Lezione 4

METODI E TECNOLOGIE PER
L’INSEGNAMENTO DELLA
MATEMATICA
Lezione n°4
2016
GLI INSIEMI NUMERICI
𝐍 ∶ Numeri naturali
Z : Numeri interi
Q : Numeri razionali
R : Numeri reali
Q
A meno di
isomorfismi!!!
R
11
4
π
5
-
3
-2
2
3
-
7
…..
-1
0 1 qui.
2 3
Digitare l'equazione
5
8
5 6 7
-3
…….
.
…..
4
8 9 …..
N
Z
I NUMERI
NATURALI
IL CONCETTO DI SUCCESSIVO
Il fulcro della consapevolezza numerica dei bambini
è la successione dei vocaboli numerali che:
- inizia da un numero particolare: uno
- dopo ogni numero c’è sempre un altro numero
- nel contare non si torna mai indietro
Ciò è espresso con il concetto di «passaggio al successivo»
Da conquistare
1) il successivo di n è n+1
(cioè passare al successivo equivale ad aggiungere 1)
2) I numeri naturali sono infiniti
N.B.: Il meccanismo dell’ aggiungere uno è legato
ragionamento per ricorrenza, con il quale una proprietà
può essere estesa da un caso particolare all’altro.
I Naturali e l’ordinamento
Comunque presi due numeri naturali 𝑚 e 𝑛,
può accadere soltanto una delle tre possibilità:
𝑛 < 𝑚 oppure 𝑛 = 𝑚 oppure 𝑛 > 𝑚
(Legge di Tricotomia)
È sempre possibile quindi confrontare due
qualunque numeri naturali!!
LE OPERAZIONI DI
ADDIZIONE
E
SOTTRAZIONE
ADDIZIONE
Che vuol dire
𝑎+𝑏?
Sommare ad 𝑎 tante unità quante sono quelle
contenute in 𝑏
E’ necessario quindi l’aspetto cardinale del numero,
cioè la consapevolezza che il numero 𝑏 esprime
una numerosità, ma anche il ragionamento per
ricorrenza, cioè aggiungere 1 𝑏 volte
I termini dell’addizione
18+
13=
_____
31
addendo
addendo
Somma
PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE
 È una operazione interna:
∀𝒎, 𝒏 ∈ 𝑵, 𝒎 + 𝒏 ∈ 𝑵…
Ciò vuol dire che l’operazione somma ha sempre un risultato tra i naturali
 Vale la proprietà associativa:
∀𝒎, 𝒏, 𝒑 ∈ 𝑵, 𝒎 + 𝒏 + 𝒑 = 𝒎 + (𝒏 + 𝒑)
Tale proprietà permette di estendere l’operazione somma a più addendi senza
doversi preoccupare dell’ordine con cui vengono eseguite le operazioni
 Vale la proprietà commutativa:
∀𝒎, 𝒏 ∈ 𝑵,
𝒎+𝒏=𝒏+𝒎
 Neutralità dello 0:
∀𝒏 ∈ 𝑵,
𝒏+𝟎=𝟎+𝒏=𝒏
Tale proprietà evidenzia la prima funzione dello 0 nelle operazioni
In molti testi si trovano le proprietà enunciate nel
seguente modo:
Ricordiamo
Rivediamo le proprietà dell’uguaglianza:
• Proprietà riflessiva: 𝑎 = 𝑎
• Proprietà simmetrica: 𝑎 = 𝑏 → 𝑏 = 𝑎
• Proprietà transitiva: 𝑎 = 𝑏 𝑒 𝑏 = 𝑐 → 𝑎 = 𝑐
N.B.: la proprietà simmetrica fa si che io possa leggere una
uguaglianza in entrambi i sensi
Es: (12+5)+7=17+7 perciò 17+7=(12+5)+7
quindi:
Non esiste la proprietà dissociativa!!!!!!
SOTTRAZIONE
Che vuol dire
𝑎−𝑏?
Si può vedere in due modi:
(1)Togliere ad 𝑎 tante unità quante sono quelle
contenute in 𝑏
(2)Trovare quel numero 𝑐 che sommato a 𝑏 da come
risultato 𝑎
L’espressione (1) presenta una procedura con cui
eseguire l’operazione
L’espressione (2) presenta la sottrazione come
operazione inversa dell’addizione.
I termini della sottrazione
65 minuendo
31 =
sottraendo
_____
34
differenza
Proprietà
• la sottrazione non è una operazione interna all’insieme dei
numeri naturali: è possibile associare un risultato solo se 𝑎 ≥ 𝑏
(requisito necessario: saper riconoscere il maggiore tra due
numeri)
• Non vale la proprietà commutativa
• Non vale la proprietà associativa
Es.: (15-7)-5≠15-(7-5)
Vale la proprietà invariantiva:
la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si
addiziona o si sottrae lo stesso numero.
