Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali 1

Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
Unità Didattica
N° 12
I logaritmi e le equazioni esponenziali
1) Potenza con esponente intero di un numero reale.
2) Potenza con esponente razionale.
3) Potenza con esponente reale di un numero reale positivo.
4) Funzione esponenziale e curva esponenziale.
5) Equazione esponenziale normale
6) Risoluzione di alcune equazioni esponenziali.
7) Definizione di logaritmo.
8) Funzione logaritmo..e curva logaritmica.
9) Teoremi fondamentali sui logaritmi
10) Equazioni esponenziali ed equazioni logaritmiche
11) Inequazioni logaritmiche.
12) Inequazioni esponenziali.
1
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2
Potenza con esponente intero di un numero reale
Se a è un numero reale ed n un numero intero positivo , sappiamo che il simbolo a n rappresenta il
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a⋅""a
1 2 3 4 5 6 7 8""⋅⋅ a
prodotto di n fattori tutti uguali ad a , cioè :
Le potenze ad esponente negativo vengono definite mediante la seguente identità : a −n =
1
an
Per le potenze ad esponente intero ( positivo o negativo ) valgono le cinque seguenti proprietà :
an ⋅ am = an + m
(a b )
a n:a m = a n − m
n
= an ⋅ an
( a n )m
n
an
⎛ a⎞
⎜ ⎟ = n = a n :b n
⎝ b⎠
b
= a n⋅m
a0 = 1
Inoltre si pone per convenzione :
Potenze con esponente razionale
Abbiamo definito la potenza di un numero reale a avente come esponente un numero intero relativo
Vogliamo ampliare il concetto di potenza analizzando il caso in cui la base della potenza è un
numero reale positivo ( o nullo ) e l’esponente è un numero razionale ( cioè un numero frazionario )
Se a è un numero reale non negativo ed m ed n sono due numeri interi positivi , le potenze ad
esponente razionale vengono definite dalle due seguenti identità :
m
an =
n
am
a
−
m
n
1
=
a
m
n
dove il radicale è considerato in senso aritmetico . Non si definiscono le potenze con esponente
razionale dei numeri negativi .
<< Ogni potenza avente base positiva ed
esponente razionale è equivalente ad un radicale , e viceversa , ogni radicale
è equivalente ad una potenza avente base positiva ed esponente razionale >>.
Le potenze ad esponente razionale conservano tutte le proprietà formali delle potenze ad esponente
intero , cioè se a , b ∈ R + , m , n , p , q ∈ N
m
n
a ⋅a
p
q
= a
m
p
+
n
q
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m
n
a :a
p
q
= a
m
p
−
n
q
abbiamo :
p
⎛ mn ⎞ q
nq
⎜a ⎟ = a
⎝ ⎠
mp
m
(a b )
Potenza di un numero reale
m
n
m
n
= a ⋅b
m
n
m
an
⎛ a⎞ n
⎜ ⎟ = m
⎝ b⎠
bn
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Potenza con esponente reale di un numero reale positivo
Il simbolo a r rappresenta la potenza erresima del numero a solo se a è un numero reale positivo ed
r un numero reale qualsiasi . Per le potenze con esponente reale valgono tutte le proprietà formali
valide per le potenze ad esponente razionale .
a ⋅a = a
r
s
r+s
a :a = a
r
s
( a ⋅ b) = a ⋅ b
r−s
r
r
r
ar
⎛ a⎞
⎜ ⎟ = r
⎝ b⎠
b
r
a −r =
1
ar
Nel campo dei numeri reali non ha senso definire la potenza di un numero reale negativo avente
esponente reale . Quindi quando parliamo di potenza con esponente reale è sottinteso che la base
di tale potenza sia un numero reale positivo .
Funzione esponenziale e curva esponenziale
La potenza a x ha significato solo se a > 0 . Sotto questa ipotesi resta definita la seguente funzione
esponenziale ƒ :
f : R → R+ : x ∈ R → f ( x ) = a x ∈ R+
con a > 0 .
Dopo avere riferito il piano ad un sistema ortonormale di assi cartesiani , consideriamo la funzione
esponenziale a x ( a ∈R + ) . Quando la variabile indipendente x varia assumendo tutti valori del
dominio di a x il punto P( x , a x ) descrive una curva piana γ [ grafico della funzione a x indicato col
simbolo G( a x ) ] detta curva esponenziale . Diciamo pure che la curva esponenziale γ ha
equazione cartesiana y = a x .
Elenchiamo le principali proprietà della funzione esponenziale .
