AM1-diario(2009-10)Programma d`esame aggiornato al 28-01

INGEGNERIA AEROSPAZIALE
A.A.2009/2010
CANALE L–Z
0.5 setgray0 0.5 setgray1
Analisi Matematica 1
7 ottobre 2009
2 ore
DIARIO DELLE LEZIONI
Radici ennesime dell’unità. Dimostrazione della formula per
il calcolo delle radici complesse. Soluzioni complesse di un’equazione di 2◦ grado. Teorema fondamentale dell’algebra.
Polinomi a coeﬃcienti reali. C non è un campo ordinato.
Ordinamento lessicograﬁco, ordinamento a spirale.
Esercizi svolti: z̄z 2 − Rez 2 + z Imz = 0; z 3 + |z|2 = 0.
Prof. Dario Salvitti
2 ore
28 settembre 2009
Presentazione del corso. Insiemistica e notazioni della logica
matematica. Operazioni tra insiemi e loro proprietà.
Bibliografia: [1] §§1.3.1; appunti.
Bibliografia: [1] Introduzione.
8 ottobre 2009
2 ore
30 settembre 2009
2 ore
Fattorizzazione in R di un polinomio a coeﬃcienti reali.
Equazione complessa della circonferenza. Signiﬁcato di z 0
negli ordinamenti lessicograﬁco o a spirale.
Generalità sulle funzioni. Le funzioni iniettive, suriettive,
biunivoche. La funzione inversa.
Esercizi svolti: fattorizzazione di z 3 − 1. |z̄ + 6/z| = 5.
Esercizi assegnati: fattorizzazione di z 3 + 8, z 2 + 4, z 4 + 6.
Insiemi numerici N, Z, Q. Operazioni binarie. Ordinamenti
totali. Proprietà di Archimede. Q è un campo ordinato
archimedeo. Allineamenti decimali (cenni). L’insieme R dei
numeri
reali.
√
2 ∈ Q. Intervalli limitati o illimitati. Maggioranti e minoranti di un insieme non vuoto A ⊆ R. Massimi e minimi. Deﬁnizione di estremo superiore e di estremo inferiore.
Esempi: (0, 1), (0, 1], {1/n | n ∈ N, n 1}.
Bibliografia: [1] §§1.3.1; appunti.
Bibliografia: [1] §§1.1; 1.2; 1.2.1
9 ottobre 2009
1 ora
Restrizione di una funzione. Composizione di applicazioni e
sue proprietà. Inverse a sinistra, inverse a destra. Condizioni
Proprietà di densità di Q e di R. Allineamenti decimali equivalenti per l’iniettività o per la suriettività.
propri. Dimostrazione dell’identità p, α1 . . . αn−1 αn 9̄ = Esercizio assegnato:
p, α1 . . . αn−1 (αn +1). Unicità del massimo e del minimo. Un
x/2
se x è pari
f : N → N, f (x) :=
insieme non vuoto ﬁnito A ⊆ R ammette massimo e minix+1
se x è dispari
2
mo. Caratterizzazione di sup e inf . Sup e inf dell’unione di
due o più insiemi. Sup ∅, inf ∅.
1 Bibliografia: [1] §§2.1; 2.4; appunti.
Esercizio svolto: n, −
n ∈ N, n 1 .
n1+ 1 n + 1 3n Esercizi assegnati: − , −
,−
n ∈ N, n 1 ;
12 ottobre 2009
2 ore
n
n
2
{0, α1 α2 . . . αn . . . | αi = 0 oppure 1}.
Inclusioni X ⊂ f −1 (f (X)), Y ⊃ f (f −1 (Y )). Proprietà del
Bibliografia: [1] §§1.1; 1.2; 1.2.1
prodotto operatorio. Invertibilità nel caso di insiemi ﬁniti.
La funzione parte intera [x]. Se g ◦ f è biunivoca, allora f
2 ottobre 2009
1 ora
è iniettiva e g è suriettiva. Il graﬁco ed il dominio di una
funzione f : R → R. Le potenze ab , b ∈ R. La funzione
L’insieme C dei numeri complessi. Rappresentazione vetto- potenza f (x) = xn , n ∈ N.
riale e interpretazione graﬁca delle operazioni di addizione
Esercizio assegnato:
e di moltiplicazione. Inverso, complesso coniugato, modulo,
x+3
se 3 divide x
argomento di un numero complesso. Forma trigonometrica.
f : Z → Z, f (x) :=
1 ottobre 2009
2 ore
x
se 3 non divide x
Bibliografia: [1] §§1.3
5 ottobre 2009
Bibliografia: [1] §§2.4; 3.1.1; appunti.
