1 Infinitesimi e loro propriet`a fondamentali Molto spesso il calcolo

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Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella
Infinitesimi e loro proprietà fondamentali
Molto spesso il calcolo dei limiti conduce allo studio di forme indeterminate
0 ∞
del tipo ,
. Occorre quindi studiare i modi in cui due funzioni tendono a
0 ∞
zero (o a infinito) e confrontarle fra esse.
Definizione - Siano f : X → lR e x0 ∈ D(X); si dice che f (x) è un
infinitesimo per x → x0 se
lim f (x) = 0 .
x→x0
Analogamente, f (x) è un infinitesimo per x → +∞ oppure per x → −∞
se
lim f (x) = 0 oppure
lim f (x) = 0 .
x→+∞
x→−∞
Per esempio, f (x) = x2 − 1 è un infinitesimo per x → 1 perchè
lim (x2 − 1) = 0
x→1
f (x) =
1
è un infinitesimo sia per x → +∞ che per x → −∞ perchè
x
lim
x→±∞
1
=0.
x
Indicheremo con la scrittura x → c sia x → x0 che x → +∞ e x → −∞.
Siano f (x) e g(x) funzione infinitesime per x → c; si dice che f (x) e g(x)
sono infinitesimi dello stesso ordine per x → c se
lim
x→c
f (x)
= l 6= 0,
g(x)
l ∈ lR .
Si dice che f (x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per
x → c se
f (x)
lim
=0.
x→c g(x)
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Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica
Si dice che f (x) è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x) per
x → c se
f (x)
lim
= ±∞ .
x→c g(x)
Se
f (x)
non esiste
lim
x→c g(x)
le funzioni f (x) e g(x) sono infinitesimi non confrontabili per x → c.
Esempi
. f (x) = 1 − cos x e g(x) = x2 sono infinitesimi dello stesso ordine per
x → 0 in quanto
1 − cos x
1
lim
= ;
2
x→0
x
2
. f (x) = 1 − cos x è un infinitesimo di ordine superiore a g(x) = x, per
x → 0, in quanto
1 − cos x
lim
=0;
x→0
x
. f (x) = ln(1 + x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x) = x3 , per
x → 0, in quanto
ln(1 + x)
ln(1 + x) 1
= lim
= +∞ ;
3
x→0
x→0
x
x
x2
lim
1
. f (x) = x sin e g(x) = x sono infinitesimi non confrontabili per x → 0
x
in quanto
x sin x1
1
= lim sin
non esiste .
lim
x→0
x→0
x
x
Se f (x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x), per x → c, si dice che
f (x) è trascurabile rispetto a g(x).
Questo modo di dire è giustificato dal seguente:
Principio di eliminazione degli infinitesimi
Ip - Siano f (x), f1 (x), g(x), g1 (x) infinitesimi per x → c con f1 (x) infinitesimo di ordine superiore rispetto a f (x) e g1 (x) infinitesimo di ordine superiore
rispetto a g(x).
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Ts -
f (x) + f1 (x)
f (x)
= lim
x→c g(x) + g (x)
x→c g(x)
1
lim
Ossia il limite del rapporto di due infinitesimi non cambia se si aggiunge (o
se si toglie) agli infinitesimi dati degli infinitesimi di ordine superiore.
Esempi
.
sin x
sin x + 3x4
=1
= lim
x→0 sin2 x + x
x→0 x
in quanto, per x → 0, x4 è un infinitesimo trascurabile rispetto a sin x
e sin2 x è un infinitesimo trascurabile rispetto a x.
lim
.
1 − cos x + x
x
√ = lim √ = 0 .
x→0 sin x +
x→0
x
x
lim
Per esprimere una relazione di confronto tra due infinitesimi si utilizzano di
solito dei simboli, noti come simboli di Landau; fra questi consideriamo:
1. o(·) (si legge o piccolo di ...)
se f (x) e g(x) sono infinitesime per x → c e f (x) è di ordine superiore
f (x)
a g(x) (ossia lim
= 0), si scrive
x→c g(x)
f (x) = o(g(x)) per x → c .
2. ~
(si legge equivalente a ...)
se f (x) e g(x) sono infinitesimi per x → c e se risulta lim
x→c
scrive
f (x) ~ g(x) per x → c .
Esempi
. x3 = o(x2 ) per x → 0;
. 1 − cos x = o(x) per x → 0
f (x)
= 1, si
g(x)
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Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica
. sin x = o(xα ) per x → 0,
∀α ∈]0, 1[;
. xα = o(sin x) per x → 0,
∀α > 1;
. (sin x)α = o(x) per x → 0,
∀α > 1;
. x = o((sin x)α ) per x → 0,
∀α ∈]0, 1[;
. x ~ (x3 + x) per x → 0 in quanto
lim
x→0 x3
x
x
= lim
=1;
2
+ x x→0 x(x + 1)
. sin x ~ x per x → 0;
. tan x ~ x per x → 0;
. 1 − cos x ~ 21 x2 per x → 0;
. ex − 1 ~ x per x → 0;
. ln(1 + x) ~ x per x → 0.