a >1
1) a x è strettamente crescente ∀ x ∈ R + 2)
3) a x > 0 ∀ x ∈ R
d om a x = R
cod om a x = R +
4) Li m a x = + ∞
x→+∞
5) Li m a x = 0 ⇒ y = 0 asintoto orizzontale sinistro
x→−∞
6) a
x2
> a
x1
⇔ x2 > x1 ,
a
x2
< a
x1
⇔
x2 < x1
0 < a < 1
1) a x è strettamente decrescente ∀ x ∈ R +
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2)
d om a x = R
cod om a x = R +
Funzione esponenziaLe e curva esponenziale
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3) a x > 0 ∀ x ∈ R
4) Li m a x = + ∞
x→−∞
5) Li m a x = 0
⇒ y = 0 asintoto orizzontale destro
x→+∞
6) a
x2
> a
x1
⇔ x2 < x1 ,
a
0 < a <1
⎛ 1⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
x2
ax
< a
x1
⇔
x2 > x1
a > 1 y = 2x
x
Grafico della funzione
1
esponenziale
o
x
OSSERVAZIONE
Bisogna distinguere tra funzione esponenziale a x ( ƒ ) , immagine della funzione
esponenziale [ f ( x ) ] , grafico della funzione esponenziale [ G( a x ) ] e curva
esponenziale γ associata alla funzione esponenziale . Spesso tali concetti non vengono usati con la
dovuta precisione . Si dice , ad esempio , funzione y = a x al posto di curva piana di equazione
y = a x . Tuttavia tale uso improprio è generalmente tollerato in quanto i concetti di funzione ,
grafico di una funzione , curva piana sono fra loro collegati nel senso che data la funzione ƒ ad essa
possiamo associare l’immagine f ( x ) a cui corrisponde il grafico G( f ) che , a sua volta , può
essere considerato come una curva piana γ di equazione y = f ( x ) . Questo significa che dalla
funzione ƒ possiamo passare alla sua immagine f ( x ) ed anche al grafico G( f ) della funzione ƒ .
Infatti , data la funzione ƒ risultano univocamente individuati la sua immagine f ( x ) ed il suo
grafico G( f ) che , a sua volta, può essere considerato come una curva piana avente equazione
cartesiana y = f ( x ) . Quindi il grafico della funzione ƒ è una curva piana avente equazione
cartesiana y = f ( x ) . Fatte queste premesse risulta giustificata la seguente terminologia
imperfetta : << Consideriamo la funzione esponenziale y = a x >>
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Funzione esponenziaLe e curva esponenziale
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Equazione esponenziale normale
Chiamiamo equazione esponenziale ogni equazione in cui l’incognita figura come esponente di
uno o più termini . Dicesi equazione esponenziale normale ( o tipica o canonica ) ogni
ax = b
equazione che può essere ricondotta alla seguente forma :
[1]
L’equazione [1] è :
1) indeterminata se a = b = 1 in quanto ogni valore di x ∈R è una sua soluzione
2) impossibile se a = 1 e b ≠ 1 in quanto si avrebbe per ogni x ∈R
1= b ≠ 1
3) determinata ed ammette come unica soluzione il numero zero se a ≠ 1 e b = 1 , in
quanto l’equazione a x = b
assume la forma : a 0 = 1
1= 1
Teorema
Se a e b sono numeri reali positivi diversi da uno , l’equazione esponenziale a x = b ammette una
ed una sola soluzione x1 , precisamente una radice positiva ( negativa ) se a > 1 e b > 1 oppure
0 < a < 1 e 0 < b < 1 [ a > 1 e 0 < b < 1 oppure 0 < a < 1 e b > 1 ] .
⎛ 1⎞
2 = 8 ,2 = 8 , x = 3 ,⎜ ⎟
⎝ 3⎠
x
x
1
=
27
x
⎛ 1⎞
,⎜ ⎟
⎝ 3⎠
x
⎛ 1⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
3
, x = 3
Risoluzione di alcune equazioni esponenziali
L ‘ equazione esponenziale
a
f ( x)
= a g ( x ) è equivalente all’equazione algebrica : f ( x ) = g( x )
Risulta pure : a f ( x ) = 1 ⇒ a f ( x ) = a 0 ⇒ f ( x ) = 0
125
x +1
⋅ 25
−x + 2
= 625
5
3( x + 1)
2
⋅5
2( − x + 2 )
3
3⎛⎜⎝ x + 1⎞⎟⎠
2⎛⎜⎝ − x + 2⎞⎟⎠
+
= 4
2
3
a x ⋅ a x + 3 = a4 a x ⋅ a
x + 3
2
= a4
a
3x = 5
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x +
= 5
4
5
3( x + 1)
2( − x + 2 )
+
2
3
= 54
9 x + 9 − 4 x + 8 = 24 , 5x = 7 , x =
x + 3
2
= a4
x +
7
5
x + 3
= 4 , 2x + x + 3 = 8
2
x =
5
3
Equazione esponenziale
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k ⋅ a 2⋅ f ( x ) + n ⋅ a f ( x ) + p = 0
Le equazioni esponenziali
si risolvono ponendo : y = a f ( x )
k ⋅ a f ( x) +
n
a f ( x)
+ p = 0
. Otteniamo rispettivamente le due seguenti equazioni
algebriche :
m y2 + n y + p = 0
my +
n
+ p = 0
y
m y2 + p y + n = 0
cioè :
Se y1 ed y2 sono le radici reali delle equazioni algebriche trovate , abbiamo :
a f ( x ) = y1
y1 = a t
Se poi risulta :
21 +
x
+ 21 −
x
=
17
2
2⋅2
, y2 = a s
x
+
x
=
1
= 2 −2 ,
4
f ( x) = t
abbiamo :
2
17
pongo :
=
x
2
2
4 y 2 − 17 y + 4 = 0 , y1 = 4 , y2 =
2
a f ( x ) = y2
,
1
,2
4
x
2
= 4 ,2
f ( x) = s
= y Ottengo : 2 y +
x
x
= 22 ,
2
17
=
y
2
x = 2 , x = 4
x = − 2 Questa equazione non ammette radici reali
Definizione
di
logaritmo
Se a , b ∈ R + , definiamo logaritmo del numero b nella base a e lo indichiamo col simbolo
log b la radice dell’equazione a x = b , cioè logaritmo del numero b nella base a è
a
l’esponente x che bisogna dare ad a per avere b .
log a b = x ⇔
In simboli abbiamo :
ax = b
a loga b = b
Sussistono pertanto le due seguenti identità :
log a a x = x
A volte il numero b è detto argomento del logaritmo .
