Esercizi sulle Disequazioni
Esercizio 1
Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni:
1.1)
x2 −1 > 0
1.2)
2− x
≤0
x+4
1.3)
x2 −1
3
<
x+3 x+3
1.4)
x2 − 6x + 9
<0
x 2 ( x 2 + 4 x + 4)
1.5)
x 2 ( x 2 + 10 x + 25)( x 2 + 6 x + 9) ≥ 0
1.6)
2x − 3
1
1
>
+
2
x − 25 x − 5 x + 5
1.7)
8 x 2 + 4 x − 14
<2
4x2 −1
1.8)
x +1
>0
x − 3x + 1
1.9)
− x 2 + 3x − 10
>0
x3 + x
2
Esercizio 2
Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni (tratte dal secondo parziale del 2002):
x2 − 4
2.1)
≥ x +1
x −1
2.2)
x2 + 2x − 3
≥ x +1
x+3
2.3)
x 2 − 3 x − 18
≤0
x 2 − 12 x + 32
1
2.4)
x 2 − 12 x + 32
>0
x 2 − 3x − 18
2.5)
x 2 − 12 x + 32
>0
x2 + 9
2.6)
x −1
> x −3
x−6
2.7)
x3 + 2x − 3
≥ x 2 + 5x − 1
x+3
2.8)
x3 − 4
≥ x 2 + 3x −1
x −1
2.9)
x3 + 2x − 3
≥ x2 + 6x − 4
x+3
Esercizio 3
Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni
3.1)
3.2)
3.3)
3.4)
3.5)
3.6)
x+ 2 > 3
2 x − 1 > x + 5
( x + 2)( x − 1)
>0
3
1
3
x + 1 < x −1
2
2
1+ x
≥0
1− x
2 x(3 − x ) ≤ 0
x 2 − x − 2 ≥ 0
2
16 − x > 0
x +1 x −1
2 − 3 >0
3x + 1
−1 > 0
3
x + 2 > −5 x − 1
x 2 − 6 x + 5 > 0
2
x − 2x − 3 < 0
x2 − 4 > 0
2
Soluzioni
Al fine di risolvere le disequazione sarà spesso utile trasformarle in altre ad esse equivalenti.
Queste trasformazioni possono essere effettuate utilizzando i due principi di equivalenza per le
disequazioni che ricordiamo:
I Principio: sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa
quantità si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data.
II Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una
stessa quantità positiva si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data; moltiplicando o
dividendo i due membri di una disequazione per una stessa quantità negativa si ottiene un’altra
disequazione equivalente alla data se si cambia il verso della disuguaglianza.
Esercizio 1
1.1)
Consideriamo la disequazione
x2 −1 > 0
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo in binomio e
avremo
x 2 − 1 > 0 ⇒ ( x − 1)( x + 1) > 0
quindi studieremo la disequazione nella forma
( x − 1)( x + 1) > 0 .
Avremo
x − 1 > 0 per
x + 1 > 0 per
–1
x >1
x > −1
+
1
–
+
La soluzione sarà quindi
x < −1
1.2)
e
x >1
Consideriamo la disequazione
2− x
≤ 0.
x+4
Avremo
2 − x ≤ 0 per
x + 4 < 0 per
− 2 + x ≥ 0 per
x < −4
–4
x≥2
–
3
2
+
–
La soluzione sarà quindi
x < −4
1.3)
e x≥2
Consideriamo la disequazione
x2 −1
3
<
x+3 x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
x 2 −1
3
x 2 −1
3
x 2 −1 − 3
x2 − 4
( x − 2)( x + 2)
<
⇒
−
<0⇒
<0⇒
<0⇒
<0
x+3 x+3
x+3 x+3
x+3
x+3
x+3
quindi studieremo la disequazione nella forma
( x − 2)( x + 2)
< 0.
x+3
Avremo
x − 2 < 0 per
x<2
x + 2 < 0 per
x + 3 < 0 per
x < −2
x < −3
–2
–3
–
+
2
–
+
La soluzione sarà quindi
x < −3
1.4)
e −2< x< 2
Consideriamo la disequazione
x2 − 6x + 9
<0
x 2 ( x 2 + 4 x + 4)
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del
numeratore e del denominatore.
