MAT+
Spazi vettoriali: Giocando con l’algebra lineare
Prof. Antonio J. Di Scala ([email protected])
1.
È data la seguente griglia matematica (tratta dal
quotidiano “Leggo”): bisogna riempire le caselle
vuote con le cifre da 0 a 9 in modo che sommando i
numeri di una riga si ottenga il totale segnato nella
casella colorata a destra, sommando quelli di una
colonna si ottenga il totale della casella colorata in
basso e sommando quelli delle due diagonali si ottenga il totale della casella colorata dello spigolo
esterno.
Si risolva il gioco, utilizzando la teoria dei sistemi lineari.
Suggerimento: Riempire prima la griglia con i numeri sicuri come in figura e assegnare un’incognita
alle caselle mancanti. Impostare il sistema. Quante
soluzioni ha il sistema? Quante il gioco (tener conto
che le caselle devono essere numeri interi tra lo 0 e
il 9)?
2. Sia (Z, +) l’insieme dei numeri interi dove + e’ la somma usuale. Sia Z2 = {1, 0} il
campo numerico con due elementi. Definiamo una moltiplicazione ”·” tra elementi
di Z2 e Z nel modo ovvio, cioe’ se a ∈ Z allora 1·a = a and 0·a = 0. E’ (Z, +, ·, Z2 )
uno spazio vettoriale su Z2 ?.
3. Sia Z2 il campo numerico con due elementi. Sia M2×2 l’insieme delle matrici due
per due con coefficienti nel campo Z2 . Quante matrici ci sono in M2×2 ?. Osservare
1
che M2×2 e’ uno spazio vettoriale con un numero finito di vettori. Allora, il numero
di sottospazi di dimensione 1 e’ anche finito. Precisamente, quanti sottospazi di
dimensione 1 ci sono in M2×2 ?. La stessa domanda con sottospazi di dimensione
2 e’ piu’ dificile dunque non la facciamo.
4. Dimostrare che R è un Q-spazio vettoriale. E’ questo Q-spazio vettoriale uno
spazio di dimensione finita?. La risposta e’ ”NO” . Una dimostrazione segue dalla
non numerabilita’ di R.
5. Siano K1 , K2 , K3 tre campi numerici uno dentro l’altro, cioe’ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 .
Allora se i > j il campo numerico Ki diventa uno spazio vettoriale su Kj , sia
[Ki : Kj ] la dimensione di Ki pensato come Kj -spazio vetoriale. Dimostrare che:
[K3 : K1 ] = [K3 : K2 ][K2 : K1 ]
Suggerimento: Dimostrare l’ugualianza sotto l’ipotesi che tutti questi spazi hanno
dimensione finita. Inoltre, risultera’ chiaro che l’uguglianza e’ vera anche nel caso
in cui uno di questi spazi sia di dimensione infinita.
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