Modellistica di sistemi dinamici meccanici

Introduzione e modellistica dei sistemi
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
meccanici in traslazione: elementi base
in traslazione: equazioni del moto
in traslazione: rappresentazione di stato
in traslazione: esempi di rappresentazione
meccanici in rotazione: elementi base
in rotazione: equazioni del moto
in rotazione: rappresentazione di stato
in rotazione: esempi di rappresentazione
2
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Corpo puntiforme in traslazione
Corpo puntiforme in traslazione di massa M
F2
M
F1
M p (t ) = F1(t ) − F2(t )
La II legge di Newton dà l’equazione del moto:
d 2p (t )
= F (t ) = ∑i Fi (t )
M p (t ) = M
dt 2
in cui Fi (t ) sono le forze esterne agenti sul corpo:
Positive se concordi con il sistema di riferimento
Negative altrimenti
Unità di misura: [F ] = N , [p ] = m, [M ] = kg
4
Molla ideale
Molla ideale di coefficiente di elasticità K
K
F
p-
F
p+
p
La forza elastica della molla è data da:
F (t ) = K ⎡⎣ p +(t ) − p −(t ) ⎤⎦
⇒ è proporzionale allo spostamento relativo delle
due estremità della molla (p+ e p− sono le posizioni
delle due estremità rispetto alla posizione di riposo)
Unità di misura: [F ] = N , [p ] = m , [K ] = N/m
5
Smorzatore ideale
Smorzatore ideale di smorzamento β
β
F
v-
F
v+
v
La forza di attrito dovuta allo smorzatore vale:
F (t ) = β ⎡⎣v +(t ) − v −(t ) ⎤⎦ = β ⎡⎣ p + (t ) − p −(t ) ⎤⎦
⇒ è proporzionale alla velocità relativa dei due
elementi che compongono lo smorzatore stesso
Unità di misura: [F ] = N , [p ] = m/s , [ β ] = Ns/m
6
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Equazioni del moto per sistemi in traslazione
Si introducono assi di riferimento concordi fra loro
per indicare le posizioni di ogni corpo in traslazione
Per ogni massa Mi (o punto materiale in traslazione
avente Mi = 0), con posizione pi e velocità vi = pi ,
vale la seconda legge di Newton espressa come:
est
k Fk (t )
M i pi (t ) = ∑
−∑
j ≠i
j
int
Fi j (t )
est
Fk
Le forze esterne
tengono conto dell’azione del
mondo esterno sull’elemento Mi e compaiono con
Segno positivo se concordi con gli assi di riferimento
Segno negativo altrimenti
8
Equazioni del moto per sistemi in traslazione
Si introducono assi di riferimento concordi fra loro
per indicare le posizioni di ogni corpo in traslazione
Per ogni massa Mi (o punto materiale in traslazione
avente Mi = 0), con posizione pi e velocità vi = pi ,
vale la seconda legge di Newton espressa come:
est
k Fk (t )
M i pi (t ) = ∑
−∑
j ≠i
j
int
Fi j (t )
int
F
Le forze interne i j tengono conto dell’interazione tra
l’elemento Mi considerato e gli altri corpi Mj tramite:
int
Molle ideali Ki j
⇒ Fi j (t ) = K i j ⎡⎣ p i (t ) − p j (t )⎤⎦
int
Smorzatori ideali βi j ⇒ Fi j (t ) = β i j ⎡⎣ p i (t ) − p j (t )⎤⎦
9
Interpretazione delle equazioni del moto
Nell’equazione del moto dell’elemento Mi
est
F
k k (t )
M i pi (t ) = ∑
−∑
j ≠i
j
Fi int
j (t )
Le forze esterne Fkest trasmettono direttamente il
moto a Mi ⇒ ne incrementano o riducono la forza
d’inerzia, a seconda del loro verso di applicazione
Le forze interne Fi int
j trasmettono invece il moto
agli altri corpi Mj tramite molle o smorzatori ⇒
riducono la forza d'inerzia di Mi
10
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Rappresentazione in variabili di stato (1/2)
Si scrivono le equazioni del moto per ogni corpo
puntiforme di massa Mi (eventualmente nulla) in
traslazione, avente posizione pi e velocità vi = pi