•
Numeratore: x 2 − 6 x + 9
x1, 2 =
6 ± 36 − 4 ⋅ 9
6± 0
6±0
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒ x1 = x 2 = 3
2
2
2
4
quindi
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 .
Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente.
•
Denominatore: x 2 ( x 2 + 4 x + 4) . Scomponiamo il secondo fattore
x1, 2 =
− 4 ± 16 − 4 ⋅ 4
−4± 0
−4±0
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒ x1 = x2 = −2
2
2
2
quindi
x 2 + 4 x + 4 = (x + 2)2 .
Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente.
Studieremo allora la disequazione nella forma
( x − 3) 2
< 0.
x 2 ( x + 2) 2
Avremo
( x − 3) 2 < 0 per nessun val ore di x
x2 < 0
per nessun val ore di x
( x + 2) 2 < 0 per nessun val ore di x
Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto non sarà mai negativo quindi questa
disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI.
1.5)
Consideriamo la disequazione
x 2 ( x 2 + 10 x + 25)( x 2 + 6 x + 9) ≥ 0
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del
numeratore.
•
x 2 + 10 x + 25
x1, 2 =
− 10 ± 100 − 4 ⋅ 25
− 10 ± 0
− 10 ± 0
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒ x1 = x2 = −5
2
2
2
quindi
5
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5) 2 .
Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente.
•
x2 + 6x + 9
x1, 2 =
− 6 ± 36 − 4 ⋅ 9
−6± 0
−6±0
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒ x1 = x2 = −3
2
2
2
quindi
x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2 .
Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente.
Studieremo allora la disequazione nella forma
x 2 ( x + 5) 2 ( x + 3) 2 ≥ 0 .
Avremo
x2 ≥ 0
per ogni valore di x
( x + 5) ≥ 0 per ogni valore di x
2
( x + 3) 2 ≥ 0 per ogni valore di x
Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto sarà sempre positivo quindi questa
disequazione E’ SEMPRE VERIFICATA.
1.6)
Consideriamo la disequazione
2x − 3
1
1
<
+
2
x − 25 x − 5 x + 5
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
2x − 3
1
1
2x − 3
1
1
2 x − 3 − ( x + 5) − ( x − 5)
>
+
⇒
−
−
>0⇒
>0⇒
2
x − 25 x − 5 x + 5
( x − 5)( x + 5) x − 5 x + 5
( x − 5)( x + 5)
⇒
2x − 3 − x − 5 − x + 5
−3
> 0⇒
>0
( x − 5)( x + 5)
( x − 5)( x + 5)
quindi studieremo la disequazione nella forma
−3
> 0.
( x − 5)( x + 5)
6
Avremo
−3 > 0
per nessun val ore di x
x −5 > 0
x+5 > 0
per
per
5
–5
x>5
x > −5
–
+
–
La soluzione sarà quindi
−5 < x < 5
1.7)
Consideriamo la disequazione
8 x 2 + 4 x − 14
<2
4x 2 −1
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
8 x 2 + 4 x − 14
8 x 2 + 4 x − 14
8 x 2 + 4 x − 14 − 2(4 x 2 − 1)
<
2
⇒
−
2
<
0
⇒
<0⇒
4x2 −1
4x 2 −1
4x 2 −1
⇒
8 x 2 + 4 x − 14 − 8 x 2 + 2
4 x − 12
4( x − 3)
x −3
<0⇒ 2
<0⇒
<0⇒
<0
2
4x −1
4x −1
(2 x − 1)(2 x + 1)
(2 x − 1)(2 x + 1)
quindi studieremo la disequazione nella forma
x −3
< 0.
(2 x − 1)(2 x + 1)
Avremo
x −3 < 0
per x < 3
2x −1 < 0
per
x<
2x +1 < 0
per
x<−
1
2
–
1
2
+
La soluzione sarà quindi
x<−
1.8)
3
1/2
– 1/2
1
2
e
Consideriamo la disequazione
7
1
< x<3
2
–
+
x +1
>0
x − 3x + 1
2
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio al
denominatore.