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 − (𝑏 + 𝑐)
Le proprietà delle operazioni e il
calcolo mentale
• 55+27=55+(20+7)= (55+20)+7=75+7=82
Quali proprietà abbiamo applicato?
In ogni passaggio (escluso l’ultimo) sempre la proprietà
associativa
• 55+27=50+5+20+7= (50+20)+(5+7)=70+12=82
In questo caso proprietà associativa e proprietà
commutativa
• 125-75= (125-25)-(75-25)=100-50=50
Qui è applicata la proprietà invariantiva
Con attenzione possiamo coinvolgere insieme
addizione e sottrazione:
33+49=33+(50-1)=(33+50)-1=83-1= 82
Di fatto abbiamo applicato la proprietà associativa
anche in presenza della sottrazione.
Perché è possibile?
LE OPERAZIONI DI
MOLTIPLICAZIONE
E
DIVISIONE
Moltiplicazione
Solitamente la moltiplicazione viene presentate come
addizione ripetuta.
𝑚 × 𝑛 = 𝑚 + 𝑚 + ⋯+ 𝑚
n volte
In questo caso i due numeri hanno un ruolo diverso:
il simbolo m mantiene il ruolo di numero, mentre n è un
aggettivo numerale cardinale (riferito a ‘volte’).
Anche i nomi assegnati ai due numeri evidenziano
quanto sopra affermato
I termini della moltiplicazione
Si può rappresentare la moltiplicazione anche in un altro modo, che
fa si che entrambi i fattori assumano lo stesso ruolo.
Vediamolo con un esempio:
𝟓×𝟒
𝟒×𝟓
4 colonne
5 colonne
4 righe
5 righe
Come si può vedere, in questo modo è più facile
riconoscere la proprietà commutativa
Proprietà della moltiplicazione
 È una operazione interna:
∀𝒎, 𝒏 ∈ 𝑵, 𝒎 ∙ 𝒏 ∈ 𝑵…
 Vale la proprietà associativa:
∀𝒎, 𝒏, 𝒑 ∈ 𝑵, 𝒎 ∙ 𝒏 ∙ 𝒑 = 𝒎 ∙ (𝒏 ∙ 𝒑)
 Vale la proprietà commutativa:
∀𝒎, 𝒏 ∈ 𝑵,
𝒎∙𝒏=𝒏∙𝒎
 Neutralità dell’1:
∀𝒏 ∈ 𝑵,
𝒏∙𝟏=𝟏∙𝒏=𝒏
 0 è elemento assorbente: ∀𝒏 ∈ 𝑵, 𝒏 ∙ 𝟎 = 𝟎
la seconda funzione dello 0 nelle operazioni
Il legame tra addizione e moltiplicazione
è la
proprietà distributiva
del prodotto rispetto alla somma
In formula:
a · (b + c) = a · b + a · c
Usando la proprietà commutativa, si può anche scrivere:
(b + c) · a = b · a + c · a
24
Osservazioni 1
1) Già nella scrittura della relazione sono
necessarie le parentesi, per indicare qual è
l’ordine delle operazioni.
a · (b + c) ≠ a · b + c
Per esempio:
3 ∙ (7 + 5) = 3 ∙ 7 + 3 ∙ 5 = 21 + 15 = 36
≠ 3 ∙ 7 + 5 = 26
16 novembre 2013 R. Manara
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Osservazioni 2
2) Infatti, il ruolo delle due operazioni non è
simmetrico: non c’è modo di “distribuire” la
somma sul prodotto.
(a ∙ b) + c ≠ (a ∙ c) + (b ∙ c)
16 novembre 2013 R. Manara
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Osservazioni 3
3) Leggendo la proprietà da destra a sinistra, si
individua la proprietà del “raccoglimento”:
←
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
↑
↑
16 novembre 2013 R. Manara
(2)
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Le due letture operative
(1)
a · ( b + c) = a · b + a · c
Per moltiplicare un numero per una somma, si
moltiplica quel numero per ciascun addendo e si
sommano i risultati.
(2)
a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)
Una somma di prodotti in cui ogni addendo presenta lo
stesso fattore (fattore comune), si può trasformare
nel prodotto di quel fattore per la somma dei
fattori “restanti” in ogni addendo.
