Controllo vettoriale

Controllo vettoriale
I sistemi di controllo tradizionali della macchina asincrona, basati su tecniche di controllo
scalare, regolano il funzionamento della macchina a regime stazionario, ma permettono di
ottenere transitori meccanici soddisfacenti per la maggior parte delle applicazioni. Tuttavia, il
transitorio elettromagnetico non può essere controllato e presenta marcate oscillazioni di
corrente, di flusso e, quindi della coppia.
Nelle applicazioni ad alte prestazioni, come quelle tipiche delle applicazioni robotiche o delle
macchine operatrici a controllo numerico tali oscillazioni pregiudicano la qualità delle
operazioni e quindi devono essere eliminate. Inoltre, le sovraelongazioni della corrente che si
ottengono con i controlli scalari, specialmente durante la fase di avviamento, richiedono un
sovradimensionamento dell’inverter.
Il transitorio elettromagnetico può essere governato utilizzando tecniche di controllo
vettoriale. Tale controllo si basa su una opportuna scelta degli assi di riferimento utilizzati dal
sistema di controllo per determinare le componenti del vettore corrente statorica.
In particolare, si sceglie un particolare sistema di riferimento bifase, tale che la componente
del vettore corrente statorica su un asse agisca esclusivamente sul flusso, e la componente
sull’altro
sull
altro asse sulla coppia motrice
motrice.
Controllo vettoriale
Notazione vettoriale
Le componenti di una grandezza trifase possono essere viste come la proiezioni di un vettore rotante
con pulsazione ω su tre assi di riferimento a, b e c sfasati di 120° e fissi nello spazio.
L terna
La
t
fa, fb, fc può
ò rappresentare
t
indifferentemente
i diff
t
t tensioni,
t
i i correnti,
ti flussi
fl
i o cariche.
i h
Controllo vettoriale
Un vettore rotante su un piano può però essere individuato dalle proiezioni rispetto ad un sistema di
riferimento fisso nello spazio composto da due assi d e q ortogonali.
Controllo vettoriale
Infine, un vettore rotante su un piano può essere individuato anche dalle proiezioni rispetto ad un
sistema di riferimento composto da due assi d’ e q’ ortogonali e rotanti con velocità angolare ω’.
In questo caso se ω=ω’ le proiezioni sugli assi d’ e q’ sono grandezze costanti.
Controllo vettoriale
Matrici di trasformazione
Se si conosce lo sfasamento tra due sistemi di riferimento, è possibile calcolare mediante un’opportuna
matrice di trasformazione le componenti sugli assi di un sistema, da quelle rispetto all’ altro sistema.
Trasformazione da sistema trifase a,b,c a sistema bifase d,q.
f qd = K f abc
[
dove:
T
f qd
= fq
e
⎡
⎢cosγ
2⎢
K =
3⎢
⎢ sin γ
⎣
fd
]
[
T
; f abc = f a
⎛
cos ⎜ γ
⎝
⎛
sin ⎜ γ
⎝
fb
fc
]
;
2π ⎞
2π ⎞ ⎤
⎛
⎟ cos ⎜ γ +
⎟
3 ⎠⎥
3 ⎠
⎝
⎥
2π ⎞
2π ⎞ ⎥
⎛
−
⎟ sin ⎜ γ +
⎟⎥
3 ⎠
3 ⎠⎦
⎝
−
è’ la matrice di trasformazione.
Essendo γ lo sfasamento tra i due sistemi di riferimento (angolo tra asse a ed asse q).
Controllo vettoriale
La trasformazione inversa, da assi d,q ad assi a,b,c, è invece:
f abc = K − 1 f qd
dove:
⎡
⎢ cos γ
⎢
⎢ ⎛
K − 1 = ⎢ cos ⎜ γ
⎢ ⎝
⎢ ⎛
⎢ cos ⎜ γ
⎢⎣ ⎝
sin γ
2π ⎞
⎟
3 ⎠
2π ⎞
+
⎟
3 ⎠
−
⎛
sin ⎜ γ
⎝
⎛
sin ⎜ γ
⎝
−
2π
3
+
2π
3
è la
l matrice
t i di trasformazione
t f
i
inversa.
i
⎤
⎥
⎥
⎞⎥
⎟⎥
⎠⎥
⎞⎥
⎟⎥
⎠ ⎦⎥
Controllo vettoriale
Se la trasformazione è da un sistema di riferimento fisso ad un sistema di riferimento fisso, o tra due
sistemi di riferimento rotanti alla stessa velocità,, i coefficienti della matrice di trasformazione sono
costanti.