Si introducono due variabili di stato per ogni
elemento Mi in traslazione, scegliendo in particolare
La posizione pi
La velocità pi
Tale scelta permette di trasformare ogni equazione
del moto (equazione differenziale del II ordine) in
una coppia di equazioni differenziali del I ordine
Si associa una variabile di ingresso ad ogni forza
esterna applicata al sistema meccanico in traslazione
12
Rappresentazione in variabili di stato (2/2)
Si ricavano le equazioni di stato del tipo
x i (t ) =
dx i (t )
dt
= f i (t , x (t ),u (t ))
a partire dalle precedenti equazioni del moto,
esprimendo x i soltanto in funzione di variabili di
stato e di ingresso, se necessario esplicitando il
legame di derivazione temporale fra variabili di stato
Si ricavano le equazioni di uscita del tipo
y k (t ) = gk (t , x (t ),u (t ))
esprimendo ogni variabile di interesse yk soltanto
in funzione di variabili di stato e di ingresso
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Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Esempio #1 di rappresentazione (1/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico in traslazione, in cui
le variabili di interesse sono le posizioni p 1 e p 2
K2
β2
K1
K12
M2
F
M1
0
β1
Equazioni del moto:
p1
β12
p2
p
1) M1p 1 = 0 − ⎡⎣K 1 (p 1− 0)+β 1(p 1− 0)+K 12 (p 1−p 2)+β 12(p 1−p 2)⎤⎦
2) M2 p 2 = F − [K 2 (p2 − 0) + β2 (p2 − 0) + K 12 (p2 − p1 ) + β12 (p2 − p1 )]
15
Esempio #1 di rappresentazione (2/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico in traslazione, in cui
le variabili di interesse sono le posizioni p 1 e p 2
K2
β2
K1
K12
M2
F
M1
0
β1
Variabili di stato:
p1
β12
p2
T
p
T
x (t ) = ⎡⎣p1(t ) p2(t ) p1(t ) p2(t )⎤⎦ = ⎡⎣x1(t ) x 2(t ) x 3(t ) x 4(t )⎤⎦
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Esempio #1 di rappresentazione (3/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico in traslazione, in cui
le variabili di interesse sono le posizioni p 1 e p 2
K2
β2
K1
K12
M2
F
M1
0
β1
p1
Variabile di ingresso:
β12
p2
p
u (t ) = [F (t )]
17
Esempio #1 di rappresentazione (4/10)
Equazioni del moto:
1) M1p 1 = 0 − ⎡⎣K 1 (p 1− 0)+β 1(p 1− 0)+K 12 (p 1−p 2)+β 12(p 1−p 2)⎤⎦
2) M2 p 2 = F − ⎡⎣K 2 (p2 − 0)+β 2(p 2− 0)+K 12 (p 2−p 1)+β 12(p 2−p 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡p1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
x (t )
p (t )
x (t ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ,
u (t ) = [F (t )]
⎢p1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢⎣p2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 4 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
x 1 = dp1 dt = p1 = x 3 = f1 (t , x ,u )
x 2 = dp 2 d t = p 2 = x 4 = f 2 (t , x ,u )
18
Esempio #1 di rappresentazione (5/10)
Equazioni del moto:
1) M1p 1 = 0 − ⎡⎣K 1 (p 1− 0)+β 1(p 1− 0)+K 12 (p 1−p 2)+β 12(p 1−p 2)⎤⎦
2) M2 p 2 = F − ⎡⎣K 2 (p2 − 0)+β 2(p 2− 0)+K 12 (p 2−p 1)+β 12(p 2−p 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡p1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
x (t )
p (t )
x (t ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ,
u (t ) = [F (t )]
⎢p1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢⎣p2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 4 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
x 3 = dp1 dt = p1 = − M1 ⎡⎣K 1p 1+ β 1p 1+ K 12 ( p 1− p 2) + β 12( p 1− p 2) ⎤⎦ =
1
K 1 +K 12
K 12
β1 + β12
β12
=−
x1 +
x −
x3 +
x = f 3 (t , x ,u )
M1
M1 2
M1
M1 4
19