ESEMPI
3
log5 25 = log5 5 = 2 , log10 0,01 = log10 10
−2
⎛ 1⎞
log 1 8 = log 1 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
2
−3
2
log a 1 = 0
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1
⎛ 1⎞
= − 2 , log 1 = log 1 ⎜ ⎟ = 3
⎝ 2⎠
8
2
2
= −3
log a b + log a
Definizione di logaritmo
1
= 0
b
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L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali assoluti rispetto ad una data base a costituisce un
sistema di logaritmi nella base a . Quando scegliamo come base il numero 10 abbiamo
il cosiddetto sistema di logaritmi decimali o volgari o di Briggs : simbolo usato :
logb
Abbiamo il sistema di logaritmi naturali o neperiani o iperbolici quando assumiamo
1⎞
⎛
e = Li m ⎜1 + ⎟
x⎠
x→∞ ⎝
come base il numero :
x
Simbolo usato :
lnb
Il numero e , le cui proprietà verranno studiate in analisi matematica , è un numero
irrazionale trascendente compreso tra due e tre . Un suo valore approssimato è :
e = 2,71828182....
Logaritmo significa numero della ragione .
Vediamo adesso come è possibile passare da un sistema di logaritmi in base a ad un altro in base a .
logα b =
Si può dimostrare che :
logα a ⋅ log a α = 1
log a b
log a α
cioè :
logα a =
1
log a α
Funzione logaritmo e curva logaritmica
Noi sappiamo che loga x ha significato se a > 0 , a ≠ 1 ed x > 0 . sotto queste ipotesi resta
definita la seguente funzione logaritmo :
f : R + → R : x ∈ R + → f ( x ) = log a x ∈ R
con a > 0 , a ≠ 1 ed x > 0
Diciamo pure che :
loga rappresenta la funzione logaritmo
loga x rappresenta l ‘ immagine della funzione logaritmo relativa al punto x ∈ R +
y = log a x rappresenta l ‘ equazione cartesiana del grafico della funzione logaritmo di x
in base a . Per questo motivo sono tollerate le affermazioni :
<< considero la funzione log a x >> , << considero la funzione y = log a x >> .
G(log a x ) = luogo geometrico dei punti P( x ,loga x ) del piano cartesiano quando la x descrive il
dominio della funzione logaritmo di x in base a = grafico della funzione logaritmo
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Funzione logaritmo e curva logaritmica
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8
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y = loga x
y = log x
1
O
y = log 1 x
10
Grafico della funzione logaritmo
y = log x
y = log 1 x
10
Consideriamo la funzione logaritmo loga x dopo avere riferito il piano ad un sistema ortonormale
di assi cartesiani . Quando la variabile indipendente x varia assumendo tutti i valori del dominio di
loga x , il punto P( x ,loga x ) descrive una curva piana γ ( grafico di log a x indicato col simbolo
G(log a x ) ) detta curva logaritmica .
Si dice anche che la curva logaritmica ha equazione
y = log a x . La curva logaritmica di equazione y = log a x e la curva esponenziale di equazione
y = a x sono una simmetrica dell’altra rispetto alla bisettrice fondamentale
degli assi cartesiani , cioè rispetto alla retta di equazione y = x .
Elenchiamo le principali proprietà della funzione logaritmo loga x :
a > 1
1) loga x è strettamente crescente ∀ x ∈ R + 2) d omlog a x = ]0 , + ∞[
2) cod omlog a x = R 4) log a x > 0 ∀ x ∈ ]1, + ∞[ 5) log a x < 0 ∀ x ∈ ]0 ,1[
6) log a x = 0 ⇔ x = 1 7) Li m log a x = − ∞ ⇒ x = 0 asintoto verticale destro in basso
x → 0+
8) Li m loga x = + ∞ 9) log a x2 > loga x1 ⇒ x2 > x1 log a x2 < loga x1 ⇒ x2 < x1
x→+∞
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Funzione logaritmo e curva logaritmica
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0 < a < 1
1) loga x è strettamente decrescente ∀ x ∈ R +
2) codomlog a x = R 4) log a x > 0 ∀ x ∈ ]0 ,1[
2) domlog a x = ]0 , + ∞[
5) log a x < 0 ∀ x ∈ ]1, + ∞[
6) log a x = 0 ⇔ x = 1 7) Li m log a x = + ∞ ⇒ x = 0 asintoto verticale destro in alto
x → 0+
7) Li m log a x = − ∞ 9) log a x2 > loga x1 ⇒ x2 < x1
log a x2 < loga x1 ⇒ x2 > x1
x→+∞
Teoremi fondamentali sui logaritmi
Il logaritmo di un prodotto di fattori è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori
log a b ⋅ c = log a b + log a c
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del
divisore .
log a
b
= log a b − log a c
c
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo
log a b m = m ⋅ log a b
della base della potenza
Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente tra il logaritmo del radicando e l’indice del
radicale .
log a
n
1
n
1
b = log a b = log a b
n
n
log a b
m
= log a b
m
n
=
m
log a b
n
ESEMPI
log
a2 − x2
a + x
2
2
= log(a + x ) + log(a − x ) −
1
log(a 2 + x 2 )
2
Altre proprietà dei logaritmi
I logaritmi nella stessa base di numeri reciproci sono numeri reali opposti
log a
1
= log a 1 − log a x = − log a x
x
Logaritmi in basi reciproche di numeri reciproci sono uguali
log 1
a
1
= log a x
x
U.D. N° 12
log a x =
1
log x a
log a b = log n b n
a
Teoremi fondamentali sui logaritmi
log a b = log n
n
a
b
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Equazioni logaritmiche
Un ‘ equazione dicesi logaritmica quando l’incognita o una sua funzione figura almeno una volta
come argomento di un logaritmo .