Se la trasformazione è da un sistema di riferimento fisso ad un sistema di riferimento rotante, o
viceversa, o ancora, tra sistemi di riferimento rotanti a diversa velocità, i coefficienti della matrice di
trasformazione sono funzioni sinusoidali dello sfasamento tra i due sistemi.
sfasamento γ tra i due sistemi non è costante ed è dato da:
γ = θ q ,d − θ a ,b ,c
Essendo θ q,d e θa,b,c le posizioni angolari assolute dei due sistemi di riferimento.
In tal caso, infatti, lo
Controllo vettoriale
Circuito ohmico induttivo
Trasformazioni da un sistema di riferimento a velocità ω ad un sistema a velocità ωx possono essere
applicate
li t alle
ll equazioni
i i che
h reggono il ffunzionamento
i
t di qualunque
l
circuito
i
it elettrico
l tt i trifase.
t if
Per un circuito trifase ohmico induttivo si ha:
dλ a
dia
⎧
=
+
=
+
v
R
i
R
i
L
a
a
a
a
a
a
⎪
dt
dt
⎪
di
dλ b
⎪
= Rb ib + Lb b
⎨vb = Rb ib +
dt
dt
⎪
dλ c
dic
⎪
⎪vc = Rc ic + dt = Rc ic + Lc dt
⎩
In notazione compatta:
vabc = Rabc iabc +
[
Dove: Labc = diag La
Lb
Lc
]
d
d
λabc = Rabc iabc + Labc iabc
d
dt
ddt
[
e R abc = diag R a
diagonali delle induttanze e delle resistenze di fase.
Rb
Rc
]
sono rispettivamente le matrici
Controllo vettoriale
Definendo p=d/dt l'operatore derivata temporale si ottiene dopo facili passaggi:
(
vqqd = Rqd iqd + K p K − 1λqqd
con R qd = K R abc K
−1
)
. In particolare, se Ra= Rb= Rc allora risulta: Ra= Rq= Rd.
Eseguendo la derivata del prodotto si ricava:
( )
(
)
vqd = Rqd iqd + K p K − 1 λqd + K K − 1 pλqd = Rqd iqd + pλqd + ω − ω x λdq
dove:
(
λTdq = λ d
− λq
)
Il primo termine viene detto resisivo, il secondo trasformatorico ed il terzo rotazionale: quest'ultimo
scompare se ω=ωx.
Controllo vettoriale
Scritte per esteso le equazioni del circuito ohmico induttivo secondo gli assi d, q assumono la forma:
( )
vd = Rd id + pλd − (ω − ω x ) λq
vq = Rq iq + pλq + ω − ω x λd
In funzione delle sole correnti si ricava:
(
)
v qd = R dq i dq + pL qd i qd + ω − ω x Ldq i dq
ove L qd = K
L abc K − 1
Controllo vettoriale
Motore asincrono
Lo statore di una macchina asincrona trifase alloggia tre avvolgimenti di fase. L’avvolgimento a gabbia
di scoiattolo di rotore può essere assimilato a tre avvolgimenti chiusi in corto circuito. Poiché ogni
avvolgimento è un circuito ohmico induttivo, il modello elettrico del motore rispetto al sistema di
riferimento fisso a, b, c è costituito da sei equazioni differenziali di primo grado.
Controllo vettoriale
Nell’ipotesi di linearità del nucleo magnetico, di simmetria delle tensioni di alimentazione e di equilibrio
delle impedenze di fase, è possibile passare dal sistema trifase a,b,c al sistema bifase d,q.