Esempio #1 di rappresentazione (6/10)
Equazioni del moto:
1) M1p 1 = 0 − ⎡⎣K 1 (p 1− 0)+β 1(p 1− 0)+K 12 (p 1−p 2)+β 12(p 1−p 2)⎤⎦
2) M2 p 2 = F − ⎡⎣K 2 (p2 − 0)+β 2(p 2− 0)+K 12 (p 2−p 1)+β 12(p 2−p 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡p1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
x (t )
p (t )
x (t ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ,
u (t ) = [F (t )]
⎢p1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢⎣p2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 4 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
F − 1 ⎡K p + β p +K (p − p )+ β (p − p )⎤ =
x 4 =dp2 dt = p2 = M
⎣ 2 2 2 2 12 2 1
12
2
1 ⎦
M
2
2
K12
K 2 +K12
β12
β2 +β12
=
x1 −
x2 +
x3 −
x 4 + 1 u = f 4 (t ,x ,u )
M2
M2
M2
M2
M2
20
Esempio #1 di rappresentazione (7/10)
Equazioni del moto:
1) M1p 1 = 0 − ⎡⎣K 1 (p 1− 0)+β 1(p 1− 0)+K 12 (p 1−p 2)+β 12(p 1−p 2)⎤⎦
2) M2 p 2 = F − ⎡⎣K 2 (p2 − 0)+β 2(p 2− 0)+K 12 (p 2−p 1)+β 12(p 2−p 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡p1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
x (t )
p (t )
x (t ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ,
u (t ) = [F (t )]
⎢p1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢⎣p2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 4 (t )⎥⎦
Equazioni di uscita:
y 1 = p1 = x 1 = g1 (t ,x ,u )
⎡y 1 (t )⎤
y (t ) = ⎢
⎥
y 2 = p2 = x 2 = g2 (t ,x ,u )
⎣y 2 (t )⎦
21
Esempio #1 di rappresentazione (8/10)
Equaz. di stato: ⎧x 1 = x 3
⎪x 2 = x 4
⎪
K1 +K12
K12
β1 +β12
β12
⎨x 3 = − M x 1 + M x 2 − M x 3 + M x 4
1
1
1
1
⎪
β12
β2 +β12
K12
K 2 +K12
⎪x 4 = M x 1 − M x 2 + M x 3 − M x 4 + M1 u
2
2
2
2
2
⎩
Equaz. di uscita: ⎧y 1 = x 1
⎨y = x
⎩ 2 2
Se M1, M2, K1, K2, K12, β1, β2 e β12 sono costanti ⇒
il sistema è LTI e ha rappresentazione di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
22
Esempio #1 di rappresentazione (9/10)
Se M1, M2, K1, K2, K12, β1, β2 e β12 sono costanti ⇒
il sistema è LTI e ha rappresentazione di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
0
1
0
⎡ 0
⎤
⎡0⎤
⎢ 0
⎥
0
0
1
⎢0⎥
K +K
K 12
β +β
β12 ⎥
⎢ ⎥
A = ⎢− 1 12
,B = ⎢ 0 ⎥,
− 1 12
⎢ M1
M1
M1
M1 ⎥
⎢1 ⎥
K 2 +K 12
β12
β2 +β12 ⎥
⎢ K 12
⎢⎣M2 ⎥⎦
−
−
⎢⎣ M2
M2
M2
M2 ⎥⎦
⎡1 0 0 0⎤
⎡0⎤
C =⎢
,D = ⎢ ⎥
⎥
⎣0 1 0 0⎦
⎣0⎦
23
Esempio #1 di rappresentazione (10/10)
Nota: si può modellizzare il fenomeno dell’attrito
mediante uno smorzatore equivalente avente
un’estremità fissa e lo smorzamento βi uguale al
coefficiente d’attrito viscoso; il sistema considerato
in quest’esempio è infatti equivalente al seguente:
K2
K1
0
β1
K12
M2
F
M1
p1
β2
β12
p2
p
24
Esempio #2 di rappresentazione (1/5)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente levitatore magnetico, in cui y (t ) = p (t )
e l’elettromagnete genera la forza f (t ) = ki i 2(t ) p 2(t )
i
corrente di alimentazione
dell’elettromagnete
trasduttore ottico
di posizione
elettromagnete
0
p
M
f
sfera metallica
di massa M
Mg
Equazione del moto:
M p (t ) = Mg − f (t ) = Mg − ki i 2 (t ) p 2 (t )
25
Esempio #2 di rappresentazione (2/5)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente levitatore magnetico, in cui y (t ) = p (t )
e l’elettromagnete genera la forza f (t ) = ki i 2(t ) p 2(t )
i
corrente di alimentazione
dell’elettromagnete
trasduttore ottico
di posizione
elettromagnete
0
p
M
f
sfera metallica
di massa M
Mg
⎡p (t )⎤ ⎡ x1(t ) ⎤
Variabili di stato: x (t ) = ⎢
=
⎢x (t )⎥
⎥
p
(
t
)
⎣
⎦ ⎣ 2 ⎦
26
