introduzione - unimi, Crema
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INTRODUZIONE
Teoria delle probabilità è la parte della matematica che formalizza e quantifica il
concetto di incertezza.
I fenomeni che interessano la teoria della probabilità devono essere incerti nei
risultati e ripetibili.
La statistica consta di due filoni : statistica descrittiva ed inferenziale.
La statistica descrittiva è volta a rappresentare tramite mezzi matematici fenomeni
reali.
La statistica inferenziale risolve il cosiddetto problema inverso, ossia perviene a
soluzioni valide per la popolazione a partire da un campione della popolazione
stessa.
La statistica moderna si può far risalire al P.S. Laplace, che ne fece la prima
sistemazione teorica nel 1812.
ALGEBRA DEGLI EVENTI
L’algebra degli eventi studia le relazioni fra eventi e loro proprietà.
Si parte dal concetto di prova:
Per prova si intende un esperimento soggetto ad incertezza e tale per cui:
- Tutti i possibili risultati devono essere noti a priori
- Il risultato della prova deve essere incognito
- L’esperimento può essere iterato.
Per estrazione si intende l’individuazione di un insieme di unità (unità statistiche) da
una popolazione tramite procedimento casuale (es. l’estrazione di palline da
un’urna). Si distinguono due tipi di estrazione:
- Estrazione con ripetizione (o bernoulliana) se la pallina una volta estratta è
rimessa nell’urna
- Estrazione senza ripetizione (o in blocco) se una volta estratta la pallina non è
rimessa nell’urna e quindi non può più essere estratta.
Per evento intendiamo uno dei possibili risultati della prova (nel caso dei dadi, un
evento sarà ad esempio {faccia con due punti} ).
L’insieme di tutti i possibili risultati è detto spazio campione Ω ed i suoi elementi
sono i punti campione. Nel caso del dado,
Ω=
in cui E1,..,E6 sono i punti campione.
Uno spazio campione si dice:
-discreto se è costituito da un numero finito o una infinità numerabile di punti
campione (es. lo spazio del lancio di due dadi, {(E1,E1), (E1,E2),…,(E6,E5),(E6,E6)}
-continuo se è costituito da un’infinità non numerabile di punti campione (es. le
misurazioni dell’altezza di un campione).
L’algebra degli eventi è mutuata dall’algebra di Boole. Ne conseguono le seguenti
definizioni, assiomi, teoremi.
Se per gli eventi di A (evento complesso) vale A=Ω, tutti gli eventi di A si verificano
necessariamente.
L’insieme vuoto è l’insieme senza alcun elemento Ø, e se vale A=Ø allora gli eventi di
A non si verificano ed A è l’evento impossibile.
Utilizziando i diagrammi di Venn, lo spazio campione è un rettangolo e al suo interno
si disegnano gli eventi e le operazioni fra eventi: unione, intersezione, negazione.
Si dice unione fra due eventi A e B,
L’evento C che si verifica quando almeno uno dei due eventi A o B si verifica, o se si
verificano entrambi:
Ne segue che
Se gli eventi sono in numerro finito o infinito, siano E1,E2,…,En una raccolta di eventi
, si avrà allora
è l’evento unione e si verifica quando almeno uno degli eventi si verifica.
Possiamo definire evento elementare l’evento che non è costituito da altri eventi
elementari, e evento composto l’evento costituito da più eventi elementari.
Lo spazio campione è l’evento certo, un solo punto campione è evento elementare.
L’insieme di elementi non inclusi in A costituisce la sua negazione o complemento,
oppure
.
Dati due eventi A e B, si dice intersezione di A e B
L’evento C che si verifica se e solo se si verificano sia A che B.