Se il sistema di riferimento d, q ruota con una velocità angolare arbitraria ω’, si ottengono le seguenti
equazioni elettriche:
dλas
⎧
⎪vas = rs ias + dt
⎪
⎪v = r i + dλbs
⎪ bs s bs
dt
⎪
⎪vcs = rs ics + dλcs
⎪
dt
⎨
⎪v = 0 = r i + dλar
r ar
⎪ ar
dt
⎪
dλ
⎪vbr = 0 = rr ibr + br
dt
⎪
⎪
dλ
⎪vcr = 0 = rr icr + cr
dt
⎩
⎧vds
⎪
⎪vqs
⎨
⎪vdr
⎪v
⎩ qr
= Rs ids + pλds + ω' λqs
= Rs iqs + pλqs − ω' λds
= 0 = Rr idr + pλdr − ( ω' −ω r )λqr
= 0 = Rr iqr + pλqr + ( ω' −ω r )λdr
Controllo vettoriale
Le equazioni che si ottengono possono essere riferite ad una macchina fittizia costituita da quattro
avvolgimenti. Ogni avvolgimento risulta accoppiato solo con quello posto sullo stesso asse, poiché due
avvolgimenti ripettivamente posti sugli assi d e q hanno assi magnetici ortogonali fra loro. Gli assi q e d,
g
arbitraria ω'.
possono essere fissi nello spazio, o possono ruotare con velocità angolare
Controllo vettoriale
Le espressioni dei flussi divengono:
⎧λas = Laas ias + Lasbs ibs + Lascs ics + Lasar iar + Lasbr ibr + Lascr icr
⎪
⎪λbs = Lbsas ias + Lbbs ibs + Lbscs ics + Lbsar iar + Lbsbr ibr + Lbscr icr
⎪⎪λcs = Lcsas ias + Lcsbs ibs + Lccs ics + Lcsar iar + Lcsbr ibr + Lcscr icr
⎨
⎪λar = Laar iar + Larbr ibr + Larcr icr + Laras ias + Larbs ibs + Larcs ics
⎪λbr = Lbrar iar + Lbbr ibr + Lbrcr icr + Lbrar ias + Lbrbs ibs + Lbrcs ics
⎪
⎪⎩λcr = Lcrar iar + Lcrbr ibr + Lccr icr + Lcras ias + Lcrbs ibs + Lcrcs ics
⎧λds
⎪
⎪λqs
⎨
⎪λdr
⎪λqr
⎩
= Ls ids + Midr
= Ls iqs + Miqr
= Lr idr + Mids
= Lr iqr + Miqs
Lasar, Lasbr, Lascr, Lbsar, Lbsbr, Lbscr, Lcsar, Lcsbr, Lcscr, Larars Larbs, Larcs, Lbras, Lbrbs, Lbrcs, Lcras, Lcrbs, Lcrcs sono
induttanze variabili con la posizione del rotore.
Lr, Ls ed M sono induttanze a valore costante.
Le equazioni dei flussi secondo gli assi d e q sono particolarmente semplici perché non può esistere
accoppiamento magnetico tra avvolgimenti mutuamente ortogonali.
Controllo vettoriale
Il modello matematico del motore asincrono secondo gli assi d e q è poi completato dall’equazione di
coppia e dall’equazione meccanica:
Ce =
(
M
3
λdr iqs − λqr ids
pp
Lr
2
pω r =
pp
(Ce − C r )
J
)
Controllo vettoriale
Nell’ipotesi di controllare le correnti di statore
statore, la dinamica di statore e quindi le equazioni di statore possono
essere trascurate. Se poi si fa in modo che la componente d’asse q del flusso di rotore sia nulla e la componente
d’asse d del flusso di rotore sia costante, dall’equazione relativa alla componente d’asse d della tensione di
rotore si ottiene:
0 = Rr idr + pλdr − ( ω' −ω r )λqr
=>
idr = 0
Sostituendo nelle equazioni dei flussi si ricava:
λdr = Lr idr + Mids = Mids
λqr = 0
L’eq a ione di coppia di
L’equazione
diventa:
enta
Ce =
(
In queste condizioni l’ampiezza del flusso rotorico
proporzionale a iqs.
)
3
M
3
M
pp
λdr iqs − λqr ids = pp λdr iqs
2
Lr
2
Lr
λr risulta proporzionale alla ids. Inoltre, la coppia risulta
Quindi il flusso e la coppia possono essere controllate indipendentemente agendo
rispettivamente su ids e iqs.