Esempio #2 di rappresentazione (3/5)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente levitatore magnetico, in cui y (t ) = p (t )
e l’elettromagnete genera la forza f (t ) = ki i 2(t ) p 2(t )
i
corrente di alimentazione
dell’elettromagnete
trasduttore ottico
di posizione
elettromagnete
0
p
M
f
sfera metallica
di massa M
Mg
Variabile di ingresso: u (t ) = ⎡⎣i (t )⎤⎦
27
Esempio #2 di rappresentazione (4/5)
Equazione del moto:
M p (t ) = Mg − ki i 2 (t ) p 2 (t )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡p (t )⎤ ⎡x1(t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) = ⎡⎣i (t )⎤⎦
=⎢
⎥
⎥
⎣p (t )⎦ ⎣x 2 (t )⎦
Equazioni di stato:
x1 = dp dt = p = x 2 = f1 (t , x ,u )
ki i 2
ki u 2
=g −
= f 2 (t , x ,u )
x 2 = dp dt = p = g −
2
2
Mp
M x1
Equazione di uscita:
y = p = x1 = g (t , x ,u )
28
Esempio #2 di rappresentazione (5/5)
Equazioni di stato: ⎧x 1 = x 2
⎨
2
2
g
k
M
u
x
x
=
−
(
)
1
i
⎩ 2
Equazione di uscita: y = x 1
Il sistema risulta non lineare, a causa della forza di
attrazione f dell’elettromagnete di tipo non lineare
Il sistema è inoltre dinamico, a tempo continuo,
a dimensione finita (n =2), SISO (p =q =1),
proprio, stazionario nel caso ki e M siano costanti
La forza peso Mg è esterna al sistema ma costante
⇒ non compare nel vettore di ingresso u ma solo
con il termine costante g nelle equazioni di stato
29
Esempio #3 di rappresentazione (1/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico, in cui y (t ) = v (t ) = p (t )
F
β
M
p, v
pA , vA
A
K
0
Equazioni del moto:
1) M A pA = 0 ⋅ pA = 0 − ⎡⎣β(pA − p ) + K (pA − 0)⎤⎦
2) M p = F − ⎡⎣β(p − pA )⎤⎦
30
Esempio #3 di rappresentazione (2/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico, in cui y (t ) = v (t ) = p (t )
F
β
M
p, v
A
K
pA , vA
0
Variabili di stato:
⎡pA (t )⎤ ⎡x1(t )⎤
⎢ p (t ) ⎥ ⎢x (t )⎥
x (t ) = ⎢
⎥=⎢ 2 ⎥
⎢pA (t )⎥ ⎢x 3(t )⎥
⎢⎣ p (t ) ⎥⎦ ⎢⎣x 4 (t )⎥⎦
31
Esempio #3 di rappresentazione (3/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico, in cui y (t ) = v (t ) = p (t )
F
β
M
p, v
A
pA , vA
K
0
Variabile di ingresso:
u (t ) = ⎡⎣F (t )⎤⎦
32
Esempio #3 di rappresentazione (4/10)
Equazioni del moto:
1) 0 = −β (pA − p ) − K pA
2) Mp = F − β (p − pA )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡pA (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢ p (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
=⎢
x (t ) = ⎢
,
u (t ) = [F (t )]
⎥
⎥
x 3 (t )
pA (t )
⎢ p (t ) ⎥ ⎢x (t )⎥
⎣
⎦ ⎣ 4 ⎦
Equazioni di stato:
x 1 = dpA dt = pA = x 3 = f1 (t , x , u )
x 2 = dp dt = p = x 4 = f 2 (t , x , u )
x 3 = dpA dt = pA = ? (conseguenza di M A = 0 nell'equaz. 1)
⇒ pA non è una variabile di stato e non compare in x
33
Esempio #3 di rappresentazione (5/10)
Equazioni del moto:
1) 0 = −β (pA − p ) − K pA
2) Mp = F − β (p − pA )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡pA (t )⎤ p (t )
⎢ p (t ) ⎥ ⎡ A ⎤ ⎡x1 (t )⎤
= ⎢ p (t ) ⎥ = ⎢x 2 (t )⎥ ,
x (t ) = ⎢
⎥
pA (t ) ⎢
⎢ p (t ) ⎥ ⎣ p (t ) ⎥⎦ ⎢⎣x 3 (t )⎥⎦
⎣
⎦
Equazioni di stato:
u (t ) = [F (t )]
x 1 = dpA dt = pA = p − K p A = − K x 1 + x 3 = f1 (t , x , u )
β
β
x 2 = dp d t = p = x 3 = f 2 (t , x , u )
34
Esempio #3 di rappresentazione (6/10)
Equazioni del moto:
1) 0 = −β (pA − p ) − K pA
2) Mp = F − β (p − pA )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡pA (t )⎤ p (t )
⎢ p (t ) ⎥ ⎡ A ⎤ ⎡x1 (t )⎤
= ⎢ p (t ) ⎥ = ⎢x 2 (t )⎥ ,
x (t ) = ⎢
⎥
pA (t ) ⎢
⎢ p (t ) ⎥ ⎣ p (t ) ⎥⎦ ⎢⎣x 3 (t )⎥⎦
⎣
⎦
Equazioni di stato:
u (t ) = [F (t )]
β
β
x 3 = dp dt = p = F −
( p − p A ) = 1 u − (x 3 − x 1 ) =
M M
M
M
β ⎡
1