log a f ( x ) = log a g ( x )
L ‘ equazione logaritmica
[B]
⎧ f ( x)
⎪
⎪ f ( x)
equivale al sistema misto : ⎨
⎪ g( x )
⎪a( x )
⎩
L ‘ equazione : k ⋅ log 2a f ( x ) + h ⋅ log a f ( x ) + n = 0
h
+ n =0
log a f ( x )
= g( x )
> 0
> 0
> 0 , a( x ) ≠ 1
si risolve ponendo loga f ( x ) = y
⎧ f ( x) > 0
Otteniamo il seguente sistema misto : ⎨ 2
⎩k y + h y + n = 0 ⇒ y1 , y2
L ‘ equazione : k ⋅ log a f ( x ) +
con a > 0 ed a ≠ 1 è
⎧ f ( x ) = g( x )
⎪
⎨ f ( x) > 0
⎪ ( )
⎩g x > 0
equivalente al seguente sistema misto :
L ‘ equazione log a( x ) f ( x ) = log a( x ) g ( x )
[A]
f ( x ) = a y1 , f ( x ) = a y2
si risolve ponendo : log a f ( x ) = y
Otteniamo il seguente sistema misto :
⎧ f ( x) > 0
⎪
h
⎨
⎪k y + y + n = 0
⎩
(
⎧ f ( x) > 0
,
⎨ 2
⎩k y + n y + h = 0 ⇒ y1 , y2
)
U.D. N° 12
f ( x ) = a y2
⎧ x 2 − 3x − 5 = 7 − 2 x
⎪ 2
⎨ x − 3x − 5 > 0
⎪7 − 2 x > 0
⎩
log 3 x 2 − 3x − 5 = log 3 ( 7 − 2 x )
⎧ 2
⎪ x − x − 12 = 0
⎪
⎪ 2
⎨ x − 3x − 5 > 0
⎪
⎪
⎪⎩7 − 2 x > 0
f ( x ) = a y1 ,
x1 = − 3 ( R. A.) , x 2 = 4 ( R. N . A.)
per x <
per x <
3 −
29
2
≈ − 1,2 , x >
3 +
29
2
≈ 4,2
7
2
Equazioni logaritmiche
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Inequazioni logaritmiche
Sono inequazioni in cui l ’ incognita figura almeno una volta come argomento di un
(
)
log2 x 2 − 5x − 8 log7 ( x + 1) > 5 log x
logaritmo .Esempio di inequazione logaritmica :
Per risolvere le inequazioni logaritmiche bisogna tenere presente :
1) le proprietà fondamentali delle inequazioni algebriche
log a x = y
2) le proprietà dei logaritmi ed anche che :
⇔
x = ay
3) che la funzione logaritmo loga x è strettamente crescente se a > 1 , strettamente
decrescente
0 < a <1
se
4) che l’argomento di ogni logaritmo presente nell’inequazione sia positivo ( condizione di realtà )
2log 5 ( x − 3) − log 5 ( 3x − 1) <
1
2
log 5 (1 + x )
2
x > 3
per
Per la realtà dei logaritmi deve essere :
⎧x − 3 > 0
per x >
⎪
⎪
per x >
⎨3x − 1 > 0
⎪
⎪(1 + x )2 > 0 per x ≠
⎩
Infine , ricordando che
3
1
3
il sistema è verificato per
x>3
−1
per x > 3 l’espressione 1 + x risulta positiva , per le note
proprietà dei logaritmi , l’inequazione data può essere scritta come segue :
log5 ( x − 3) − log5 ( 3x − 1) < log5
2
(x
− 3)
<1+ x ;
3x − 1
2
x>3 ⇒
(x
(1 + x )
2
,
(x
− 3)
< log5 (1 + x )
log5
3x − 1
2
− 3) < (3x − 1)(1 + x ) ; − 2 x 2 − 8 x + 10 < 0
2
⎧x > 3
⎨ 2
⎩ x + 4 x − 5 > 0 per x < − 5 ed x > 1
Il sistema ( e quindi anche l’inequazione data ) è verificato per
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Inequazioni logaritmiche
x>3
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Inequazioni esponenziali
Una inequazione si dice esponenziale quando l’incognita figura come esponente di uno o
2x
più termini
2
+1
− 5x
3
+2
> 8⋅ 7x − 1
è un esempio di inequazione esponenziale . La
risoluzione delle inequazioni esponenziali presenta , in generale , notevoli difficoltà .
Per la risoluzione delle inequazioni esponenziali sono particolarmente utili le seguenti
considerazioni :
1) bisogna tenere presente le proprietà delle inequazioni algebriche
2) la funzione esponenziale a x , sempre positiva , è strettamente crescente se
a > 1 , strettamente
decrescente
se
0 < a <1.
( a > 1 , a x2 > a x1 ) ⇔ x2 > x1 ) e quindi l’inequazione esponenziale
si tramuta nell ‘ inequazione algebrica
f ( x ) > g( x ) .