2 ore
14 ottobre 2009
Proprietà della coniugazione
complessa. Formule per il cal
z1
z1 colo di |z1 z2 |, , arg z1z2 , arg . Formula di De Moivre.
z2
z2
Metodo di derivazione delle formule di duplicazione e triplicazione degli archi. La rappresentazione esponenziale.
Radici complesse e loro rappresentazione graﬁca.
2 ore
Traduzione graﬁca dei concetti di dominio, immagine,
iniettività, suriettività. Funzioni pari, dispari e relative simmetrie del graﬁco. Costruzione della funzione inversa. Le
funzioni f (x) = x1/n , n ∈ N. La funzione esponenziale
f (x) = ax nei casi 0 < a < 1, a > 1. La funzione logaritmo f (x) = loga x nei casi 0 < a < 1, a > 1. Proprietà dei
logaritmi.
Bibliografia: [1] §§1.3; 1.3.1
1
Bibliografia: [1] §§2.1; 2.5; 3.1; 3.1.2
15 ottobre 2009
zioni irrazionali. Esistenza del limite per funzioni monotone
e sue conseguenze: limiti di funzioni potenze, esponenziali,
logaritmi, goniometriche.
2 ore
Bibliografia: [1] §§ 4.3
La funzione f (x) = x−n , n ∈ N, n 1. Il valore assoluto.
La disuguaglianza triangolare. Dimostrazione della disug28 ottobre 2009
2 ore
uaglianza ||x| − |y|| |x − y|. Le funzioni goniometriche
seno, coseno, tangente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
Limite di funzioni composte e cambiamento di variDeterminazione del dominio di una funzione.
abile. Forme indeterminate 00 , 1∞ , ∞0 . La forma 0∞
non è una forma indeterminata. Forme indeterminate
Bibliografia: [1] §§2.1; 2.5.1;
log1 1, log0 0 log∞ ∞ log0 ∞, log∞ 0.
16 ottobre 2009
sinx
arcsinx
e sue conseguenze lim
,
x→0
x
x
tg x
arctg x
1 − cosx
1
= .
lim
, lim
, lim
x→0 x
x→0
x→0
x
x2
2
Il limite notevole lim
1 ora
x→0
Graﬁci delle funzioni parte intera f (x) = [x] e mantissa
f (x) = x − [x]. Dal graﬁco della funzione y = f (x) al graﬁco Esercizio riepilogativo svolto:
√
delle funzioni f (x − a), f (x) + b, f (µx), νf (x), f (|x|), |f (x)|.
1 − cos(x arctg ( x − 1))
lim
sin x arcsin x
x→0+
Bibliografia: [1] §§ 3.1; 3.2
19 ottobre 2009
Bibliografia: [1] §§ 4.3; 4.4
3 ore
Dal graﬁco della funzione y = f (x) al graﬁco delle funzioni
f (x), [f (x)]2 . Risoluzione graﬁca delle disequazioni.
Funzioni crescenti, decrescenti, monotone. La monotonia stretta implica l’invertibilità. Somma e composizione
di funzioni (strettamente) monotone sono (strettamente)
monotone.
La distanza euclidea. Intorni sferici di un punto. Famiglie di
intorni e sue proprietà. R come spazio metrico e come spazio
topologico. Proprietà di separazione. Insiemi limitati nella
metrica euclidea.
Massimi e minimi locali (forti) di una funzione. Ampliamento di R. Intorni di {+∞} e di {−∞}. Punti di
accumulazione.
1 ora
30 ottobre 2009
Gerarchie di inﬁniti e inﬁnitesimi.
esponenziali e logaritmi.
Bibliografia: [1] §§ 4.4
2 novembre 2009
3 ore
Successioni convergenti, divergenti, irregolari. Teoremi della permanenza del segno e del confronto. Una succesione
convergente è limitata. Limiti di successioni deﬁnitivamente
monotòne. Limite di an , a ∈ R. Gerarchie di inﬁniti. Il
fattoriale.