= u−
x 3 − − K x 1 + x 3 ⎤ = − K x 1 + 1 u = f 3 (t , x , u )
⎥⎦
M
M
β
M
M ⎢⎣
(
)
35
Esempio #3 di rappresentazione (7/10)
Equazioni del moto:
1) 0 = −β (pA − p ) − K pA
2) Mp = F − β (p − pA )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡pA (t )⎤ p (t )
⎢ p (t ) ⎥ ⎡ A ⎤ ⎡x1 (t )⎤
= ⎢ p (t ) ⎥ = ⎢x 2 (t )⎥ ,
x (t ) = ⎢
⎥
pA (t ) ⎢
⎢ p (t ) ⎥ ⎣ p (t ) ⎥⎦ ⎢⎣x 3 (t )⎥⎦
⎣
⎦
Equazione di uscita:
u (t ) = [F (t )]
y = p = x 3 = g (t , x , u )
36
Esempio #3 di rappresentazione (8/10)
Equazioni di stato:
⎧x = −K x +x
⎪ 1
β 1 3
⎪
⎨x 2 = x 3
⎪
K x +1u
x
=
−
3
1
⎪
M
M
⎩
y = x3
Equazione di uscita:
Poiché x2 = p non compare nelle equazioni di stato
o di uscita ⇒ si può semplificare il vettore di stato
⎡pA (t )⎤
pA (t )⎤ ⎡x1 (t )⎤
⎡
=
x (t ) = ⎢ p (t ) ⎥ =
⎢⎣ p (t ) ⎥⎦ ⎢⎣ p (t ) ⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦
⇒
⎧
K x +x
x
=
−
1
2
⎪ 1
β
⎨
⎪x 2 = − K x1 + 1 u
M
M
⎩
y = x2
37
Esempio #3 di rappresentazione (9/10)
Equazioni di stato:
⎧
K x +x
x
=
−
1
2
⎪ 1
β
⎨
⎪x 2 = − K x1 + 1 u
M
M
⎩
y = x2
Equazione di uscita:
Se M, K e β sono costanti, il sistema è LTI ⇒
ha come rappresentazione in variabili di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
⎡ − K 1⎤
0⎤
⎡
⎢ β
⎥, B =
A=
=
=
,
0
1
,
0
C
D
⎢
⎥
⎡
⎤
1
⎣
⎦
⎢ K
⎥
⎢
⎥
0
−
M
⎣
⎦
⎢⎣ M
⎥⎦
38
Esempio #3 di rappresentazione (10/10)
Le due semplificazioni in x sono di natura diversa
pA non è una variabile di stato indipendente, poiché
l’equazione del moto del punto materiale A di
massa nulla lega pA ad altre due variabili di stato
K
K
0 = −β (pA − p ) − K pA ⇒ pA = p − pA = x 2 − x1
β
β
(in analogia col caso delle reti elettriche degeneri)
p non compare nelle equazioni di stato o di uscita,
per cui la rappresentazione minima in variabili di
stato non ne richiede la presenza (diverso sarebbe
stato ad esempio il caso in cui y (t ) = p (t ) ... )
39
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Corpo puntiforme in rotazione
Corpo puntiforme in rotazione di inerzia J
θ, ω
T2
J
J θ (t ) = T1(t ) − T 2(t )
T1
ω
La II legge di Newton dà l’equazione del moto:
d 2θ (t )
J θ (t ) = J
= T (t ) = ∑i T i (t )
2
dt
in cui Ti (t ) sono le coppie esterne agenti sul corpo:
Positive se concordi con il sistema di riferimento
Negative altrimenti
Unità di misura: [T ] = N m , [θ ] = rad, [J ] = kg m2
41
Molla ideale
Molla ideale di coefficiente di elasticità torsionale K
T
T
θ+ K
ω
θ−
T
T
La coppia elastica della molla è data da:
T (t ) = K ⎡⎣θ + (t ) − θ −(t ) ⎤⎦
⇒ è proporzionale alla rotazione relativa delle due
estremità della molla (θ+ ,θ− sono le posizioni angolari
delle due estremità rispetto alla posizione di riposo)
Unità di misura: [T ] = N m , [θ ] = rad, [K ] = N m/rad
42
Smorzatore ideale
Smorzatore ideale di smorzamento β
T
T
ω+
β
ω−
T
T
La coppia di attrito dovuta allo smorzatore vale:
T (t ) = β ⎡⎣ω+(t ) − ω−(t ) ⎤⎦ = β ⎡⎣θ + (t ) − θ −(t ) ⎤⎦
⇒ è proporzionale alla velocità angolare relativa
dei due elementi che compongono lo smorzatore
Unità di misura: [T ] = N m,[θ ] = rad/s,[β ] = N m s/rad
43
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Equazioni del moto per sistemi in rotazione
Si introducono sistemi di riferimento (e quindi versi di
rotazione) concordi fra loro per indicare le posizioni
angolari di ogni corpo in rotazione
Per ogni corpo Ji (o punto materiale in rotazione con
Ji = 0), con posizione angolare θi e velocità angolare
ωi =θi , vale la seconda legge di Newton nella forma:
est
T
k k (t )
J i θi (t ) = ∑