( a > 1 , a x2 < a x1 ) ⇔ x2 < x1 ) e quindi l’inequazione esponenziale
si tramuta nell ‘ inequazione algebrica
⇔
0 < a < 1 , a f ( x) > a g( x)
si tramuta nell ‘ inequazione algebrica
,
a x2 < a x1 )
0 < a < 1 , a f ( x) < a g( x)
34 x − 1 − 81 > 0
32 x − 108 ⋅ 3x + 2187 < 0
y 2 − 108 y + 2187 < 0
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x2 < x1 ) e quindi l’inequazione esponenziale
⇔
5
4
per
f ( x ) < g( x ) .
x2 > x1 ) e quindi l’inequazione esponenziale
si tramuta nell ‘ inequazione algebrica
per x >
a > 1 , a f ( x) < a g( x)
f ( x ) < g( x ) .
( 0 < a < 1 , a x2 > a x1 )
(0 < a < 1
a > 1 , a f ( x) > a g( x)
f ( x ) > g( x ) .
34 x − 1 > 34 , 4 x − 1 > 4 , x >
3< x< 4
Pongo :
3x = y
( 32 x = y 2 )
per 27 < y < 81 , 27 < 3x < 81 , 33 < 3x < 34 ,
Inequazioni esponenziali
5
4
3< x< 4
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x
29 − 2 x < 0
per − 3 < x < 0 , x > 0
-3
+
+
O
_
_
+
25 x − 5 x > 0
per
_
O
x > 0
x
_
O
+
+
+
_
O
∞
9
9 − x2
< x ,
< 0
x
x
3
0
_
9
, 2 x < 2x ,
9 − x2
x
9 − x2
x
O
(
)
52 x − 5x > 0 , 5x 5x − 1 > 0 5x > 0 ∀ x ∈R e quindi
5x − 1 > 0 , 5x > 1 , 5x > 50
2x + 1 +
8
> 17
2x
per x < −1 , x > 3
2 y 2 − 17 y + 8 > 0
U.D. N° 12
per y <
13
x > 0
Pongo : y = 2 x > 0 ∀ x ∈ R Ottengo :
1
, y > 8 , 2 x < 2 − 1 e 2 x > 2 3 e quindi : x < −1 , x > 3
2
Inequazioni esponenziali
Pagina 13 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
14
Risolvere le seguenti equazioni esponenziali :
⎛ 2⎞
01) ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
x
⎛ 3⎞
03) 15⎜ ⎟
⎝ 5⎠
⎛ 3⎞
+ 4 = 5⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2x
⎛ 3⎞
− 34⎜ ⎟
⎝ 5⎠
02) 3x − 6 = 33 − x
x
[0]
x
+ 15 = 0 [ 1 ; - 1 ]
05) 32 x − 82 ⋅ 3x + 81 = 0 [ 0 , 4 ]
07) 5x + 1 = 6 ⋅ 5− x
[ log5 2 ]
[2 ]
04) 4 x + 2 x + 1 − 8 = 0
[ 1]
06) 52 x + 125 = 6 ⋅ 5x + 1
[1,2]
⎛ 7⎞
08) 2⎜ ⎟
⎝ 2⎠
x
x
⎛ 2⎞
+ 7⎜ ⎟ = 9
⎝ 7⎠
[ 0,1 ]
09) 2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 + 2 x − 3 + 2 x − 4 = 62 [5]
10) 36 x − 10 ⋅ 2 x ⋅ 3x + 1 = 216
11) 2 x + 3 + 2 x + 2 + 2 x + 1 + 2 x − 30 = 0 [ 1 ]
12) 2 x + 1 + 2 x = 24
[3]
13) 6 x − 2 + 6 x = 222
[3]
14) 3x + 2 = 3x −1 + 26
[1]
15) 2 x + 2 + 2 x − 1 = 48 + 3 ⋅ 2 x
[5]
16) 3x + 1 + 3x − 1 = 2 ⋅ 5x
17) 3 ⋅ 2 x − 2 − 2 x + 7 x − 2 = 0
19)
22 x − 2 x + 2
= 8
2x − 4
(
) (
[ 3 , (2) ]
)
21) 52 x 52 x − 27 + 5x + 5
23)
25)
2
x +1
41 +
x
⋅2
8
2x − 5
2
= 10 ⋅ 5x [0,1]
= 1
[3]
22 x
32 x
27)
= x +1
5 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3x
3
31)
20)
+ 41 − x − 10
= 0
2x − 8
29) 3x − 1 =
22 x
3x + 1
[
)
1
]
4
(
)
24)
26)
x 2 + 16
3
3
6x + 7
=
27
3x
2
2
3
= x
−
9 − 1
3 − 1
4
x −
1
4
⎛ 2⎞
32) ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
x −
2x − 1
=
[1]
[2]
7
4
3 ⋅ 2 x + 1 − 2 ⋅ 3x
3x + 1
34) 33 x − 32 x − 3x + 1 + 3 = 0
Esercizi sulle equazioni esponenziali
7
, 3]
6
[1+
9
=
[4]
[−
x
30) 3
2
]
3
[3]
22) 27 3x − 3 − 3 = 81⋅ 3− x − 1
[0]
[0,
)
− 32 x 2 − 32 x = 3 [ 0 , ½ ]
[0,1]
1
[ ]
2
[1]
2 x + 3 − 60
= 1
2x − 4
3
33) 24 x − 23 x − 2 x + 2 + 4 = 0
