sintesi dello studente e le sue capacità espressive.
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