l ≠i int
l T i l (t )
−∑
Le coppie esterne Tkest tengono conto dell’azione
del mondo esterno sull’elemento Ji e compaiono con
Segno positivo se concordi con i sistemi di riferimento
Segno negativo altrimenti
45
Equazioni del moto per sistemi in rotazione
Si introducono sistemi di riferimento (e quindi versi di
rotazione) concordi fra loro per indicare le posizioni
angolari di ogni corpo in rotazione
Per ogni corpo Ji (o punto materiale in rotazione con
Ji = 0), con posizione angolare θi e velocità angolare
ωi =θi , vale la seconda legge di Newton nella forma:
est
T
k k (t )
J i θi (t ) = ∑
l ≠i int
l T i l (t )
−∑
Le coppie interne Tilint tengono conto dell’interazione
tra l’elemento Ji considerato e gli altri corpi Jl tramite:
int
Molle ideali Ki l
⇒ T i l (t ) = K i l [θi (t )−θl (t )]
Smorzatori ideali βi l
⇒ T i l (t ) = β i l [θ i (t ) − θ l (t )]
int
46
Interpretazione delle equazioni del moto
Nell’equazione del moto dell’elemento Ji
est
T
k k (t )
J i θi (t ) = ∑
l ≠i int
l T i l (t )
−∑
Le coppie esterne Tkest trasmettono direttamente il
moto a Ji ⇒ ne incrementano o riducono la coppia
d’inerzia, a seconda del loro senso di rotazione
Le coppie interne Tilint trasmettono invece il moto
agli altri corpi Jl tramite molle o smorzatori ⇒
riducono la coppia d'inerzia di Ji
47
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Rappresentazione in variabili di stato (1/2)
Si scrivono le equazioni del moto per ogni corpo
in rotazione di inerzia Ji (eventualmente nulla), con
posizione angolare θi e velocità angolare ωi =θi
Si introducono due variabili di stato per ogni
elemento Ji in rotazione, scegliendo in particolare
La posizione angolare θi
La velocità angolare θi
Tale scelta permette di trasformare ogni equazione
del moto (equazione differenziale del II ordine) in
una coppia di equazioni differenziali del I ordine
Si associa una variabile di ingresso a ogni coppia
esterna applicata al sistema meccanico in rotazione
49
Rappresentazione in variabili di stato (2/2)
Si ricavano le equazioni di stato del tipo
x i (t ) =
dx i (t )
dt
= f i (t , x (t ),u (t ))
a partire dalle precedenti equazioni del moto,
esprimendo x i soltanto in funzione di variabili di
stato e di ingresso, se necessario esplicitando il
legame di derivazione temporale fra variabili di stato
Si ricavano le equazioni di uscita del tipo
y k (t ) = gk (t , x (t ),u (t ))
esprimendo ogni variabile di interesse yk soltanto
in funzione di variabili di stato e di ingresso
50
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici
Esempio #1 di rappresentazione (1/9)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico in rotazione, in cui le
variabili di interesse sono θ 2 e ω2 = θ2
β12
β1
Tm
θ1
J1
K12
J2
Tr
θ2
Equazioni del moto:
1) J 1θ 1 = Tm − ⎡⎣β 1(θ 1− 0) + K 12 (θ 1−θ 2) + β 12(θ 1−θ 2)⎤⎦
2) J 2θ 2 = −Tr − ⎡⎣K 12 (θ 2−θ 1) + β 12(θ 2−θ 1)⎤⎦
52
Esempio #1 di rappresentazione (2/9)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico in rotazione, in cui le
variabili di interesse sono θ 2 e ω2 = θ2
β12
β1
Tm
J1
θ1
K12
J2
Tr
θ2
Variabili di stato:
⎡θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ (t )⎥ ⎢x (t )⎥
x (t ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥
⎢θ1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢⎣θ2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 4 (t )⎥⎦
53
Esempio #1 di rappresentazione (3/9)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente sistema meccanico in rotazione, in cui le