•
Denominatore: x 2 − 3 x + 1 .
x1, 2
3− 5
≈ 0,38
x1 =
3± 9 −4
3± 5
2
=
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
x = 3 + 5 ≈ 2,62
2
2
quindi
3 − 5
3
5
x − +
x 2 − 3 x + 1 = x −
2 .
2
Studieremo allora la disequazione nella forma
x +1
≥0.
3 − 5 3 + 5
x −
x −
2 2
Avremo
x +1 > 0
3− 5
>0
x −
2
35 5
>0
x −
2
per x > −1
per
x>
3− 5
2
per
x>
3+ 5
2
3− 5
2
–1
–
+
La soluzione sarà quindi
−1 ≤ x <
1.9)
3− 5
2
e
x>
Consideriamo la disequazione
− x 2 + 3x − 10
>0
x3 + x
8
3+ 5
2
3+ 5
2
–
+
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi al
numeratore e al denominatore
•
Numeratore: − x 2 + 3x − 10 = − ( x 2 − 3x + 10)
x1, 2 =
3 ± 9 − 4 ⋅10
3 ± − 31
⇒ x1, 2 =
2
2
Abbiamo quindi che ∆ < 0 . Quando ∆ < 0 il trinomio di secondo grado è sempre positivo se il
coefficiente di x 2 è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di x 2 è negativo. Nel nostro
caso il trinomio è x 2 − 3 x + 10 e quindi il coefficiente di x 2 è 1 che è positivo, quindi il trinomio
x 2 − 3 x + 10 è positivo per ogni valore di x e di conseguenza − ( x 2 − 3x + 10) sarà negativo per ogni
valore di x .
•
Denominatore: x 3 + x
x 3 + x = x( x 2 + 1) .
Studieremo allora la disequazione nella forma
− ( x 2 − 3 x + 10)
>0.
x( x 2 + 1)
Avremo
− ( x 2 − 3 x + 10) > 0 per nessun val ore di x
x>0
per x > 0
x2 +1 > 0
per ogni valore di x
0
+
–
La soluzione sarà quindi
x<0
Esercizio 2
2.1)
Consideriamo la disequazione
x2 − 4
≥ x +1
x −1
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
9
x2 − 4
x2 − 4
x 2 − 4 − ( x + 1)( x − 1)
≥ x +1 ⇒
− ( x + 1) ≥ 0 ⇒
≥0⇒
x −1
x −1
x −1
⇒
x 2 − 4 − ( x 2 − 1)
x2 − 4 − x2 +1
−3
≥0⇒
≥0⇒
≥0
x −1
x −1
x −1
quindi studieremo la disequazione nella forma
−3
≥0.
x −1
Avremo
−3≥ 0
x −1 > 0
1
per nessun val ore di x
per x > 1
+
–
La soluzione sarà quindi
x <1
2.2)
Consideriamo la disequazione
x2 + 2x − 3
≥ x +1
x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
x2 + 2x − 3
x2 + 2x − 3
x 2 + 2 x − 3 − ( x + 1)( x + 3)
≥ x +1 ⇒
− ( x + 1) ≥ 0 ⇒
≥0⇒
x+3
x+3
x+3
⇒
x 2 + 2 x − 3 − ( x 2 + 3 x + x + 3)
x2 + 2x − 3 − x2 − 4x − 3
− 2x − 6
≥0⇒
≥0⇒
≥0⇒
x+3
x+3
x+3
⇒
− 2( x + 3)
≥ 0 ⇒ −2 ≥ 0
x+3
quindi studieremo la disequazione nella forma
−2 ≥ 0
ma siccome – 2 non può essere positivo questa disequazione non ammette soluzione.
2.3)
Consideriamo la disequazione
10
x 2 − 3 x − 18
≤0
x 2 − 12 x + 32
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del
numeratore e del denominatore.
•
Numeratore: x 2 − 3 x − 18
x1, 2 =
3 ± 9 − 4 ⋅ (−18)
3 ± 81
3 ± 9 x1 = −3
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 6
quindi
x 2 − 3x − 18 = ( x + 3)( x − 6) .
