LEZIONE 2.2 corso di statistica Francesco Lagona Università Roma Tre LEZIONE 2.2 – p. 1/8 esperimenti statistici • un esperimento statistico è una prova dal risultato incerto • indichiamo con Ω l’insieme dei risultati possibili ω di un esperimento statistico • esempi: ◦ lancio di una moneta: Ω = {T, C} ◦ lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ◦ genere di una unità estratta a caso da una popolazione di studenti: Ω = {F, M } ◦ giudizio sul corso di statistica dato da uno studente estratto a caso: Ω = {scarso, insufficiente, sufficiente, discreto, buono, ottimo} ◦ numero dei figli che saranno generati da una coppia di sposi: Ω = {0, 1, 2, . . .} ◦ tempo di percorrenza residenza -> lavoro: Ω = (0, +∞) • chiamiamo evento A un qualunque sottoinsieme di Ω • un evento A si verifica se l’esperimento produce un risultato ω ∈ A; ad esempio: ◦ ∅: evento impossibile; Ω: evento certo ◦ se A ∩ B = ∅, A e B si dicono incompatibili ◦ se A ∪ B = Ω, A e B si dicono necessari LEZIONE 2.2 – p. 2/8 probabilità • consideriamo un esperimento statistico, identificato dall’insieme dei risultati possibili Ω • per ogni evento A ