EQUAZIONI LINEARI FRATTE Un’equazione si dice fratta o frazionaria se l’incognita compare a denominatore. Esempi: 4 3 0 x 1 fratta 8 1 2 x x4 x 3 fratta x5 5x 3 2 4 intera (i denominatori sono numeri) Per risolvere un’equazione fratta bisogna: 1) determinare le condizioni di esistenza (C.E.), cioè stabilire le condizioni per le quali l’equazione ha senso e può essere risolta 2) trovare la possibile soluzione 3) controllare che la soluzione rispetti le C.E. Esempio 1: 3x 1 20 x2 1) Determinare le C.E. : se un denominatore diventa zero l’espressione non ha significato (infatti nell’aritmetica non ha significato dividere per zero!). La condizione da porre sarà allora x 2 0 , cioè C.E. : x 2 (come soluzione posso accettare qualsiasi numero tranne -2) 1 2) Per risolvere l’equazione si deve: avere il denominatore comune (m.c.m.) eliminare il denominatore comune e ricavare la x dal numeratore m.c.m. = x 2 allora 3x 1 1 2 x 2 0 x 2 x2 x2 3x 1 2x 4 0 3x 2x 4 1 x 5 possibile soluzione 3) La possibile soluzione trovata rispetta le C.E. ? Poiché 5 non è -2, la soluzione x=5 rispetta le C.E. Si dice che x 5 è la soluzione ACCETTABILE 1 Infatti se sostituisco -2 al posto della x ottengo 3 2 1 7 2 0 , cioè 2 0. 22 0 7 non si può calcolare, è un’espressione senza significato per l’aritmetica. 0 1 Esempio 2: 3 x 5 1 x x 1) C.E. : x 0 “accettabili tutti i numeri tranne zero” 2) m.c.m. = x 3 x 5 x x x 3 x 5 x x x 5 3 0 2 FALSO l’equazione è IMPOSSIBILE, cioè NON ha soluzione. Esempio 3: 3x 3 2 x 1 5 x 1 x 1 1) C.E. : x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 “accettabili tutti i numeri tranne +1 e -1” 2) m.c.m. = x 1x 1 3x 3x 1 2 x 1x 1 5x 1x 1 x 1x 1 x 1x 1 eseguo i calcoli a numeratore 3x 2 3x 3x 3 2 x 2 2 x x 1 5 x 2 5 x 5 x 5 (3+2-5 = 0) 3x 2 2 x 2 5 x 2 2 x x 3 1 5 3x 3 x 3 1 possibile soluzione 3 3) La soluzione x 1 NON E’ ACCETTABILE perché non rispetta le C.E. Questa equazione risulta quindi impossibile perché non ha soluzione. 2