•
Denominatore: x 2 − 12 x + 32
x1, 2 =
12 ± 144 − 4 ⋅ 32
12 ± 16
12 ± 4 x1 = 4
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 8
quindi
x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) .
Studieremo allora la disequazione nella forma
( x + 3)( x − 6)
≤ 0.
( x − 4)( x − 8)
Avremo
x+3≤0
x−6 ≤ 0
x−4<0
x −8 < 0
per
per
per
per
x ≤ −3
x≤6
x<4
–3
4
8
x <8
+
–
e
6≤ x<8
La soluzione sarà quindi
2.4)
6
−3≤ x < 4
..
Consideriamo la disequazione
11
+
–
+
x 2 − 12 x + 32
>0
x 2 − 3x − 18
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del
numeratore e del denominatore.
•
Numeratore: x 2 − 12 x + 32
x1, 2 =
12 ± 144 − 4 ⋅ 32
12 ± 16
12 ± 4 x1 = 4
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 8
quindi
x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) .
•
Denominatore: x 2 − 3 x − 18
x1, 2 =
3 ± 9 − 4 ⋅ (−18)
3 ± 81
3 ± 9 x1 = −3
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 6
quindi
x 2 − 3x − 18 = ( x + 3)( x − 6) .
Studieremo allora la disequazione nella forma
( x − 4)( x − 8)
> 0.
( x + 3)( x − 6)
Avremo
x−4>0
x −8 > 0
x+3> 0
per
per
per
x−6 >0
per
x>4
x >8
–3
x > −3
x>6
+
4
–
La soluzione sarà quindi
x < −3
2.5)
4< x<6
..
Consideriamo la disequazione
12
x >8
6
+
8
–
+
x 2 − 12 x + 32
>0
x2 + 9
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio del
numeratore e analizziamo quello al denominatore.
•
Numeratore: x 2 − 12 x + 32
x1, 2 =
12 ± 144 − 4 ⋅ 32
12 ± 16
12 ± 4 x1 = 4
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 8
quindi
x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) .
•
Denominatore: x 2 + 9 . In questo caso il denominatore è sempre positivo perché non si
annulla mai e qualunque valore si sostituisca troviamo sempre un numero positivo. In
generale, un polinomio del tipo x 2 + a , con a positivo è sempre positivo.
Studieremo allora la disequazione nella forma
( x − 4)( x − 8)
> 0.
x2 + 9
Avremo
x−4>0
x −8 > 0
per
per
x>4
x >8
4
8
x 2 + 9 > 0 per ogni valore di x
+
–
+
La soluzione sarà quindi
x<4
e x>8
..
2.6)
Consideriamo la disequazione
x −1
> x −3
x−6
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
13
x −1
x −1
x − 1 − ( x − 3)( x − 6)
x − 1 − ( x 2 − 6 x − 3x + 18)
> x −3⇒
− ( x − 3) > 0 ⇒
>0⇒
>0⇒
x−6
x−6
x−6
x−6
⇒
x − 1 − x 2 + 9 x − 18
− x 2 + 10 x − 19
− ( x 2 − 10 x + 19)
x 2 − 10 x + 19
>0⇒
>0⇒
>0⇒
< 0.
x−6
x−6
x−6
x−6
A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: x 2 − 10 x + 19
x1, 2 =
x = 5 − 6 ≈ 2,55
10 ± 100 − 4 ⋅19
10 ± 24
10 ± 2 6
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 = 5 ± 6 ⇒ 1
2
2
2
x2 = 5 + 6 ≈ 7,45
quindi
x 2 − 10 x + 19 = ( x − (5 − 6 ))( x − (5 + 6 ))
quindi studieremo la disequazione nella forma
( x − (5 − 6 ))( x − (5 + 6 ))
< 0.