Le equazioni del motore asincrono diventano formalmente simili a quelle della
macchina
hi in
i corrente continua.
i
La
L differenza
diff
sta nell fatto
f
che
h mentre nella
ll macchina
hi in
i corrente continua
i
flusso
fl
e coppia sono proporzionali rispettivamente alle correnti di eccitazione e di armatura, cioè correnti che circolano
in circuiti elettricamente separati, nel caso del motore asincrono flusso e coppia dipendono dalle componenti del
p
ad un particolare
p
sistema di riferimento d,, q rotante.
vettore corrente di statore rispetto
Controllo vettoriale
Affinché la componente d’asse q del flusso sia sempre nulla, l’asse d del sistema di riferimento rotante
deve essere diretto secondo la direzione del vettore flusso rotorico. E’ questo il principio di base del
controllo ad orientamento di campo, che permette di ottenere dal motore asincrono le migliori prestazioni
dinamiche possibili. Tali prestazioni sono molto superiori a quelle ottenibili col controllo scalare a V/f
costante e simili a quelle ottenibili con un motore in corrente continua.
Controllo vettoriale
Per attuare il controllo ad orientamento di campo è necessario conoscere la posizione angolare
θr del
vettore flusso di rotore. Negli schemi di controllo più sofisticati si richiede pure la misura dell’ampiezza del
flusso di rotore, per controllare ad anello chiuso l’ampiezza del flusso e la coppia.
In linea teorica
ampiezza e posizione angolare del flusso di rotore potrebbero essere misurate direttamente mediante
opportuni sensori. In realtà, considerazioni di tipo economico consigliano una misura indiretta a partire da
altre grandezze più facilmente (ed economicamente) misurabili, come tensioni, correnti e velocità
meccanica. Per realizzare ciò si impiegano stimatori (ad anello aperto) ed osservatori (ad anello chiuso)
Controllo vettoriale
Come nel caso della macchina in corrente continua, per velocità inferiori al valore nominale la
componente d’asse d viene tenuta costante e la coppia viene regolata agendo sulla componente d’asse
q. Si ottiene un funzionamento a coppia
q
pp costante. Per velocità superiori
p
al valore nominale si deve
adottare un funzionamento a potenza costante, riducendo la componente di corrente d’asse d e
l’ampiezza del flusso rotorico in ragione inversa alla variazione di velocità.
Controllo vettoriale
Stimatore V-I
Mediante lo stimatore V-I (tensione-corrente) è possibile ricavare le grandezze necessarie al controllo ad
orientamento di campo dalla misura delle tensioni e delle correnti statoriche.
statoriche Le equazioni di statore della
macchina asincrona rispetto ad un sistema di riferimento α, β fisso nello spazio sono:
d
λαs
dt
d
v β s = rs iβ s + λβ s
dt
vαs = rs iαs +
N t lle ttensioni
Note
i i di statore
t t
e lle relative
l ti correnti,
ti è allora
ll
possibile
ibil scrivere:
i
d
λαs = vαs − rs i as
dt
d
λ βs = v βs − rs i bs
dt
Le componenti del flusso di statore possono essere calcolate come:
λαs = λαs0 + ∫ (vαs − rs ias ) dt
λ βs = λ βs0 + ∫ (v βs − rs i βs ) dt
Controllo vettoriale
Risolvendo il sistema delle equazioni
q
dei flussi in modo da determinare le componenti
p
del flusso di rotore si
ha:
⎛
Lr
M 2 ⎞⎟
⎜
(
)
λαr = Miαs + Lr iαr =
Ls iαs + Miαr - Ls −
i = λαs − Lk iαs
⎟ αs
⎜
M
L
r
⎝
⎠
⎛
M 2 ⎟⎞
Lr
⎜
λβ r = Miβ s + Lr iβ r =
i = λβ s − Lk iβ s
Ls iβ s + Miβ r - Ls −
⎟ βs
⎜
L
M
r
⎝
⎠
(
)
Da tali relazioni si possono calcolare il modulo e la posizione angolare del vettore flusso rotorico
Λr = λα2 r + λ 2β r
⎛ λβ r ⎞
⎟⎟
λ
⎝ αr ⎠
θ r = arctan⎜⎜
Errori nella misura dei parametri di macchina (rs, Lk), o variazioni della resistenza statorica al variare della
temperatura di funzionamento, comportano, incertezze che affliggono la stima delle grandezze, soprattutto alla
basse velocità di rotazione. Pertanto, lo stimatore VI viene utilizzato solo a velocità sufficientemente alta. Uno
stimatore V-I viene utilizzato per realizzare lo schema di controllo ad orientamento di campo diretto.
