LEZIONE N°3 METODI E TECNOLOGIE PER L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI π βΆ Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 11 4 π 5 - 3 -2 2 3 - 7 ….. Digitare l'equazione -1 0 1 qui. 2 3 5 8 5 6 7 ….. -3 …… .. ….. 4 8 9 N Z I NUMERI NATURALI IL CONCETTO DI SUCCESSIVO Il fulcro della consapevolezza numerica dei bambini è la successione dei vocaboli numerali che: - inizia da un numero particolare: uno - dopo ogni numero c’è sempre un altro numero - nel contare non si torna mai indietro Ciò è espresso con il concetto di «passaggio al successivo» Da conquistare 1) il successivo di n è n+1 (cioè passare al successivo equivale ad aggiungere 1) 2) I numeri naturali sono infiniti N.B.: Il meccanismo dell’ aggiungere uno è legato ragionamento per ricorrenza, con il quale una proprietà può essere estesa da un caso particolare all’altro. I Naturali e l’ordinamento Comunque presi due numeri naturali π e π, può accadere soltanto una delle tre possibilità: π < π oppure π = π oppure π > π (Legge di Tricotomia) È sempre possibile quindi confrontare due qualunque numeri naturali!! LE OPERAZIONI DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ADDIZIONE Che vuol dire π+π ? Sommare ad π tante unità quante sono quelle contenute in π E’ necessario quindi l’aspetto cardinale del numero, cioè la consapevolezza che il numero π esprime una numerosità, ma anche il ragionamento per ricorrenza, cioè aggiungere 1 π volte I termini dell’addizione 18+ addendo 13= addendo _____ 31 Somma PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE ο È una operazione interna: ∀π, π ∈ π΅, π + π ∈ π΅… ο Vale la proprietà associativa: ∀π, π, π ∈ π΅, π + π + π = π + (π + π) ο Vale la proprietà commutativa: ∀π, π ∈ π΅, π+π=π+π ο Neutralità dello 0: ∀π ∈ π΅, π+π=π+π=π Sottolineatura importante Rivediamo le proprietà dell’uguaglianza: ο Proprietà riflessiva: π = π ο Proprietà simmetrica: π = π → π = π ο Proprietà transitiva: π = π π π = π → π = π N.B.: la proprietà simmetrica fa si che io possa leggere una uguaglianza in entrambi i sensi Es: (12+5)+7=17+7 perciò 17+7=(12+5)+7 quindi: Non esiste la proprietà dissociativa!!!!!! SOTTRAZIONE Che vuol dire π−π? Si può vedere in due modi: (1)Togliere ad π tante unità quante sono quelle contenute in π (2)Trovare quel numero π che sommato a π da come risultato π L’espressione (1) presenta una procedura con cui eseguire l’operazione L’espressione (2) presenta la sottrazione come operazione inversa dell’addizione. I termini della sottrazione 65 minuendo 31 = sottraendo _____ 34 differenza Proprietà • la sottrazione non è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali: è possibile associare un risultato solo se π≥π (requisito necessario: saper riconoscere il maggiore tra due numeri) • Non vale la proprietà commutativa • Non vale la proprietà associativa Es.: (15-7)-5≠15-(7-5) Vale la proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae lo stesso numero. π − π = π + π − (π + π) Le proprietà delle operazioni e il calcolo mentale ο 55+27=55+(20+7)= (55+20)+7=75+7=82 Quali proprietà abbiamo applicato? In ogni passaggio (escluso l’ultimo) sempre la proprietà associativa ο 55+27=50+5+20+7= (50+20)+(5+7)=70+12=82 In questo caso proprietà associativa e proprietà commutativa ο 125-75= (125-25)-(75-25)=100-50=50 Qui è applicata la proprietà invariantiva Con attenzione possiamo coinvolgere insieme addizione e sottrazione: 33+49=33+(50-1)=(33+50)-1=83-1= 82 Di fatto abbiamo applicato la proprietà associativa anche in presenza della sottrazione. Perché è possibile? LE OPERAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE I termini della moltiplicazione Proprietà della moltiplicazione ο È una operazione interna: ∀π, π ∈ π΅, π β π ∈ π΅… ο Vale la proprietà associativa: ∀π, π, π ∈ π΅, π β π β π = π β (π β π) ο Vale la proprietà commutativa: ∀π, π ∈ π΅, πβπ=πβπ ο Neutralità dell’1: ∀π ∈ π΅, πβπ=πβπ=π ο 0 è elemento assorbente: ∀π ∈ π΅, π β π = π Proprietà distributiva ο E’ la proprietà che lega le operazioni di addizione e moltiplicazione e precisamente: la moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione, poiché ∀π, π, π ∈ π΅, π+π ×π=π×π+π×π ο L’addizione invece non è distributiva rispetto alla moltiplicazione, infatti: 2×3 +5≠ 2×5+3×5 N.B. 1: Quando la sottrazione è possibile, si può parlare anche di proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione. Es.: 12 − 4 × 3 = 12 × 3 − 4 × 3 N.B. 2: Per affermare che una cosa è vera bisogna dimostrare che è vera sempre, per affermare che è falsa, basta un singolo caso!!! Ancora un po’ di calcolo mentale ο ππ × ππ = ο = ππ × ππ + π + π = ο ο ο ο (proprietà…………………………..….) = ππ × ππ + ππ × π + ππ × π = (proprietà………………………………) = πππ + πππ + ππ = = πππ + ππ + πππ = (proprietà……………………….…….) = πππ + πππ = πππ (proprietà…………………….……...) ο Oppure: ο ππ × ππ = ππ × ππ − π = ππ × ππ − ππ × π = πππ − ππ = πππ Concetto di Multiplo Il numero π si dice multiplo di π se esiste un numero π tale che: π = π × π ο Dato un qualunque numero π, i suoi multipli sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando π per i vari numeri naturali. Per esempio, se il numero assegnato è 3, i suoi multipli sono: 3×0=0, 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, … , 3×10=30, … , 3×25=75, Quanti sono? Evidentemente tanti quanti sono i numeri naturali. • 0 è multiplo di qualsiasi numero • I multipli di 2 si chiamano numeri pari • Se un numero non è pari allora si dice dispari LA DIVISIONE • • • non è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali: all’operazione π: π è possibile associare un risultato solo se π è multiplo di π Non vale la proprietà commutativa Non vale la proprietà associativa: 12: 4 : 3 è possibile 12: 4: 3 non è possibile Proprietà della divisione ο Neutralità dell’1 ∀π ∈ π΅ π: π = π ο Comportamento dello 0: - ∀π ∈ π΅ π: π = π -non è possibile la divisione per 0 infatti non esiste un π ∈ π΅ πππ₯π ππ‘π π × π = π ο Vale la proprietà invariantiva π: π = π × π : π × π = π: π : (π: π) ο Vale la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione o sottrazione (quando le operazioni sono possibili) π ± π : π = (π: π) ± (π: π) Il concetto di Divisore ο Il numero π si dice divisore di π se esiste un numero π tale che: π = π × π • • • Ogni numero è divisore di se stesso 1 è divisore di ciascun numero I divisori di un numero sono sempre in numero finito: quanti sono? I Numeri primi ο Un numero che ammette come divisori solo se stesso e l’unità si ο • • • • dice primo Se un numero non è primo si dice composto 0 e 1 non sono né primi né composti I numeri primi sono infiniti: la prima dimostrazione la dobbiamo a Euclide La distribuzione dei numeri primi all’interno dei naturali non ha una apparente regolarità. Oggi i numeri primi sono molto utilizzati in crittografia Criteri di divisibilità • un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari • • • • • • (0,2,4,6,8) un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4 un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3 un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0 La Divisione con il resto Dati due qualunque numeri naturali π e π (π ≠ 0) , esistono sempre, e sono unici, due numeri π ed π tali che: π =π×π+π ο Ciò vuol dire che la divisione con il resto è sempre possibile. N.B.1: il resto è sempre minore del divisore, cioè 0 ≤ π < π N.B.2: La divisione con resto può essere vista come una generalizzazione della divisione