x−6
Avremo
x − (5 − 6 ) < 0
per
5− 6
4
x < (5 − 6 )
x − (5 + 6 ) < 0 per x < (5 + 6 )
x−6 < 0
per x < 6
–
5+ 6
4
6
+
–
+
La soluzione sarà quindi
x < 5− 6
2.7)
6< x < 5+ 6
e
Consideriamo la disequazione
x3 + 2x − 3
≥ x 2 + 5x − 1
x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
x3 + 2x − 3
x3 + 2x − 3
x 3 + 2 x − 3 − ( x 2 + 5 x − 1)( x + 3)
2
2
≥ x + 5x − 1 ⇒
− ( x + 5 x − 1) ≥ 0 ⇒
≥0⇒
x+3
x+3
x+3
14
x 3 + 2 x − 3 − ( x 3 + 3 x 2 + 5 x 2 + 15 x − x − 3)
x 3 + 2 x − 3 − x 3 − 8 x 2 − 14 x + 3
≥0⇒
≥0⇒
x+3
x+3
− 8 x 2 − 12 x
− 4 x(2 x + 3)
⇒
≥0⇒
≥0
x+3
x+3
⇒
quindi studieremo la disequazione nella forma
− 4 x(2 x + 3)
≥0.
x+3
Avremo
−4 ≥ 0
x≥0
per nessun val ore di x
per x ≥ 0
3
2 x + 3 ≥ 0 per x ≥ −
2
x + 3 > 0 per x > −3
–3
+
– 3/2
–
0
+
–
La soluzione sarà quindi
x < −3
2.8)
e −
3
≤x≤0
2
Consideriamo la disequazione
x3 − 4
≥ x 2 + 3x −1
x −1
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
x3 − 4
x3 − 4
x 3 − 4 − ( x 2 + 3 x − 1)( x − 1)
2
2
≥ x + 3x −1 ⇒
− ( x + 3x − 1) ≥ 0 ⇒
≥0⇒
x −1
x −1
x −1
x 3 − 4 − ( x 3 − x 2 + 3x 2 − 3 x − x + 1)
x3 − 4 − x3 − 2x 2 + 4x −1
⇒
≥0⇒
≥0⇒
x −1
x −1
− 2x2 + 4 x − 5
− (2 x 2 − 4 x + 5)
2x2 − 4x + 5
⇒
≥0⇒
≥0⇒
≤0
x −1
x −1
x −1
A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 2 x 2 − 4 x + 5
15
x1, 2 =
4 ± 16 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5
4 ± − 24
⇒ x1, 2 =
.
4
4
Abbiamo quindi che ∆ < 0 . Quando ∆ < 0 il trinomio di secondo grado è sempre positivi se il
coefficiente di x 2 è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di x 2 è negativo. Nel nostro
caso il coefficiente di x 2 è 2 che è positivo, quindi il trinomio 2 x 2 − 4 x + 5 è positivo per ogni
valore di x .
Quindi studieremo la disequazione nella forma
2x2 − 4 x + 5
≤0
x −1
e avremo
1
2x − 4 x + 5 < 0
2
per nessun val ore di x
x −1 < 0
per
x <1
–
+
La soluzione sarà quindi
x <1
2.9)
Consideriamo la disequazione
x3 + 2x − 3
≥ x2 + 6x − 4
x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra,
facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
x3 + 2x − 3
x3 + 2x − 3
x 3 + 2 x − 3 − ( x 2 + 6 x − 4)( x + 3)
≥ x2 + 6x − 4 ⇒
− ( x 2 + 6 x − 4) ≥ 0 ⇒
≥0⇒
x+3
x+3
x+3
x 3 + 2 x − 3 − ( x 3 + 3x 2 + 6 x 2 + 18 x − 4 x − 12)
x 3 + 2 x − 3 − x 3 − 9 x 2 − 14 x + 12
≥0⇒
≥0⇒
x+3
x+3
− 9 x 2 − 12 x + 9
− 3(3x 2 + 4 x − 3)
⇒
≥0⇒
≥0
x+3
x+3
⇒
A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 3 x 2 + 4 x − 3
x1, 2 =
− 4 ± 16 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−3)
− 4 ± 52
− 4 ± 2 13
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
6
6
6
16
x ⇒ x1, 2
− 2 − 13
≈ −1,87
x1 =
− 2 ± 13
3
=
⇒
3
x = − 2 + 13 ≈ 0,54
2
3
quindi
− 2 − 13 − 2 + 13
x −
3 x 2 + 4 x − 3 = 3 x −
3
3
e avremo
− 2 − 13 − 2 + 13
x −
− 3 ⋅ 3 x −
2
3
3
− 3(3 x + 4 x − 3)
≥0⇒
≥0
x +3
x +3
e quindi studieremo la disequazione nella forma
− 2 − 13
− 2 + 13
x −
− 9 x −
3
3
≥ 0.