Un evento elementare è quindi l’evento E per cui, per ogni evento A, o E è incluso in
A oppure è incompatibile con A (ossia A E=E oppure AE= ) .
quando AB = A
Attraverso i diagrammi di Venn è semplice verificare le seguenti proprietà notevoli:
Idempotenza
Elemento neutro
Commutativa
Associativa
Distributiva
Secondo le leggi di De Morgan, la negazione dell’unione è uguale all’intersezione fra
le negazioni di ciascun evento:
=
Invece la negazione dell’intersezione di due eventi è uguale all’unione delle loro
negazioni:
=
Partizione di Ω
Se
A e B si dicono incompatibili o mutuamente esclusivi. Si dicono invece
necessari due eventi la cui unione è l’evento certo:
Si dice partizione di Ω una raccolta di eventi necessari ed incompatibili, ossia tali che
la loro unione è l’evento certo e sono incompatibili a due a due:
.
DEFINIZIONI DI PROBABILITA’
Il concetto di probabilità non è univocamente stabilito. Esistono almeno tre
definizioni del termine probabilità.
- Definizione classica (Galileo, Fermat, Laplace) :
dato un esperimento ed un evento E , siano m i possibili risultati che danno
luogo ad E ed n i possibili risultati (tutti ugualmente possibili)
dell’esperimento. Allora la probabilità dell’evento E è
e vale anche
0≤P(E)≤1
Se il numero di casi favorevoli all’evento è 0, l’evento è impossibile, se invece
m=n l’evento è certo.
Questa definizione di probabilità però necessita di contenere in sè il
significato di casi ugualmente possibili, ossia equiprobabili, formando un
circolo vizioso.
- Definizione frequentista (R. von Mises)
Si fonda sulla relazione fra probabilità e frequenza, quest’ultima definibile a
posteriori dopo l’esperimento.
Dato un esperimento ripetibile ed un evento E fra i possibili eventi risultanti, sia
(frequenza assoluta di E)
esperimenti. Allora
numero di volte in cui E si è verificato in n
Ossia P(E ) è il limite cui tende la frequenza dell’evento E quando il numero delle
prove (nelle medesime condizioni) tende all’infinito. La cosiddetta legge empirica del
caso viene usata ad esempio dalle assicurazioni. Tuttavia non è mai possibile avere
infinite prove e la condizione di ripetibilità non è quasi mai attuabile.
- Definizione soggettivista (De Finetti) . Tipica del gioco d’azzardo. Si basa sul
grado di fiducia circa il verificarsi di un evento in base alle informazioni di cui
si è in possesso.
Dato un esperimento ed un evento E fra i possibili eventi risultanti, la probabilità
di E è la somma che un individuo equilibrato è disposto scommettere in un gioco
equo in cui riceverebbe un importo unitario se E si verificasse.
Ad esempio, se un individuo è disposto a pagare 20 euro per riceverne 100 in
caso di vittoria di un cavallo, questo equivale a dire che per lo scommettitore la
probabilità di vittoria del cavallo è 0.2 .
Questa definizione è poco rigorosa.
ASSIOMATIZZAZIONE DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Kolmogorov (1933) introdusse una formalizzazione rigorosa utilizzando
concetti primitivi, formalizzati in assiomi, e deducendo da questi una serie di
teoremi.
Concetti primitivi: prova, evento, probabilità (numero associato al verificarsi
di un evento).
Siano
i=1,…,n n eventi nello spazio campione
Sia
la probabilità dell’evento i esimo.
Ad ogni evento
è associato un numero reale
.
t.c.
POSTULATO 1: La probabilità di un evento è una funzione che assegna ad ogni
evento un numero reale non negativo
POSTULATO 2: L’evento certo Ω ha probabilità 1,
POSTULATO 3: La probabilità dell’unione di una infinità numerabile di eventi
incompatibili è uguale alla somma delle singole probabilità:
P ( Ei ) P( Ei )
i 1 i 1
Sulla base di questi postulati sono dimostrabili i seguenti
Teoremi:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(per eventi non incompatibili)
7.
n
8.
P( E 1E 2 ... E n ) P( Ei )
i 1
n
P( E
i j 1
i
Ej)
P( E
i j h 1
i
E j E h ) .....