(
2
3x + 1
2 ⋅ 5x + 5 ⋅ 3x
28) 2 x =
3
52 x
4
2x + 3
2x + 2
+
=
4x + 2x − 2
2x + 2
2 x +1 − 2
U.D. N° 12
(
18) 32 x − 3
[2]
[2]
[1]
[0,
1
]
2
Pagina 14 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
35) 102 x − 4 ⋅ 52 x − 2 2 x + 4 = 0 ( 0 , 1 )
36) 3 ⋅ 2 2 x = 2(4 x + 1)(1 − 4 x )
(−
37) (3x − 2) 2 + 3x ⋅ (3x − 1) = 7 ( 1 )
38) (2 x + 1) ⋅ (2 x + 2 + 3) = 5
(-2)
[
]
43) 2
+ 34 −
x
2x +
3
2
= 18
x
3
− 2x
+ 22
(4)
3 3
, )
4 4
(−
= 9
45) 24 − x + 2 x + 1 = 33
( 4 ; -1 )
42) 2 x + 2 + 3 = 2 − x
( -2 )
44) 21 − x − 21 + x = 3
(-1)
46)
1
)
2
40) 3x + 2 + 31 − x = 28 ( 1 ; -2)
39) 2 3x (3x − 4) − 3x + 2 = (1 − 3x )(1 + 3x ) ( 1 ; - 1)
41) 3
15
3x
2x
=
2 2
3 3
3
(− )
2
48) 4 x − 5 ⋅ 2 x + 1 + 16 = 0 ( 1 ; 3 )
47) 22 x − 3 ⋅ 2 x − 4 = 0 ( 2 )
50) 3x − 3x − 2 = 22 x − 22 x − 1
1
( )
2
49) 3 ⋅ 24 x − 5 ⋅ 4 x = 2
( 2)
51) 2 x + 3x − 2 + 2 x − 3 = 3x − 1 + 3x − 4 − 2 x − 4 ( 4 )
52) 3x + 3x + 3 = 252 ( 2)
53) 2 x + 2 x + 1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 + 2 x + 4 = 31 ( 0 )
54) 2 x − 1 + 2 x − 2 − 2 x − 3 = 10 ( 4)
55) 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 39 ( 1 )
57)
x −1
2x − 2 ⋅
x −2
2x − 1 =
x − 2 x −1
56)
22 x − 1
( 3)
4
2x
3
58)
2
4
3x ⋅ 3
2
3x
=
9
4
27 x
2
− 4
⋅ 6 3x + 4 ( 2 ; −
61) 6 x − 9 ⋅ 2 x = 2 ⋅ 3x − 18
5
)
3
(1;2)
( 2)
60) ( 3
)
x −
7
4
= 2x
1− x
x − 3
62) 3
= 2 2 ⋅ 2x
2x + 2
x
59)
+ 5
=
x
=
(
)(
)(
)
65) ⎛⎜ 3
⎝
x
3
2 ⋅ 2 ⎞⎟ =
⎠
x
4
2x
2
− 2x
4
⋅
3
2x + 2
2
4 ⋅ 3x − 1 − 3
(
1
3x
91 + x
⎛ 1 3+x x ⎞ x 1 − x
⎟⋅ 5
= ⎜⎜ 3
⎟
⎝
⎠
U.D. N° 12
)
1
4
x +1
= 5 ( log 2 7 )
7
3
)
5
67) 10 x (102 x + 5) = 6(102 x − 2)
( log 3 ,
1
3x
x −
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
64) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
⎝ 7⎠
⎝ 7⎠
( 3,−
4
,1)
3
( -1 ; 2 )
x
3
)
2
1
5x
17
66) x
+ x
= x x
( log5 3 )
5 + 1
5 + 2
5 5 + 3 + 2
(−
2
3
3x
3
63) 2 x ⋅ 2 − 4 2 x + 1 − 1 2 x + 2 = 0 ( -1 ;
(1 ± 2 )
41 + x
log 4 )
⎛ 1 3+x x ⎞ x 1 − x
⎟⋅ 3
= ⎜⎜ 2
⎟
⎝
⎠
Esercizi sulle equazioni esponenziali
Pagina 15 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
17
Risolvere le seguenti inequazioni esponenziali
01 ) 3x +
1
28
>
x
3⋅ 3
9
[ x < −2 ∨ x > 1 ]
02) 7 ⋅ 49 x − 50 ⋅ 7 x + 7 > 0
[ x < −1 ∨ x > 1 ]
03) 22 x − 5 ⋅ 2 x + 4 < 0
(
04 ) 3x + 1
05)
x
07) 2
)
x −1
− 32 x
5x + 1 > 25
11
2x + 3
> 32
2
−1
[0 < x < 2 ]
⋅ 32 − x + 216 > 0
[ −2 < x < 2 ]
2
06 ) 8 x − 3 ⋅ 4 x > 2 x + 2 − 12
[0 < x<1]
1
2 − x
[ x <1 ∨ x >
[ −
3
1
< x <
∨
2
3
log 3
]
log 2
x > 2]
08) 4 x + 2 x + 1 − 3 > 0
[ x > 0]
09) 25x − 5x > 0
[ x > 0]
10) 2 x + 1 +
11)
x
8
> 17
2x
[ x < − 1 ∨
29 − 2 x < 0
[ −3 < x < 0 ∨ x > 3 ]
12) 32 x − 108 ⋅ 3x + 2187 < 0
13) 34 x − 1 − 81 > 0
[3< x < 4 ]
[ x >
5
]
4
13) 2 ⋅ 2 x > 5 − 4 x − 1
[ x >1]
14) 2 x + 2 x + 1 − 2 x − 1 > 20
15)
[ x > 3]
2 ⋅ ex − 1
> 0
ex − 3
[ x < − ln 2 ∨
3x + 1
1
16)
< x2 + 5
2x
27
3
2x + 4
x
⎛ 1⎞
< ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
17)
2x ≥ 8 4x − 1
[ x ≤ − 14 ]
3
−2
[ x < 0 ∨
3x + 1 − 3x − 1
1
19)
>
x
2x
2⋅3 + 3 + 1
2
(