x+3
Avremo
−9 ≥ 0
per nessun val ore di x
− 2 − 13
≥0
x −
per
3
− 2 + 13
≥0
x −
per
3
x + 3 > 0 per x > −3
− 2 − 13
x≥
3
x≥
− 2 + 13
3
+
La soluzione sarà quindi
x ≤ −3
e
− 2 − 13
− 2 + 13
≤x≤
3
3
Esercizio 3
3.1)
Consideriamo il seguente sistema
17
− 2 + 13
3
− 2 − 13
3
–3
–
+
–
x+ 2 > 3
2 x − 1 > x + 5
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
1. x + 2 > 3
x + 2 > 3 ⇒ x > 3 −1 ⇒ x > 2
quindi la soluzione della prima disequazione è
x>2
2. 2 x − 1 > x + 5
2x −1 > x + 5 ⇒ 2x − x > 5 + 1 ⇒ x > 6
quindi la soluzione della seconda disequazione è
x>6
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
1
x >1
x > 6
6
quindi la soluzione del sistema è
x>6
3.2)
Consideriamo il seguente sistema
( x + 2)( x − 1)
>0
3
1
3
x + 1 < x −1
2
2
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
1.
( x + 2)( x − 1)
>0
3
18
( x + 2)( x − 1)
> 0 ⇒ ( x + 2)( x − 1) > 0 .
3
Studiamo la disequazione nella forma
( x + 2)( x − 1) > 0
e avremo
x+2>0
x −1 > 0
per
per
–2
x > −2
x >1
+
1
–
+
quindi la soluzione della prima disequazione è
x < −2
2.
e
x >1
1
3
x + 1 < x −1
2
2
1
3
1
3
x − 3x
− 2x
x + 1 < x − 1 ⇒ x − x < −1 − 1 ⇒
< −2 ⇒
< −2 ⇒ − x < −2 ⇒ x > 2
2
2
2
2
2
2
quindi la soluzione della seconda disequazione è
x>2
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
x < −2 e x > 1
x>2
–2
quindi la soluzione del sistema è
x>2
3.3)
Consideriamo il seguente sistema
1+ x
≥0
1− x
2 x(3 − x ) ≤ 0
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
19
1
2
1+ x
≥0
1− x
1.
Avremo
1+ x ≥ 0
per
x ≥ −1
1− x > 0
per
−1 + x < 0
–1
per
x <1
1
–
+
–
quindi la soluzione della prima disequazione è
−1 ≤ x < 1
2. 2 x(3 − x ) ≤ 0
2 x(3 − x ) ≤ 0 ⇒ x(3 − x) ≤ 0 .
Studiamo la disequazione nella forma
x (3 − x ) ≤ 0 .
Avremo
x ≤ 0 per x ≤ 0
3 − x ≤ 0 per − 3 + x ≥ 0
0
per
x≥3
3
–
+
–
quindi la soluzione della seconda disequazione è
x≤0
e
x≥3
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
−1 ≤ x < 1
x ≤ 0 e x ≥ 3
–1
quindi la soluzione del sistema è
−1 ≤ x ≤ 0
3.4)
Consideriamo il seguente sistema
x 2 − x − 2 ≥ 0
2
16 − x > 0
20
0
1
3
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
1. x 2 − x − 2 ≥ 0 . Scomponiamo il trinomio x 2 − x − 2
x1, 2 =
1 ± 1 − 4 ⋅ (−2)
1± 9
1 ± 3 x1 = −1
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 2
quindi
x 2 − x − 2 = ( x + 1)( x − 2) .