variabili di interesse sono θ 2 e ω2 = θ2
β12
β1
Tm
θ1
J1
K12
J2
Tr
θ2
Variabili di ingresso:
⎡Tm (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
u (t ) =
⎢⎣Tr (t ) ⎥⎦ = ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
54
Esempio #1 di rappresentazione (4/9)
Equazioni del moto:
1) J 1θ 1 = Tm − ⎡⎣β 1(θ 1− 0)+K 12 (θ 1−θ 2)+β 12(θ 1−θ 2)⎤⎦
2) J 2θ 2 = −Tr − ⎡⎣K 12 (θ 2−θ 1)+β 12(θ 2−θ 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ2 (t )⎥ ⎢x 2 (t )⎥
⎡Tm (t )⎤ = ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
u
t
=
=
,
(
)
⎢⎣Tr (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
θ1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢θ (t )⎥ ⎢x (t )⎥
⎣2 ⎦ ⎣ 4 ⎦
Equazioni di stato:
x 1 = d θ1 dt = θ1 = x 3 = f1 (t ,x ,u )
x 2 = d θ2 dt = θ2 = x 4 = f 2 (t ,x ,u )
55
Esempio #1 di rappresentazione (5/9)
Equazioni del moto:
1) J 1θ 1 = Tm − ⎡⎣β 1(θ 1− 0)+K 12 (θ 1−θ 2)+β 12(θ 1−θ 2)⎤⎦
2) J 2θ 2 = −Tr − ⎡⎣K 12 (θ 2−θ 1)+β 12(θ 2−θ 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ2 (t )⎥ ⎢x 2 (t )⎥
⎡Tm (t )⎤ = ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
u
t
=
=
,
(
)
⎢⎣Tr (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
θ1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢θ (t )⎥ ⎢x (t )⎥
⎣2 ⎦ ⎣ 4 ⎦
Equazioni di stato:
x 3 = d θ1 dt = θ1 = Tm J1 − ⎡⎣β 1θ 1 + K 12(θ 1− θ 2) + β 12(θ 1− θ 2)⎤⎦ J1 =
β1 + β12
β 12
K 12
K 12
u1
=−
x1 +
x2 −
x3 +
x 4 + = f 3 (t,x,u )
J1
J1
J1
J1
J1
56
Esempio #1 di rappresentazione (6/9)
Equazioni del moto:
1) J 1θ 1 = Tm − ⎡⎣β 1(θ 1− 0)+K 12 (θ 1−θ 2)+β 12(θ 1−θ 2)⎤⎦
2) J 2θ 2 = −Tr − ⎡⎣K 12 (θ 2−θ 1)+β 12(θ 2−θ 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ2 (t )⎥ ⎢x 2 (t )⎥
⎡Tm (t )⎤ = ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
u
t
=
=
,
(
)
⎢⎣Tr (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
θ1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢θ (t )⎥ ⎢x (t )⎥
⎣2 ⎦ ⎣ 4 ⎦
Equazioni di stato:
x 4 = d θ2 dt = θ2 = −Tr J 2 − ⎡⎣K 12(θ2 − θ1) + β 12(θ2 − θ1)⎤⎦ J 2 =
K 12
K 12
β12
β 12
u2
x1 −
x2 +
x 3−
x4 −
=
= f 4 (t , x ,u )
J2
J2
J2
J2
J2
57
Esempio #1 di rappresentazione (7/9)
Equazioni del moto:
1) J 1θ 1 = Tm − ⎡⎣β 1(θ 1− 0)+K 12 (θ 1−θ 2)+β 12(θ 1−θ 2)⎤⎦
2) J 2θ 2 = −Tr − ⎡⎣K 12 (θ 2−θ 1)+β 12(θ 2−θ 1)⎤⎦
Variabili di stato e di ingresso:
⎡θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ2 (t )⎥ ⎢x 2 (t )⎥
⎡Tm (t )⎤ = ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
u
t
=
=
,
(
)
⎢⎣Tr (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
θ1 (t )⎥ ⎢x 3 (t )⎥
⎢θ (t )⎥ ⎢x (t )⎥
⎣2 ⎦ ⎣ 4 ⎦
Equazioni di uscita:
y 1 = θ2 = x 2 = g1 (t ,x ,u )
y 2 = θ2 = x 4 = g2 (t ,x ,u )
⎡y 1 (t )⎤
y (t ) = ⎢
⎥
⎣y 2 (t )⎦
58
Esempio #1 di rappresentazione (8/9)
Equaz. di stato: ⎧x 1 = x 3
⎪x 2 = x 4
⎪
K12
K12
β1 +β12
β12
⎨x 3 = − J x 1 + J x 2 − J x 3 + J x 4 + J1 u1
1
1
1
1
1
⎪
β12
β12
K12
K 12
⎪x 4 = J x 1 − J x 2 + J x 3 − J x 4 − J1 u 2
2
2
2
2
2
⎩
Equaz. di uscita: ⎧y 1 = x 2
⎨y = x
⎩ 2 4
Se J1, J2, K12, β1 e β12 sono costanti, il sistema è LTI
⇒ ha come rappresentazione in variabili di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
59
Esempio #1 di rappresentazione (9/9)
Se J1, J2, K12, β1 e β12 sono costanti, il sistema è LTI
⇒ ha come rappresentazione in variabili di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
⎡0
0
1
0 ⎤
0 ⎤
⎡ 0
⎢0
⎢ 0
0
0
1 ⎥
0 ⎥
⎢
⎥
K 12 K 12
β1 +β12 β12 ⎥
⎢
A= −
,B = ⎢ 1
0 ⎥,
−
⎢ J1
J1
J1
J1 ⎥
⎢ J1
⎥
β12
β12 ⎥
⎢
⎥
⎢ K 12 − K 12