Controllo vettoriale
Controllo ad orientamento di campo diretto
Controllo vettoriale
Stimatore I-Ω
Mediante lo stimatore I-Ω (corrente-velocità angolare) è possibile ricavare le grandezze necessarie al controllo
ad orientamento di campo dalla misura delle correnti statoriche e della velocità meccanica. Nell’ipotesi di λqr=0
(
(ma
non di dλdr/dt=0),
/dt 0) d
dalle
ll equazioni
i i di rotore
t
scritte
itt rispetto
i
tt ad
d un sistema
i t
di riferimento
if i
t d,
d q rotante,
t t sii
ottiene:
0 = rr idr + pΛr
0 = rr iqr + ω sl Λr
pΛr = − rr idr
=>
>
r
ω sl = − r ⋅ iqr
Λr
Si ha inoltre:
Λr = Lr idr + Mids
=>
0 = Lr iqr + Miqs
Λ − Mids
idr = r
Lr
iqr = −
M
iqs
Lr
Sostituendo e passando alla variabile di Laplace si ottiene:
Λr ( s ) =
M
⋅ ids ( s )
Lr
1+
s
rr
ω sl =
rr M
⋅ iqs ( s )
Lr Λr ( s )
La velocità meccanica ωm è nota perché direttamente misurabile. Poiché ωsl=ω- ωm è possibile scrivere:
⎛ rM
⎞
θ r = ∫ ωdt = ∫ (ω sl + ω m )dt = ∫ ⎜⎜ r
⋅ iqs + ω m ⎟⎟dt
⎝ Lr Λr ( s )
⎠
Controllo vettoriale
Per utilizzare le precedenti relazioni
relazioni, è
è’ necessario calcolare
calcolare, a partire da ias, ibs
e iqs. Per
b e ics, le correnti ids
d
effettuare tale trasformazione serve θr che però è incognito, in quanto costituisce una delle grandezze da
stimare. Pertanto, si utilizza una procedura iterativa e l’angolo θr impiegato nel blocco è da intendersi come
valore al passo precedente del calcolo iterativo.
Al passo k è noto l’angolo θr k-1, dunque vengono calcolate ids k-1 e iqs k-1, le correnti al passo precedente, ciò
comporta errori di misura, soprattutto alle alte velocità
Alle alte velocità la risoluzione del calcolo di ω è bassa. Pertanto, si predilige ll’uso
uso dello stimatore II-Ω
Ω alle
basse velocità di funzionamento.
Controllo vettoriale
Controllo ad orientamento di campo indiretto
Uno stimatore I-Ω semplificato è utilizzato nel controllo ad orientamento di campo indiretto per calcolare
la p
pulsazione
lsa ione di scorrimento,
scorrimento (ponendo anche dλr/dt=0),
/dt 0) si ha infatti:
infatti
ω sl =
rr i qs ( s )
⋅
Lr i ds
Le prestazioni ottenute dipendono notevolmente dalla correttezza del valore della costante di tempo
rotorica Tr= Lr/Rr utilizzato nel calcolo della posizione del flusso rotorico. La costante di tempo rotorica
varia con la temperatura del motore e deve essere stimata on
on-line
line per garantire prestazioni ottimali..
ottimali
Controllo vettoriale
Inverter VSI con controllo di corrente
Macchina Sincrona
Sincrono
a magneti permanenti
esterni
Sincrono
a magneti permanenti
interni
Sincrono
a riluttanza
Lo statore contiene un avvolgimento trifase composto da tre singoli avvolgimenti, sfasati nello spazio di
120°. Nei motori tradizionali nel rotore è presente un singolo avvolgimento alimentato in corrente continua,
nei motori a magnete permanente il rotore contiene un magnete, nei motori a riluttanza non sono invece
presenti né avvolgimenti ne magneti.