Studieremo quindi la disequazione nella forma
( x + 1)( x − 2) ≥ 0 .
Avremo
x +1 ≥ 0
x−2≥0
per
per
–1
x ≥ −1
x≥2
2
+
–
+
quindi la soluzione della prima disequazione è
x ≤ −1
e
x≥2
2. 16 − x 2 > 0 .
16 − x 2 > 0 ⇒ (4 − x )(4 + x) > 0
quindi studiamo la disequazione nella forma
(4 − x)(4 + x ) > 0
e avremo
–4
4− x > 0
4+ x > 0
per
per
−4+ x < 0
x > −4
per
4
x<4
–
la soluzione della seconda disequazione è
−4 < x < 4
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
21
+
–
x ≤ −1 e x ≥ 2
−4< x< 4
–4
–1
2
4
quindi la soluzione del sistema è
− 4 < x ≤ −1
3.5)
e
2≤x<4
Consideriamo il seguente sistema
x +1 x −1
2 − 3 >0
3x + 1
−1 > 0
3
x + 2 > −5 x − 1
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
1.
x +1 x −1
−
>0
2
3
x +1 x −1
3( x + 1) − 2( x − 1)
−
>0⇒
> 0 ⇒ 3x + 3 − 2 x + 2 > 0 ⇒ x + 5 > 0 ⇒ x > −5
2
3
6
quindi la soluzione della prima disequazione è
x > −5
2.
3x + 1
−1 > 0
3
3x + 1
3x + 1 − 3
2
−1 > 0 ⇒
> 0 ⇒ 3x − 2 > 0 ⇒ x >
3
3
3
quindi la soluzione della seconda disequazione è
2
3
x>
3. x + 2 > −5 x − 1
22
x + 2 > −5 x − 1 ⇒ x + 5 x > −1 − 2 ⇒ 6 x > −3 ⇒ x > −
1
2
quindi la soluzione della terza disequazione è
x>−
1
2
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
x > −5
2
x>
3
x > − 1
2
–5
– 1/2
2/3
quindi la soluzione del sistema è
2
3
x>
3.6)
Consideriamo il seguente sistema
x 2 − 6 x + 5 > 0
2
x − 2x − 3 < 0
x2 − 4 > 0
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
3. x 2 − 6 x + 5 > 0 . Scomponiamo il trinomio x 2 − 6 x + 5
x1, 2 =
6 ± 36 − 4 ⋅ 5
6 ± 16
6 ± 4 x1 = 1
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 5
quindi
x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5) .
Studieremo quindi la disequazione nella forma
( x − 1)( x − 5) > 0 .
23
Avremo
x −1 > 0
per
x >1
x −5 > 0
per
x>5
1
5
+
–
+
quindi la soluzione della prima disequazione è
x <1
x>5
e
4. x 2 − 2 x − 3 < 0 Scomponiamo il trinomio x 2 − 2 x − 3
x1, 2 =
2 ± 4 − 4 ⋅ (−3)
2 ± 16
2 ± 4 x1 = −1
⇒ x1, 2 =
⇒ x1, 2 =
⇒
2
2
2
x2 = 3
quindi
x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1)( x − 3) .
Studieremo quindi la disequazione nella forma
( x + 1)( x − 3) < 0 .
Avremo
x +1 < 0
x −3 < 0
per
per
–1
x < −1
x<3
+
3
–
+
quindi la soluzione della seconda disequazione è
−1 < x < 3
5. x 2 − 4 > 0 .
x 2 − 4 > 0 ⇒ ( x − 2)( x + 2) > 0
quindi studiamo la disequazione nella forma
( x − 2)( x + 2) > 0
e avremo
x−2>0
x+2>0
per
per
x>2
x > −2
–2
+
24
2
–
+
la soluzione della terza disequazione è
x < −2
e
x>2
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
x <1 e x > 5
−1 < x < 3
x < −2 e x > 2
–2 –1
1
2 3
5
Poiché nessun intervallo soddisfa tutte e tre le disequazioni contemporaneamente il sistema NON
AMMETTE SOLUZIONE.
25