20) 2 x + 1 < 4 x − 5 ⋅ 2 x
21) 3x + 2 + 3x < 30
U.D. N° 12
x > ln 3 ]
[2 < x < 3]
17a) 3x + 2 < 24 x + 8
18) 2
x > 3]
)
1
2
x > 2 ]
[ −1 < x < 1 [
[ ∀x∈∅ ]
[ x <1]
22) 3− x > 3−1
Esercizi sulle equazioni esponenziali
[ x <1]
Pagina 16 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
18
23)
24)
25)
5x
3
2
+ x
< −
x
5 − 1
5 + 1
1 − 52 x
x +1
x
3⋅
x
5⋅ 2x ⋅
⎛ 3⎞
26 ) 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
[ ∀ x ∈R ]
9 < 3
x −1
4x
[ x < − 1 ∨ 1−
5 < 2
⎛ 4⎞
− 7⋅⎜ ⎟
⎝ 3⎠
−2x
+ 4 < 0
[ −
55 ⋅ 2 x
10
− 2 x > 22 x [ x < 0 ∨
x +1
5
5
28)
2x + 1
4
8
− x
> 2x
x
2 − 1
2 + 1
2 − 1
29) 3x + 3 + 3x −
4x
4
x +1
− 4
(
+
1
< x< 0]
2
x >1]
[ x < 0 ∨
x >1]
135
247
> x −4
x −1
3
3
[ x > 3]
1
1
< x
x
16 − 4
4 − 1
[ x < 0]
x
)
2 5x + 24 − 5x − 7 ≥
31*)
2 ]
1
< x <1]
2
[ x < 0 ∨
27)
30*)
2 < x < 0 ∨ x >1+
5x + 7
[
log 7
≤ x ≤ 2 ]
log 5
3x + 1
x + 1
− 22 x − 2
− 2 ≤ 0
32 ) 24 x − 2
33 ) 2 2 + x − 22 − x > 15
34 ) 52 x + 1 > 5x + 4
(
1
1
< x+1
− 1
3 + 3
3
40) 4 − 2
2 ( x − 1)
+ 8
2
( x − 2)
3
)
39)
x
x
3
x2 − x
2
37) 4 x + 2 x + 2
>1
2x + 1 − 7
10
36)
<
x − 1
3 − 2x
38 )
2x ≥ 8⋅ 4x − 1
35 )
> 52
41 )
16 x − 5 ⋅ 4 x + 4
< 0
x − 3
42)
6
3
2
+ x
> x
+ 5
2 − 1
2 + 1
2 −1
43)
2 2x − 2 x − 2
> 0
3x − 3
] x < 0 ∨ 1< x < 3]
[0 < x <1]
x
U.D. N° 12
9 x − 3x + 2 > 3x − 9
44)
5x − 5
< 0
32 x − 3 x − 2
Esercizi sulle equazioni esponenziali
Pagina 17 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
Calcolare il valore dei seguenti logaritmi
U.D. N° 12
Esercizi sui logaritmi
Pagina 18 di 27
19
20
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
Calcolare il valore della x sapendo che :
U.D. N° 12
Esercizi sui logaritmi
Pagina 19 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
U.D. N° 12
Esercizi sui logaritmi
Pagina 20 di 27
21
22
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
Semplificare le seguenti espressioni
U.D. N° 12
Esercizi sui logaritmi
Pagina 21 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
23
Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche :
01)
[ log( x
2
1
]
)
(
)
+ 1 − log 2 = log x + 4 − log 5
[ 1 ,
02) 2 log( x + 4) − log( 6 − x ) = log( 2 x + 5) − log 2
(
[ -2 , −
)
03) 2 log( x + 1) − log 2 x 2 + 4 x − 2 = 0
(
)
(
04) log x + log x 2 + 3x + 5 = log x 3 − 4
)
N.S. B p. 31
(
)
(
[
)
06) log( x − 1) + log( x + 1) − log x 2 − 7 x + 12 = log 4
[
07) log( x + 3) + log( x − 3) + co log 7 = log( x + 1) + co lg 5
1
log( x + 4) − log( 2 x + 1) = log 2
2
10)
1
(log x − log 3) = log( x + 1) − 2 log 2
2
11)
1
log( x + 1) − log 2 = log( x + 4) − log 5
2
)
⎛ 7⎞
[ ⎜ − ⎟ , 1 ] , B p. 35
⎝ 3⎠
1
[ , 3 ] , B p. 38
3
]
(
(
[1 ,
)
(
7
] , B p. 39
2
)
12) log x + 8 − 3 − log 2 x + 8 − 1 = log x + 8 − 1 − log 4 x + 8 + 5
(
)
13) log x 2 + 2 −
(
14) log 4 +
15)
x +1
(
)
1
⎛
⎞
25 = log⎜⎜ 28 − 625 x + 1 ⎟⎟ + log 3
⎝
⎠
)
Esercizi sui logaritmi
[ 8 ] , B p. 40
[ 1 , 2 ] B p. 41
1
1
log x = log 2 2 + 2 − log 2
2
2
1
1
log(2 x + 4) + log(2 x − 1) = log x + log 2
2
2
U.D. N° 12
7
, 7 ] , B p. 33
3
⎛ 15 ⎞