Alimentando lo statore con una terna di tensioni simmetriche si genera un campo magnetico rotante che
i t
interagisce
i
coll campo magnetico
ti
dii rotore,
t
generando
d una coppia
i che
h tende
t d ad
d allineare
lli
i due
d
campii
magnetici. La coppia prodotta è nulla quando i due campi si allineano, mentre è massima se i due campi
sono ortogonali.
Controllo vettoriale
Nello statore di un motore sincrono trifase sono alloggiati i tre avvolgimenti di fase, il
rotore alloggia invece il magnete o l’avvolgimento di eccitazione, percorso da una
corrente continua. Poiché ogni avvolgimento è un circuito ohmico induttivo, il modello
elettrico del motore sincrono a magneti permanenti, rispetto al sistema di riferimento fisso
a, b, c, è costituito da tre equazioni differenziali di primo grado.
dλ as
⎧
=
+
v
r
i
s as
⎪ as
dt
⎪
dλ bs
⎪
⎨v bs = rs ibs +
dt
⎪
⎪
dλ cs
v
r
i
=
+
s cs
⎪ cs
dt
⎩
Controllo vettoriale
Un modello p
più semplice
p
può
p
essere ottenuto applicando
pp
ai circuiti degli
g avvolgimenti
g
di
statore una trasformazione dal sistema di riferimento trifase fisso a, b, c ad un sistema di
riferimento bifase rotante d, q, sincrono con il rotore. Assumendo che il flusso del
magnete abbia la direzione dell’asse
dell asse d si ottiene una macchina bifase fittizia con due
avvolgimenti ortogonali e rotanti.
dids
− ω r Ls i qs
dt
diqs
= Rs i qs + Ls
+ ω r Ls i ds − ω r φ mp
dt
v ds = Rs i ds + Ls
v qs
Controllo vettoriale
Sincrono
a magneti permanenti
esterni
C = Kλ mp I s sin( δ )
δ opt = 90°
Sincrono
a magneti permanenti
interni
[
(
)
Sincrono
a riluttanza
]
C = K λ mp sin( δ ) + Ld − Lq I s sin( 2δ ) I s
δ opt = 115° ÷ 125° (Ld < Lq )
(
)
C = K Ld − Lq I s2 sin( 2δ )
δ opt = 45° (Ld > Lq )
Macchina Sincrona
Nel caso di un motore a magneti permanenti esterni, la coppia, scritta secondo il sistema di riferimento d,
q rotante, vale:
C = kΦ mp I s sin( ϑ ) = kφmp iqs
A parità di intensità della corrente statorica Is, la coppia ha valore massimo se il vettore corrente è
ortogonale alla direzione del flusso del magnete permanente, cioè se ha la direzione dell’asse q. In tal
caso si ha:
I s = iqs
C = kΦ mp I s
Macchina Sincrona
Azionamenti con controllo vettoriale
La tecnica a corrente d’asse
d asse d nulla vienequasi sempre utilizzata anche per controllare motori con
magneti permanenti interni, mentre per controllare i motori a riluttanza è idealmente necessario
mantenere uguali le due componentidi corrente d’asse d e q. Per controllare la coppia di un motore
sincrono è quindi necessario:
- Un sensore di posizione per identificare la posizione del rotore e quindi quella del flusso
- Un convertitore DC/AC (inverter) controllato in corrente.
ω*
+
ωr -
r
Speed
Regulator
i*qs d,q
*
i ds= 0
Speed
Estimator
Current
Permanent
Regulated
Magnet
Synchronous
a,b,c PWM
Motor
I
Inverter
t
θr
Resolver
θr
Controllo vettoriale
La strategia di controllo del motore sincrono a magneti permanenti prevede che la componente d’asse d
della corrente sia sempre nulla, in modo da regolare la coppia agendo solo sulla componente d’asse q.
Si ottiene un funzionamento a coppia costante. Non è possibile ottenere il funzionamento a potenza
costante, con un motore sincrono a magneti permanenti poiché non è possibile intervenire sul flusso
generato dal magnete permanente e, d’altra parte, non è in genere conveniente operare con correnti
d’asse d negative.
Un funzionamento a potenza costante è invece possibile per i motori con
avvolgimento di rotore e per i motori a riluttanza.