EQUAZIONI LINEARI FRATTE Un’equazione si dice fratta o frazionaria se l’incognita compare a denominatore. Esempi: 4 −3= 0 x +1 fratta 8 1 2 = − x x−4 x 3 fratta x+5 5x −3= 2 4 intera (i denominatori sono numeri) Per risolvere un’equazione fratta bisogna: 1) determinare le condizioni di esistenza (C.E.), cioè stabilire le condizioni per le quali l’equazione ha senso e può essere risolta 2) trovare la possibile soluzione 3) controllare che la soluzione rispetti le C.E. Esempio 1: 3x − 1 −2 = 0 x+2 1) Determinare le C.E. : se un denominatore diventa zero l’espressione non ha significato (infatti nell’aritmetica non ha significato dividere per zero!). La condizione da porre sarà allora x + 2 ≠ 0 , cioè C.E. : x ≠ −2 (come soluzione posso accettare qualsiasi numero tranne -2) 1 2) Per risolvere l’equazione si deve: • avere il denominatore comune (m.c.m.) • eliminare il denominatore comune e ricavare la x dal numeratore m.c.m. = x + 2 allora (3x − 1) ⋅1 − 2 ⋅ (x + 2) = 0 ⋅ (x + 2) x+2 x+2 3x − 1 − 2 x − 4 = 0 3x − 2 x = 4 + 1 x = 5 possibile soluzione 3) La possibile soluzione trovata rispetta le C.E. ? Poiché 5 non è -2, la soluzione x=5 rispetta le C.E. Si dice che x = 5 è la soluzione ACCETTABILE 1 Infatti se sostituisco -2 al posto della x ottengo 3 ⋅ (− 2 ) − 1 −7 − 2 = 0 , cioè − 2 = 0. −2+2 0 7 non si può calcolare, è un’espressione senza significato per l’aritmetica. 0 © Barbara Pozzi 2009 Esempio 2: 3+ x 5 = +1 x x 1) C.E. : x ≠ 0 “accettabili tutti i numeri tranne zero” 2) m.c.m. = x 3+ x 5+ x = x x 3+ x = 5+ x x − x = 5−3 0 = 2 FALSO → l’equazione è IMPOSSIBILE, cioè NON ha soluzione. Esempio 3: 3x − 3 2 x − 1 + =5 x −1 x +1 1) C.E. : x − 1 ≠ 0 → x ≠ +1 x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 “accettabili tutti i numeri tranne +1 e -1” 2) m.c.m. = ( x + 1)(x − 1) (3x − 3)(x + 1) + (2 x − 1)(x − 1) = 5(x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) eseguo i calcoli a numeratore 3x 2 + 3 x − 3x − 3 + 2 x 2 − 2 x − x + 1 = 5 x 2 + 5 x − 5 x − 5 (3+2-5 = 0) 3x 2 + 2 x 2 − 5 x 2 − 2 x − x = 3 − 1 − 5 − 3 x = −3 x= −3 = +1 possibile soluzione −3 3) La soluzione x = +1 NON E’ ACCETTABILE perché non rispetta le C.E. Questa equazione risulta quindi impossibile perché non ha soluzione. © Barbara Pozzi 2009