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Ip - Siano f (x), f1 (x), g(x), g1 (x) infinitesimi per x → c con f (x) ~ f1 (x) e
g(x) ~ g1 (x).
Ts f1 (x)
f (x)
=
lim
lim
x→c g (x)
x→c g(x)
1
Ossia il limite del rapporto di due infinitesimi non cambia se si sostituisce
ciascuno dei due infinitesimi con un infinitesimo equivalente.
Esempi
.
ln(1 + x)
x
1
= lim
=
x→0 2 tan x
x→0 2x
2
in quanto per x → 0 si ha ln(1 + x) ~ x e tan x ~ x.
lim
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Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella
.
sin 2x
2x
2
= lim
=
x→0 tan 5x
x→0 5x
5
in quanto per x → 0 si ha sin 2x ~ 2x e tan 5x ~ 5x.
lim
.
x2
sin2 x
= lim 1 2 = 2
x→0 x
x→0 1 − cos x
2
lim
in quanto per x → 0 si ha sin2 x ~ x2 e 1 − cos x ~ 21 x2 .
Infiniti e loro proprietà fondamentali
Definizione - Siano f : X → lR e x0 ∈ D(X); si dice che f (x) è un infinito
per x → x0 se
lim f (x) = ±∞ .
x→x
0
Analogamente, f (x) è un infinito per x → +∞ oppure per x → −∞ se
lim f (x) = ±∞ oppure
lim f (x) = ±∞ .
x→+∞
x→−∞
Per esempio,
f (x) = x2 + 2 è un infinito per x → ±∞ perchè lim (x2 + 2) = +∞;
x→±∞
f (x) = ln x è un infinito sia per x → 0+ che per x → +∞ perchè
lim ln x = −∞ e
x→0+
lim ln x = +∞ .
x→+∞
Indicheremo con la scrittura x → c sia x → x0 che x → +∞ e x → −∞.
Siano f (x) e g(x) funzione infinite per x → c; se
f (x)
= l 6= 0,
x→c g(x)
lim
l ∈ lR
le funzioni f (x) e g(x) si dicono infiniti dello stesso ordine per x → c.
Se
f (x)
=0
lim
x→c g(x)
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la funzione f (x) si dice infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) per
x → c.
Se
f (x)
lim
= ±∞
x→c g(x)
la funzione f (x) si dice infinito di ordine superiore rispetto a g(x) per
x → c.
Se
f (x)
lim
non esiste
x→c g(x)
le funzioni f (x) e g(x) sono infiniti non confrontabili per x → c.
Esempi
. f (x) = x2 +1 e g(x) = 3x2 sono infiniti dello stesso ordine per x → +∞
in quanto
x2 + 1
1
lim
= ;
2
x→+∞ 3x
3
. f (x) = ln x è un infinito di ordine inferiore a g(x) = x, per x → +∞,
in quanto
ln x
lim
=0;
x→+∞ x
. f (x) = ex è un infinito di ordine superiore a g(x) = x, per x → +∞,
in quanto
ex
= +∞ ;
lim
x→+∞ x
. f (x) = x sin x e g(x) = x sono infiniti non confrontabili per x → +∞
in quanto
x sin x
= lim sin x non esiste .
lim
x→+∞
x→+∞
x
La ‘rapidità ‘ con cui una funzione tende all’infinito varia a seconda delle sue
caratteristiche. In generale, per x → +∞, si può dire che:
• la funzione logaritmo, f (x) = loga x con a > 1, cresce meno rapidamente di qualsiasi potenza positiva di x;
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• la funzione esponenziale, f (x) = ax con a > 1, cresce più rapidamente
di qualsiasi potenza positiva di x.
Principio di eliminazione degli infiniti
Ip - Siano f (x), f1 (x), g(x), g1 (x) infiniti per x → c con f1 (x) infinito di
ordine inferiore rispetto a f (x) e g1 (x) infinito di ordine inferiore rispetto a
g(x).
Ts -
f (x) + f1 (x)
f (x)
= lim
x→c g(x) + g (x)
x→c g(x)
1
lim
Ossia il limite del rapporto di due infiniti non cambia se si aggiunge (o se si
toglie) agli infiniti dati degli infiniti di ordine inferiore.
Ciò rende più agevole il calcolo dei limiti, come mostrano i seguenti:
Esempi
.
.
√
2x3
2x3 + x2 + 1
√
=2
=
lim
lim
3
x→+∞ x3
x→+∞
x3 + x5
√
in quanto, per x√ → +∞, x2 + 1 è un infinito di ordine inferiore
3
rispetto a 2x3 e x5 è un infinito di ordine inferiore rispetto a x3 .
ex
ex
√
=
lim
= +∞ .
x→+∞ x2 +
x x→+∞ x2
lim
.
x + ln x
x
= lim 2 = 0 .
− 3x + 5 x→+∞ x
lim
x→+∞ x2
.
√
lim
x→+∞
√
x + ln2 x
x
= lim x = 0 .
3
x
x→+∞
x +e
e