Purificazione Harsanyi

Esempio 3.8 Harsanyi’s purification
Molti autori sono dell’opinione che i giochi a informazione completa costituiscono una
idealizzazione. Infatti, è difficile pensare che ci siano individui in contesti strategici che non
abbiano almeno un piccolo ammontare di informazione incompleta riguardo gli obiettivi dei loro
opponenti. Harsanyi mostra che la distinzione tra strategie pure e miste può, di fatto, essere
artificiale se si permette ai giocatori di avere un piccolo ammontare di informazione privata nei
giochi a informazione completa. Riprendiamo il tema del raffinamento (purification) delle strategie
miste da parte di Harsanyi, generalizzando l’Esempio 3.2 e riprendendo la trattazione data in
proposito da Vega-Redondo (2003) e Fudemberg e Tirole (1992).
Le due variabili casuali che fungono da perturbazione del gioco,  1 ,  2 sono distribuite
uniformemente sull’intervallo   ,   e, per quanto piccole, incidono sui payoff del gioco
matching pennies. In maniera più precisa, data una qualsiasi realizzazione di  i    ,   i payoff
del giocatore i nel gioco matching pennies riportato nella forma strategica, subiscono un
cambiamento additivo  i se gioca T e una alterazione negativa   i se sceglie C. L’assunzione
centrale, come visto nell’Esempio 3.2, è che ogni giocatore conosce soltanto la realizzazione dei
suoi tipi  i . Questi costituiscono, infatti, informazione privata. L’inserimento di queste
perturbazioni produce un gioco bayesiano in strategie pure e il profilo di strategie ottime  i* dei due
giocatori prevede che giochino Testa o Croce in funzione della realizzazione dei loro tipi t i   i .
Per ogni arbitrariamente piccolo valore di  , l’equilibrio è quindi composto dalle seguenti strategie
ottime:
(3.10)
 i* ( i )  T  i  0
 i* ( i )  C  i  0
Si noti che queste strategie sono in funzione delle perturbazioni (tipi). Ora verifichiamo che siano
delle risposte ottime calcolandoci i payoff attesi dei giocatori. Se prendiamo, ad esempio, il
giocatore I e consideriamo una particolare realizzazione del suo tipo  1    ,   e la strategia
ottima giocata dal suo rivale  2* , possiamo calcolare i suoi payoff attesi quando sceglie T,
 1 (T ,  2* ) e quando sceglie C,  2 (C,  2* ) rispettivamente:
T :  1 (T ,  2* )  (1   1 )q  (1   1 )(1  q )
(3.11)
C :  1 (C ,  2* )  (1   1 )q  (1   1 )(1  q )
Quindi, con  1 (T ,  2* ) indichiamo che il payoff del giocatore I,  1 nel giocare testa (T) è funzione
della strategia ottima del giocatore II,  2* . In particolare, riguardo la probabilità che il giocatore II
scelga t o c:

q  Pr  2* ( 2 )  t


1  q  Pr  ( 2 )  c
*
2

Sappiamo che nel gioco la probabilità a priori di giocare t e c da parte del giocatore II è
pari a q=1/2. In un gioco bayesiano questa probabilità è uguale alle credenze che i giocatori
assegnano alle scelte dei loro opponenti:

q  Pr  2* ( 2 )  t


1  q  Pr  2* ( 2 )  c
quando Pr 2  0 

1
2
quando Pr 2  0 
1
2
Quindi avremo, per il giocatore I che:
(3.12)
 1 (T ,  2* )   1 (C,  2* ) quando la variabile casuale  1  0
 1 (T ,  2* )   1 (C,  2* ) quando la variabile casuale  1  0
In altri termini per il giocatore I è vantaggioso in termini di payoff, giocare testa quando la
realizzazione del suo tipo è positiva (  1  0 ), mentre è svantaggioso (conviene giocare croce)
quando questa perturbazione è negativa (  1  0 ).
Ricordiamo che le variabili casuali sono distribuite in maniera uniforme  i    ,   . Ovviamente
avremo delle condizioni analoghe alla (3.12) per il giocatore II:
(3.13)
 2 (T ,  1* )   2 (C,  1* ) quando la variabile casuale  2  0
 2 (T ,  1* )   2 (C,  1* ) quando la variabile casuale  2  0
E’ importante sottolineare come questo equilibrio è indipendente da  . Il profilo di strategie di
equilibrio del gioco matching pennies coincide con il profilo di strategie pure dell’equilibrio
bayesiano del gioco perturbato, indipendentemente da quanto possa essere piccola la perturbazione.
Dalla combinazione della (3.12) e della (3.13) otteniamo le strategie ottime dei due giocatori (3.10)
che definiscono l’equilibrio bayesiano del gioco perturbato:
 i* ( i )  T  i  0
 i* ( i )  C  i  0
Si noti che nella (3.11) con  1  0 le scelte di testa o croce producono lo stesso payoff atteso, come
nel gioco matching pennies con le strategie miste.
In genere, negli equilibri con strategie miste si possono interpretare le strategie dei giocatori come
dipendenti da fattori minori che sono stati trascurati o omessi dalla descrizione del gioco. Quindi,
quando un gioco non ha equilibri in strategie pure dovremmo aspettarci che la strategia ottima dei
giocatori possa essere determinata da questi fattori minori che ogni giocatore osserva
indipendentemente dagli altri giocatori. In altri termini, si creano situazioni dove l’informazione
privata sebbene possa coinvolgere piccoli dettagli o fattori, può risultare decisiva.