16 novembre 2013 R. Manara
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Osservazioni 4
4) Vale anche la proprietà distributiva del
prodotto rispetto alla differenza:
(b – c) ∙ a = b ∙ a - c ∙ a
16 novembre 2013 R. Manara
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Ancora un po’ di calcolo mentale
•
𝟐𝟓 × 𝟏𝟕 =
• = 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎 + 𝟓 + 𝟐 =
(proprietà…………………………..….)
• = 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎 + 𝟐𝟓 × 𝟓 + 𝟐𝟓 × 𝟐 =
(proprietà………………………………)
• = 𝟐𝟓𝟎 + 𝟏𝟐𝟓 + 𝟓𝟎 =
• = 𝟐𝟓𝟎 + 𝟓𝟎 + 𝟏𝟐𝟓 =
(proprietà……………………….…….)
• = 𝟑𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟒𝟐𝟓
(proprietà…………………….……...)
• Oppure:
• 𝟐𝟓 × 𝟏𝟕 = 𝟐𝟓 × 𝟐𝟎 − 𝟑 = 𝟐𝟓 × 𝟐𝟎 − 𝟐𝟓 × 𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 − 𝟕𝟓 =
𝟒𝟐𝟓
Concetto di Multiplo
Il numero 𝒂 si dice multiplo di 𝒃 se esiste un numero 𝒄
tale che: 𝒂 = 𝒃 × 𝒄
• Dato un qualunque numero 𝑛, i suoi multipli sono tutti i numeri che si
ottengono moltiplicando 𝑛 per i vari numeri naturali.
Per esempio, se il numero assegnato è 3, i suoi multipli sono:
3×0=0, 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, … , 3×10=30, … , 3×25=75,
Quanti sono? Evidentemente tanti quanti sono i numeri naturali.
• 0 è multiplo di qualsiasi numero
• I multipli di 2 si chiamano numeri pari
• Se un numero non è pari allora si dice dispari
LA DIVISIONE
•
•
•
non è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali:
all’operazione 𝑎: 𝑏 è possibile associare un risultato solo se 𝑎 è multiplo di 𝑏
Non vale la proprietà commutativa
Non vale la proprietà associativa:
12: 4 : 3 è possibile
12: 4: 3 non è possibile
Proprietà della divisione
 Neutralità dell’1
∀𝒏 ∈ 𝑵
𝒏: 𝟏 = 𝒏
 Comportamento dello 0:
- ∀𝒏 ∈ 𝑵
𝟎: 𝒏 = 𝟎
-non è possibile la divisione per 0
infatti non esiste un 𝒎 ∈ 𝑵 𝐭𝐚𝐥𝐞 𝐜𝐡𝐞 𝟎 × 𝒎 = 𝒏
 Vale la proprietà invariantiva
𝒎: 𝒏 = 𝒎 × 𝒑 : 𝒏 × 𝒑 = 𝒎: 𝒄 : (𝒏: 𝒄)
 Vale la proprietà distributiva della divisione rispetto
all’addizione o sottrazione (quando le operazioni sono
possibili)
𝒎 ± 𝒏 : 𝒑 = (𝒎: 𝒑) ± (𝒏: 𝒑)
Il concetto di Divisore
• Il numero 𝑏 si dice divisore di 𝑎 se esiste un numero 𝑐
tale che: 𝑎 = 𝑏 × 𝑐
•
•
•
Ogni numero è divisore di se stesso
1 è divisore di ciascun numero
I divisori di un numero sono sempre in numero finito:
quanti sono?
I Numeri primi
• Un numero che ammette come divisori solo se stesso e l’unità si
dice primo
• Se un numero non è primo si dice composto
• 0 e 1 non sono né primi né composti
• I numeri primi sono infiniti: la prima dimostrazione la
dobbiamo a Euclide
• La distribuzione dei numeri primi all’interno dei naturali non ha
una apparente regolarità.
• Oggi i numeri primi sono molto utilizzati in crittografia
Criteri di divisibilità
• un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari
(0,2,4,6,8)
• un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o
un multiplo di 3
• un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00
oppure formano un numero multiplo di 4
• un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5
• un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3
• un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o
un multiplo di 9
• un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
La Divisione con il resto
Dati due qualunque numeri naturali 𝑎 e 𝑏 (𝑏 ≠ 0) , esistono
sempre, e sono unici, due numeri 𝑞 ed 𝑟 tali che:
𝑎 =𝑏×𝑞+𝑟
• Ciò vuol dire che la divisione con il resto è sempre possibile.
N.B.1: il resto è sempre minore del divisore, cioè 0 ≤ 𝑟 < 𝑏
N.B.2: La divisione con resto può essere vista come una
generalizzazione della divisione