equazioni lineari fratte

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EQUAZIONI LINEARI FRATTE
Un’equazione si dice fratta o frazionaria se l’incognita compare a denominatore.
Esempi:
4
3  0
x 1
fratta
8
1 2
  x
x4 x 3
fratta
x5
5x
3 
2
4
intera (i denominatori sono numeri)
Per risolvere un’equazione fratta bisogna:
1) determinare le condizioni di esistenza (C.E.), cioè stabilire le condizioni per le quali l’equazione ha
senso e può essere risolta
2) trovare la possibile soluzione
3) controllare che la soluzione rispetti le C.E.
Esempio 1:
3x  1
20
x2
1) Determinare le C.E. : se un denominatore diventa zero l’espressione non ha significato (infatti
nell’aritmetica non ha significato dividere per zero!).
La condizione da porre sarà allora x  2  0 , cioè C.E. : x  2
(come soluzione posso accettare qualsiasi numero tranne -2) 1
2) Per risolvere l’equazione si deve:
 avere il denominatore comune (m.c.m.)
 eliminare il denominatore comune e ricavare la x dal numeratore
m.c.m. = x  2
allora
3x  1 1  2  x  2  0  x  2
x2
x2
3x 1  2x  4  0
3x  2x  4 1
x  5 possibile soluzione
3) La possibile soluzione trovata rispetta le C.E. ?
Poiché 5 non è -2, la soluzione x=5 rispetta le C.E.
Si dice che x  5 è la soluzione ACCETTABILE
1
Infatti se sostituisco -2 al posto della x ottengo
3   2   1
7
 2  0 , cioè
2  0.
22
0
7
non si può calcolare, è un’espressione senza significato per l’aritmetica.
0
1
Esempio 2:
3 x 5
 1
x
x
1) C.E. : x  0
“accettabili tutti i numeri tranne zero”
2) m.c.m. = x
3 x 5 x

x
x
3 x  5 x
x  x  5 3
0  2 FALSO  l’equazione è IMPOSSIBILE, cioè NON ha soluzione.
Esempio 3:
3x  3 2 x  1

5
x 1
x 1
1) C.E. : x 1 0  x  1
x  1 0  x  1
“accettabili tutti i numeri tranne +1 e -1”
2) m.c.m. = x  1x  1
3x  3x  1  2 x  1x  1  5x  1x  1
x  1x  1
x  1x  1
eseguo i calcoli a numeratore
3x 2  3x  3x  3  2 x 2  2 x  x  1  5 x 2  5 x  5 x  5
(3+2-5 = 0)
3x 2  2 x 2  5 x 2  2 x  x  3  1  5
 3x  3
x
3
 1 possibile soluzione
3
3) La soluzione x  1 NON E’ ACCETTABILE perché non rispetta le C.E.
Questa equazione risulta quindi impossibile perché non ha soluzione.
2