[ 0 , ⎜ − ⎟ ] , B p. 37
⎝ 16 ⎠
09)
)
1
, 5 ] , p. 32
3
⎛ 13⎞
[ 4 , ⎜ − ⎟ ] , B p. 34
⎝ 4⎠
08) log( x + 3) + co lg(5x + 11) − co lg( 6 x + 10) + co log 4 = 0
(
1
] B p. 29
4
[ 1 , ( - 3 ) ] B p. 30
05) log( x + 1) + log( x + 3) − log x 2 − 3x + 2 = log 4
[
7
]
2
[−
16
, 5 , 1 ] B p. 42
3
⎡2⎤
⎢⎣ 3 ⎥⎦ , B p. 51
Pagina 22 di 27
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
24
16)
1
2
= 1−
5 − log x
1 + log x
[ 100 , 1000 ] B p. 50
19)
(
log 35 − x 3
log(5 − x )
)
18) log x 5 = log5 x
⎡ − 13 ⎤
⎢10 ⎥ B p. 49
⎣
⎦
1
2
17)
=
,
1 + log x
1 − log x
= 3 [ 2 , 3 ] B p. 47
20)
(
)
log x 3 + 8
log( x + 2)
[ x = 5 ] B p. 48
= 3 [0 , −
1
] B p. 45
2
22) 1 log (2 x + 6) + 1 log(2 x + 1) = log( x + 1) + log 2
2
2 log x − 1
21)
= 1 [ 11 , (-1) ] B p.45
log( x + 11
,)
23) log 8 + x +
2
B pag. 52
1
log(20 + 5x ) = log 15
2
B pag. 54
[ ( -13 ) , 0 ]
25) log x + 3 + log x + 8 = 1 − colog 0,6
(
x
(
)
(
8 = log 16 +
x
[
)
B pag. 55 [ ( - 12 ) , 1 ]
)
64 − log 2 ( 3 )
]
1
3
B pag. 53 [ (-13) , 1 ]
24) log x + 4 + log x + 9 = 1 + log 0,6
26) log 12 −
x = −
B pag. 56 [ 3 ]
(
)
27) log 2 x − 2 + log 2 x (2 x + 5) = log 2 x + 2 − 3 ⋅ 2 x − 2 + log 36 B pag. 57 [ 1 , 2 ]
28)
2 − log( x + 1)
1
=
1 + log( x + 1)
3 − log( x + 1)
29)
3 − log x
1
=
1 + log x
2 − log x
30) log x =
B pag. 58 [ x = 9 , x = 105 − 1 ]
[ x = 10 , x = 105
B pag. 59
4 + 3 log x
log x
B pag. 60 [ x =
31) log 2 x = log4 ( x + 4) + 0,5
(
)
B p. 62
(
)
(
)
32) log 2 x − 3−1 = log 22 x − 1 + 3 − log 2 x + 1
34) x
log x
(
35) log
36)
B pag. 63 [ x =
(
(
)
(
x + 6 + log 2 x + 6 = log 3 x + 3 + log
2
1
= 1−
1 + log x
5 − log x
38) x
)
x2 − 7 x + 12
U.D. N° 12
= 1
[ (-2) , 4 ]
B pag. 63 [ 1 ]
= 10
)
1
, x = 104 ]
10
)
x + 3
B pag. 66 [(9) , 81 ]
37) x x = 1
B p.67 [100 , 1000 ]
1
]
10
B p.65
[1]
B pag. 67 [ 1 , 3 , 4 ]
Esercizi sui logaritmi
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Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
39) x
log x − 1
= 106
40) log 3 ( x + 2) −
B pag. 68 [ -2 , 3 ,
1
= log9 ( x + 2)
2
1
, 1000 ]
100
B pag. 87 [ 1 ]
41) log 2 x = log4 ( x + 4) + 0,5
B pag. 88 [ (-2) , 4 ]
)
(
42) log 1 − x 2 − 2 x + log 3 x = 0
1
3
(
)
43) log 2 1 + x + 1 =
(
1
log 2 1 + x −
2
1 − x
)
x=8
x = 100 , x = 10
x = 10
x=6
x=2
x=9
x=0
U.D. N° 12
x=−
1
4
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25
Unità Didattica N° 12 I logaritmi e le equazioni esponenziali
26
x = −2
x=
x=3+
2
3
2
x=0
x=4
x=3
Risolvere le seguenti inequazioni logaritmiche
01)
3
4
13
+
>
2
log x − 1
log x + 1
log x − 1
02) log2 x −
2
+ 1> 0
log2 x
[
[
1
< x <1
4
03)
2
1
+
>1
1 + log 7 x
5 − log7 x
[
04)
6
2 + log 3 x
+ 2 >
1 − log3 x
2 − log3 x
[x <
05) 3 log x −
1
< x < 10
10
1
< x < 49
7
1
9
∨
∨
x > 100 ]
x > 2 ]
∨ 7 3 < x < 75 ]
∨ 3 < x < 9 ∨
x > 27 ]
4
<1
1 + log x
06)
2
1
7
+
>
2 + log 3 x
1 + log3 x
6
07)
4
2
2
−
<
5
3 log5 x
log5 x − 2
08)
log5 x + 5
log5 x + 3
6 log5 x
−
>
2
4 log5 x − 1
2 log5 x − 1
2 log5 x + 1
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