Bibliografia: [1] §§ 3.2; 3.3; 4.1
lim
n→+∞
an
= 0.
n!
lim
n→+∞
n!
= 0.
nn
Il numero e. Limiti notevoli
21 ottobre 2009
Limiti con potenze,
1
= 1,
lim n log 1 +
n
n→+∞
lim n e1/n − 1 = 1. Formula di Stirling.
2 ore
n→+∞
Sottosuccessioni. Una successione ammette limite l ∈ R∗
se e solo se qualunque sua sottosuccessione ha limite l. Una
successione in R limitata ammette una sottosuccessione convergente. Successioni di Cauchy. Una successione in R è
convergente se e solo se è di Cauchy.
Punti isolati. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Proprietà
valide deﬁnitivamente. Deﬁnizione topologica di limite e sua
traduzione metrica nei singoli casi. Veriﬁca del limite di una
funzione. Unicità del limite. Limiti destro e sinistro.
Bibliografia: [1] §§ 4.1; 4.2
22 ottobre 2009
Bibliografia: [1] §§ 5.1; 5.2; 5.3; 5.4
2 ore
4 novembre 2009
Una funzione convergente è deﬁnitivamente limitata. Teorema della permanenza del segno. Algebra dei limiti e prime
applicazioni alle funzioni razionali. Teorema del confronto e
sue applicazioni al caso di rapporto tra una funzione limitata
ed una divergente. Limite di polinomi.
La derivata.
Signiﬁcato geometrico e limite del rapporto incrementale. Le derivate delle funzioni elementari xα , ex , ln x, sin x, cos x, tgx, f (x)g(x) . Operazioni con le
derivate. Derivata di funzioni composte e della funzione
inversa.
Teorema ponte. Generalizzazione di alcuni limiti notevoli di
successioni.
Bibliografia: [1] §§ 4.3
26 ottobre 2009
3 ore
3 ore
Bibliografia: [1] §§ 6.3; 8.1, 8.3; 8.4
0 ∞
. Estensione delForme indeterminate ∞ − ∞, 0 · ∞, ,
0 ∞
l’algebra dei limiti. Limiti di funzioni razionali e di fun2
2 ore
5 novembre 2009
13 novembre 2009
log(1 + x)
1 x
= e, lim (1 + x)1/x = e, lim
=
x→±∞
x→0
x→0
x
x
α
x
x
(1 + x) − 1
e −1
a −1
= 1, lim
= ln a, lim
= α.
1, lim
x→0
x→0
x→0
x
x
x
Limiti lim
Equivalenza asintotica ∼ di inﬁnitesimi e di inﬁniti. Funzioni
tghx, settsinhx, settcoshx.
Funzioni continue (continue da destra, da sinistra). Algebra
delle funzioni continue. Composizione di funzioni continue.
Classiﬁcazione dei punti di discontinuità.
1+
Generalizzazione al caso di successioni x = an → 0.
Prima regola di Cesaro.
Esercizio svolto: dimostrare che esiste ﬁnito il seguente limite
Bibliografia: [1] §§ 6.2; 7.1; 7.2
1
1
1 +
+ ··· +
n+1 n+2
2n
lim
n→+∞
3 ore
16 novembre 2009
3 ore
Discontinuità di una funzione monotòna su un intervallo.
Teoremi sulle funzioni continue: della permanenza del segno;
dell’esistenza degli zeri; dei valori intermedi. Ricerca delle
soluzioni di un’equazione e metodo graﬁco. Una funzione
9 novembre 2009
3 ore
continua e invertibile su un intervallo è ivi monotòna stretta.
Seconda regola di Cesaro. Teoremi delle medie aritmetiche e Una funzione invertibile e continua su un intervallo ammette
βn
βn
geometriche. lim n βn = lim
. Se lim
< 1, inversa continua. Teorema di Weierstrass.
Bibliografia: [1] §§ 6.2; appunti.
n→+∞
allora
n→+∞
lim βn = 0.
βn−1
n→+∞
βn−1
Bibliografia: [1] §§ 7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.5
n→+∞
Gerarchia degli inﬁniti come conseguenza delle regole di
1 bn
Cesaro. lim 1 +
= elimn→+∞ bn /an .
18 novembre 2009
an
n→+∞
Alcuni degli esercizi svolti:
Funzioni lipschitziane. Funzioni uniformemente continue.
La lipschitzianità implica l’uniforme continuità, ma non vale
il viceversa. Teorema di Heine-Cantor. Dimostrazione del
teorema di esistenza degli zeri.
1 · 3 · 5 · · · · · (2n + 1)
=2
n!
√
√
√
1 + 2 + 3 3 + ··· + n n
lim
=1
n→+∞
n
n2 + 1 2n2
= e4
lim
n→+∞ n2 − 1
1+1/2+···+1/n
1
log n
lim 1 +
=1
n→+∞
n
lim
n
n→+∞
Bibliografia: [1] §§ 7.3; 7.6
19 novembre 2009
lim
sin
n→+∞
(n+1)π
− n12
2
1
1
n+1 − n
sin
nπ
2
2 ore
Migliore approssimazione lineare. Crescenza e decrescenza
locale. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate destra e sinistra. Punti a tangente verticale, punti angolosi,
cuspidi.
Notazione o(1). Confronto tra inﬁnitesimi e tra inﬁniti.
Esercizi assegnati:
Dimostrare che non esiste
1
(n+1)2
3 ore
Bibliografia: [1] §§ 8.1; 8.2
.
20 novembre 2009
1 ora
Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat. Ricerca degli
estremanti di una funzione. Teoremi di Rolle e Lagrange.
Dimostrare:
a) lim nan = 0, |a| < 1.
Bibliografia: [1] §§ 8.6; 8.7
n→+∞
n
b) lim
n→+∞
a
= 0, a ∈ R.
n!
23 novembre 2009
3 ore
Dimostrazione dei teoremi di Rolle e di Lagrange. Teorema
di Cauchy. Teorema di monotonia. Dimostrazioni di alcune
diseguaglianze e della lipschitzianità di alcune funzioni con
il teorema del valor medio.
11 novembre 2009
2 ore
Condizione suﬃciente per la determinazione della natura dei
Simboli di Landau. Ordini di inﬁnitesimo e di inﬁnito rispet- punti critici: il segno della derivata. Teorema di Darboux.
1
to alle funzioni campione |x − x0 |,
. Algebra degli o Estensione del teorema di Rolle. Estensione del teorema di
|x − x0 |
Cauchy (teorema di Peano).
piccolo ed applicazione alla dimostrazione del limite notevole Il teorema di De L’Hôpital.
α
Bibliografia: [1] §§ 6.1; [7] §§25; appunti.
lim
x→0
(1 + x) − 1
.
x
Bibliografia: [1] §§ 8.7: 8.7.1; 8.7.2; appunti
Le funzioni iperboliche cosh x, sinh x.
Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
Bibliografia: [1] §§ 6.1; 6.2.1; 6.4
3
2 ore
Integrali di funzioni non negative continue su un intervallo
chiuso e limitato [a, b] come limite di somme Rnext approssiApplicazione del teorema di De L’Hôpital a forme indeter- manti per eccesso o di somme Rnint approssimanti per difetminate qualunque. Calcolo di f (x0 ) come lim f (x). Casi to. Le successioni approssimanti sono monotone limitate.
x→x0
ext
int
di non applicabilità del teorema di De L’Hôpital. Esempio La diﬀerenza Rn − Rn tende a zero quando n → +∞.
in cui il teorema di De L’Hôpital è applicabile ma risulta
Bibliografia: [1] §§ 9.1; 9.2
ineﬃcace.
25 novembre 2009
Bibliografia: [1] §§ 8.7.2; appunti
26 novembre 2009
2 ore
27 novembre 2009
1 ora
11 dicembre 2009
3 ore
Somme integrali. Funzioni integrabili secondo Riemann. Le
funzioni continue sono integrabili. La funzione di DirichConcavità del graﬁco.
Funzioni (strettamente) con- let è limitata ma non integrabile secondo Riemann. Proprivesse/concave. Convessità e derivata seconda. Punti di età dell’integrale deﬁnito: linearità, positività, monotonia,
ﬂesso. Determinazione della natura di un punto critico disuguaglianza del modulo, scomposizione del dominio di intramite le derivate successive. Controesempio:
tegrazione. Teorema della media integrale. Funzioni inte
grali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive
2
se x = 0
e−1/x
di una funzione continua deﬁnite su un intervallo. L’insieme
f (x) :=
0
se x = 0
delle primitive di una funzione diﬀeriscono tra loro per una
2
Esercizio svolto: studio della funzione f (x) = x − x − 1 costante. L’integrale indeﬁnito di f (x) come controimmagine dell’operatore derivazione. Calcolo degli integrali deﬁniti
tramite una qualunque primitiva. Alcuni integrali immediati.
Bibliografia: [1] §§ 8.8; 8.9; 8.10; 8.12
Integrazione per scomposizione.
Studio della funzione f (x) = log
Bibliografia: [1] §§ 9.1; 9.2; 9.3; 9.4; 9.4.1
1 + cos x | sin x|
14 dicembre 2009
Bibliografia: [1] §§ 8.10
30 novembre 2009
2 ore
Integrazione per sostituzione. Calcolo dell’area di regioni
delimitate dai graﬁci di due funzioni. Sostituzioni tramite
funzioni goniometriche o iperboliche. Integrazione per parti.
Esercizi.
4 ore
Notazioni: sommatorie e loro proprietà; polinomi di centro
x0 e calcolo delle loro derivate di ordine j.
Bibliografia: [1] §§ 9.5
Polinomi di Taylor. Teorema di Peano. Sviluppi di MacLaurin delle funzioni ex , log(1 + x), sin x, cos x. Proprietà dei
16 dicembre 2009
2 ore
polinomi Tn [f, x0 ]. Polinomio di MacLaurin della funzione
f (x) =
1
come derivata del polinomio di MacLaurin della
1+x
funzione f (x) = log(1 + x). Applicazione al calcolo di limiti
di funzioni.
Integrazione di funzioni razionali per denominatori di grado
due nei tre casi ∆ 0. Caso generale. Scomposizione di
Hermite. Metodo diretto (dei logaritmi e arcotangenti).
Bibliografia: [1] §§ 8.11; 8.12.1
Bibliografia: [1] §§ 9.5
2 dicembre 2009
3 ore
17 dicembre 2009
2 ore
α
Sviluppo di MacLaurin di (1+x) . Applicazione degli sviluppi di Taylor al calcolo di limiti di funzioni della forma
f (x)g(x) , e nel caso x → ±∞. Approssimazione di funzioni
con polinomi di Taylor. Formula del resto di Lagrage. Stime
dell’errore dell’approssimazione, ricerca del polinomio di grado minimo approssimante a meno di un errore √
preﬁssato,
calcolo approssimato di valori numerici (esempi: 3 e, sin 1).
Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Serie geometrica e di Mengoli. Serie a termini positivi. Criterio
del confronto. La serie esponenziale. Maggioranti e minoranti deﬁnitivi. Massimo e minimo limite. Una successione
{an }n∈N ha limite L se e solo se lim sup an = lim inf an .
Bibliografia: [1] §§ 8.11; 8.13
inf sup ak , lim inf ah = sup inf ak . Caratterizzazione del
n→∞
n→∞
Se la successione {an }n∈N è limitata, allora lim sup ah =
h→∞
n∈N kn
h→∞
n∈N kn
massimo e minimo limite. Criterio di convergenza di Cauchy
9 dicembre 2009
2 ore
per le serie. Condizione necessaria per la convergenza di una
serie. La serie armonica è divergente. Criterio della radice
Applicazione degli sviluppi di Taylor alla dimostrazione e del rapporto e loro traduzione in termini di lim sup an e
h→∞
di disuguaglianze particolari.
Le classi di funzioni
inf an . Criterio di condensazione. Convergenza della
C k ([a, b]), k ∈ N, e C ∞ ([a, b]). Resto nelle forme di: di lim
h→∞
serie armonica generalizzata e della serie di Abel.
Schlömilch-Roche, Cauchy, Lagrange, Peano.
4
Bibliografia: [1] §§ 5.7; 5.8; 5.8.2; 5.8.3; [5] §§ 2.5; 2.6; Formula di Brunacci-Abel.
Criteri di convergenza di
Dedekind e di Abel. Riordinamento dei termini di una se2.10; 2.12; 2.14; appunti
rie. Il riordinamento di una serie assolutamente convergente
è assolutamente convergente ed ha la stessa somma. Calcolo
18 dicembre 2009
1 ora
della somma e riordinamento della serie convergente
Serie assolutamente convergenti. La convergenza assoluta
implica la convergenza. Il viceversa è falso. Serie a termini
di segno alterno. Criterio di Leibniz.
∞
(−1) n−1
= log 2.
n
n=1
Bibliografia: [1] §§ 5.7; 5.8; 5.8.2; 5.8.3; [5] §§ 2.15;
appunti
La costante di Eulero-Mascheroni. Comportamento asintotico delle
somme parziali della serie armonica. Se una se
an converge ma non converge assolutamente, per ogni
rie
αn tale che
αn =
L ∈ R∗ esiste un suo riordinamento
L ed esiste un suo riordinamento
βn tale che
βn è
indeterminata (cenni della dimostrazione).
21 dicembre 2009
3 ore
Dimostrazione del criterio di Leibniz. Stima del resto di
una serie a termini di segno alterno. Una serie a termini
1
di segno alterno non decrescenti in valore assoluto è inde- Cenni sulla serie di Taylor.
terminata. Criterio asintotico: formulazione in termini di
Bibliografia: [1] §§ 5.11; 5.8.3; [5] §§ 2.16; appunti
disuguaglianze ed in termini di limiti. Estensione al caso
di successioni non confrontabili. Riformulazioni in termini
della serie (di riferimento) armonica generalizzata.
rrrrrrrs
Studio della convergenza della serie
∞
log n
, α > 0,
nα
n=2
Riferimenti bibliografici
con il
[1] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi
Matematica, McGraw- Hill
criterio asintotico o con le proprietà dei logaritmi.
Criterio della convergenza della primitiva e sua applicazione allo studio della convergenza della serie armonica
generalizzata e della serie
Esercizi sulle serie.
∞
n=2
Calcolo della somma di
[2] R. A. Adams, Calcolo diﬀerenziale 1, Casa Editrice
Ambrosiana
1
.
n log n
∞
(−1) n
n n2
2
n=1
[3] P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica
uno, Liguori Editore
a meno di 10−2 .
Studio della convergenza della serie
[4] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi
Matematica 1, Zanichelli
∞
n
e−n |x + 3|
.
n
n=1
[5] E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri
[6] E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi
Matematica, volume primo, Bollati Boringhieri
(Per casa) Dimostrare che la convergenza delle serie
∞
n=1
a2n ,
∞
∞
b2n implica la convergenza di
n=1
an b n .
[7] J. P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica,
1◦ volume, Liguori Editore
n=1
Bibliografia: [1] §§ 5.9; [5] §§ 2.15; appunti
22 dicembre 2009
2 ore
Programma d’esame
Criteri di convergenza di Kummer, di Raabe, di Gauss.
La serie ipergeometrica
∞
n=1
Le proposizioni dimostrate durante il corso sono riportate in
corsivo.
Le dimostrazioni che potrebbero essere oggetto della prova teorica sono quelle riportate in rosso.
È inteso che tutte le definizioni e proprietà riportate nel diario del corso
possono essere argomento dell’esame teorico anche quando di
esse non è richiesta la dimostrazione.
Analogamente per
tutti i metodi o tecniche di risoluzione, il cui utilizzo potrebbe essere richiesto esplicitamente nella risoluzione degli esercizi della prova
pratica o nei quesiti della prova teorica.
α(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) · · · (β + n − 1) n
x .
n! γ(γ + 1) · · · (γ + n − 1)
Somma e diﬀerenza di due serie. La serie prodotto.
Bibliografia:[1] §§ Appendice 5.A; appunti
23 dicembre 2009
3 ore
Convergenza semplice e convergenza assoluta della serie
prodotto (teoremi di Mertens e di Abel). Calcolo delle serie
prodotto
∞
n=1
∞
(−1) n−1
(−1)m−1
∗
,
n
log(m + 1)
m=1
∞
n=1
∞
(−1) n−1
(−1) m−1
∗
n
m
m=1
1
5
La serie di Taylor non è argomento d’esame