Equazioni letterali: tre esempi

Equazioni
letterali
(1) Esempio
2
a ≠0
x
x−a
1
−

=1
2
2a
a−2
a
Le condizioni di esistenza sono
2 a≠0
a−2≠0
La lettera x rappresenta l'incognita, mentre la lettera
te, un valore da ritenersi noto, anche se non indicato.
a
a≠0
a≠2
rappresenta un parametro, cioè una costan-
I denominatori sono già scomposti; scrivendo il denominatore comune e applicando il secondo principio di
equivalenza, raccogliendo la lettera x a sinistra, i numeri e la costante a a destra del segno di uguaglianza,
si arriva alla forma standard (o “forma normale”) dell'equazione di primo grado:
A x = B dove A e B sono numeri o espressioni che non contengono l'incognita x
x a 2−4 a4 = a2  4−a 
Nel nostro caso si ottiene:
o, meglio:
(nb: le forme fattorizzate sono sempre da preferire)
x a−22 = a 2 4−a
Ora, per ricavare x dovremmo applicare il II principio e dividere per
Possiamo farlo solo se
a−22≠0 cioè se
a−22
a−2≠0
Poiché questo è già implicito dalle condizioni di esistenza (altrimenti l'esercizio perde significato), possiamo
scrivere:
x =
a 2 4−a
a−22
S =
a 2 4−a
 a−22
(2) Esempio
2 x−1 x1
1
−
= 2
a2
2−a
a −4
Scomponendo i denominatori e cambiando segno alla seconda frazione:
2 x−1 x1
1

=
a2
a−2  a2 a−2
Le condizioni di esistenza sono
a2≠0
a≠2
a−2≠0
a≠−2
Mediante il denominatore comune e il II principio, otteniamo la forma standard (o “forma normale”):
x 3 a−2 = −3
o, meglio:
x 2−3 a = 3
Ora, per ricavare x dovremmo dividere per
possiamo dividere solo se 2−3 a≠0
2−3 a  ; però dobbiamo porre una condizione, perché
Distingueremo allora due casi, numerandoli: il caso (1) sarà quello in cui la divisione è possibile.

CASO 1
Se
2−3 a≠0 , cioè
2
, allora possiamo dividere e otteniamo:
3
3
2−3 a
x =

a≠
S =
3
2−3 a
CASO 2
Se
2−3 a=0 , cioè
a=
2
3
a=
2
, allora NON possiamo dividere ma possiamo SOSTITUIRE il valore
3
nella forma normale, per vedere che cosa succede: possiamo ottenere una identità, nel qual caso l'e-
quazione ammette qualunque x come soluzione (S = R) , oppure una “identità falsa”, es. 3=5, e in questo
caso l'equazione è “impossibile”, cioè S è l'insieme vuoto.
In questo esempio si ottiene:
2
x⋅2−3⋅  = 3
3
x⋅0 = 3
0=3
Essendo questa uguaglianza falsa, la soluzione nel caso (2) ammette come insieme delle soluzioni l'insieme
vuoto:
S =
(3) Esempio
x3
x−3
a x−6

= 2
2 a4 2 a−4
a −4
Scomponendo i denominatori otteniamo :
x3
x−3
a x−6

=
2a2 2a−2
a−2 a2
Le condizioni di esistenza sono
a2≠0
a−2≠0
a≠2
a≠−2
Mediante il denominatore comune e il II principio, ci accorgiamo che tutti i termini si elidono e rimane
0=0
Questo significa che l'equazione è sempre verificata, per qualsiasi valore di x.
Si dice che è “indeterminata”, o meglio che l'insieme delle soluzioni è l'insieme di tutti i numeri reali.
S = R