1
−
0
−
⎢⎣
J 2 ⎥⎦
⎢⎣ J 2
J2
J2
J 2 ⎥⎦
⎡0 1 0 0⎤
⎡0 0⎤
C =⎢
,D = ⎢
⎥
⎥
⎣0 0 0 1⎦
⎣0 0⎦
60
Esempio #2 di rappresentazione (1/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
M Fo (t )
θ
g
β
l
K
Fv (t )
Ipotesi: l’asta è rigida e di massa trascurabile ⇒
il pendolo ha momento d’inerzia pari a quello di una
massa puntiforme M su un’orbita circolare di raggio l
J = Ml 2
61
Esempio #2 di rappresentazione (2/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
Fo (t )
M Fo (t )
θ
g
l
K
β
Fv (t )
θ
l
T = l ∧ Fo
Fo
TF = l Fo sin(π /2 − θ )
o
= l Fo cos θ
Equazione del moto:
J θ = TF + … =
o
= l Fo cos θ + …
62
Esempio #2 di rappresentazione (3/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
M Fo (t )
θ
g
Fv (t )
l
K
β
θ
Fv (t ) TF
v
l
= l ∧ Fv
TF = l Fv sin(π − θ )
v
= l Fv sinθ
Equazione del moto:
J θ = TF +TF + … =
o
v
= l Fo cos θ + l Fv sinθ + …
63
Esempio #2 di rappresentazione (4/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
M Fo (t )
θ
g
Fv (t )
l
K
β
θ
l
Mg
TMg = l ∧ M g
TMg = l Mg sin(π − θ )
= l Mg sinθ
Equazione del moto:
J θ = TF +TF +TMg − ⎡⎣ … =
o
v
= l Fo cos θ + l Fv sinθ + l Mg sinθ − …
64
Esempio #2 di rappresentazione (5/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
M Fo (t )
θ
g
β
l
K
Fv (t )
Equazione del moto:
J θ = TF +TF +TMg − ⎡⎣K (θ − 0) + β (θ − 0)⎤⎦ =
o
v
= l Fo cos θ + l Fv sinθ + l Mg sinθ − K θ − βθ
65
Esempio #2 di rappresentazione (6/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
M Fo (t )
θ
g
β
l
K
Fv (t )
Variabili di stato:
⎡θ (t )⎤ ⎡ x1(t ) ⎤
x (t ) = ⎢
=⎢
⎥
⎥
(
)
x
t
θ
t
(
)
⎣
⎦ ⎣ 2 ⎦
66
Esempio #2 di rappresentazione (7/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del
seguente pendolo inverso di lunghezza l e massa
M , in cui le variabili di interesse sono θ e ω = θ
M Fo (t )
θ
g
β
l
K
Fv (t )
Variabili di ingresso:
⎡Fo (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤
u (t ) = ⎢
=⎢
⎥
⎥
(
)
u
t
(
)
F
t
⎣v ⎦ ⎣ 2 ⎦
67
Esempio #2 di rappresentazione (8/10)
Equazione del moto:
J θ = l Fo cos θ + l Fv sinθ + l Mg sinθ − K θ − βθ , J = Ml 2
Variabili di stato e di ingresso:
⎡Fo (t )⎤ ⎡u1(t )⎤
⎡θ (t )⎤ ⎡x1(t )⎤
=⎢
=⎢
,
x (t ) = ⎢
u (t ) = ⎢
⎥
⎥
⎥
⎥
⎣θ (t )⎦ ⎣x 2 (t )⎦
⎣Fv (t )⎦ ⎣u2 (t )⎦
Equazioni di stato:
x 1 = d θ dt = θ = x 2 = f1 (t , x , u )
[
]
x 2 = d θ dt = θ = 1 2 l Fo cos θ + l Fv sinθ + l M g sinθ − K θ − βθ =
Ml
β
g
K
1
1
u1 cos x 1 +
u 2 sin x 1 + sin x 1 − 2 x 1 − 2 x 2 = f 2 (t , x , u )
=
Ml
Ml
l
Ml
Ml
68
Esempio #2 di rappresentazione (9/10)
Equazione del moto:
J θ = l Fo cos θ + l Fv sinθ + l Mg sinθ − K θ − βθ , J = Ml 2
Variabili di stato e di ingresso:
⎡Fo (t )⎤ ⎡u1(t )⎤
⎡θ (t )⎤ ⎡x1(t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) = ⎢
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎥
⎥
⎣θ (t )⎦ ⎣x 2 (t )⎦
⎣Fv (t )⎦ ⎣u2 (t )⎦
Equazioni di uscita:
y 1 = θ = x 1 = g 1 (t , x , u )
y 2 = θ = x 2 = g 2 (t , x , u )
⎡y 1 (t )⎤
y (t ) = ⎢
⎥
(
)
y
t
⎣ 2 ⎦
69
Esempio #2 di rappresentazione (10/10)
Equaz. di stato: ⎧⎪x 1 = x 2
⎨x = u1cos x 1 + u 2 sin x 1 + g sin x − K x 1 − βx 2
1
2
2
⎪⎩ 2
Ml
Ml
l
Ml
Ml
Equaz. di uscita: ⎧y 1 = x 1
⎨y = x
⎩ 2 2
Il sistema è non lineare, a causa dei vari termini
trigonometrici e dei prodotti incrociati stati-ingressi
Il sistema è inoltre dinamico, a tempo continuo,
a dimensione finita (n =2), MIMO (p =q =2),
proprio, stazionario se M, l, K, β e g sono costanti
La forza peso Mg è esterna al sistema ma costante
⇒ non compare nel vettore di ingresso u
70