(1) n1 P( E1 E 2 ..... E n )
Valgono inoltre
n
Diseguaglianza di Boole
P( E1 E 2 .... E n ) P( Ei )
i 1
Diseguaglianza di Bonferroni
N
n
i 1
i 1
P( E1 E2 ..... En ) 1 P( Ei ) P( Ei ) (n 1)
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Interessa valutare la probabilità di un evento una volta che se ne è verificato un
altro (che diventa quindi certo).
Probabilità condizionata di B dato A (supposta
)
Quindi la probabilità che si verifichino sia A che B
(1)
Se invece A e B sono eventi indipendenti sarà
Ed in questo caso segue
Dati m>1 eventi, questi sono mutuamente indipendenti se
TEOREMA DELLE PROBABILITA’ TOTALI
Siano
eventi mutuamente incompatibili che costituiscono una partizione di Ω. Allora per
ogni evento
si ha
come discende facilmente dal Postulato 3 e dalla (1).
TEOREMA DI BAYES
E’ il fondamentale teorema che consente di calcolare la probabilità che, nel
verificarsi di un evento, abbia agito una causa in un gruppo di cause incompatibili ed
esaustive.
Siano
eventi che costituiscono una partizione di Ω.
Allora per qualunque evento
, la probabilità di
dato E è
Il teorema si dimostra a partire dalla (1) e dal teorema delle probabilità totali.
Nel teorema vengono considerate:
- le probabilità a posteriori dell’ipotesi
dato l’effetto
:
- le probabilità a priori che le singole ipotesi si verifichino:
- le verosimiglianze che l’effetto sia stato causato da una data ipotesi:
.
Dimostrazione:
Dalla (1) si ha che
P( H i | E )
P( H i E )
P( E )
m
Ma essendo E ( E H j ) si può scrivere per il teorema delle probabilità
j 1
totali
m
P( E ) P( H j ) P( E |H j )
j 1
e sempre per la (1) si ottiene subito
P( H i | E )
P( H i ) P( E | H i )
P( E )
e sostituendo la (2) si ottiene la formula del Teorema di Bayes.
(2)
RICHIAMI DI CALCOLO COMBINATORIO
DISPOSIZIONI SENZA RIPETIZIONE
Le disposizioni senza ripetizione DN ,n di N elementi ad n ad n (o di classe n) sono
gruppi di n elementi tratti dagli N e tali che due gruppi differiscono tra loro
- per almeno un elemento
- pere l’ordine degli elementi.
Si vede che
DN ,n N ( N 1)( N 2)...( N n 1)
N!
( N n)!
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
Le disposizioni con ripetizione di N elementi a n a n sono gruppi che si formano dagli
N elementi associando ogni elemento con gli altri e anche con se stesso. I gruppi
differiscono fra loro
- per almeno un elemento
- per l’ordine
- per la ripetizione.
- Si vede che
r
PERMUTAZIONI
DN ,n N n .
Le permutazioni di n elementi sono le disposizioni senza ripetizione di n elementi
in n posti, vale
Pn n(n 1)(n 2)...3 2 1
e si indica con il fattoriale di n (n!).
COMBINAZIONI SENZA RIPETIZIONE
Le combinazioni senza ripetizione di N elementi ad n ad n si formano dagli N
elementi in modo che ciascun gruppo differisca da un altro per almeno un
elemento.
Si vede che vale
C N ,n
DN ,n
Pn
C N ,n
N ( N 1)( N 2)...( N n 1)
N!
=
n!
n!( N n)!
N
( )
n
coefficiente binomiale .
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE
Le combinazioni con ripetizione di N elementi ad n ad n sono gruppi di n elementi
fra loro uguali o diversi e tali che due gruppi differiscono fra loro per
- almeno un elemento
- la ripetizione.
Si ottiene
r
C N ,n C N n1,n
(
N n 1
n
)
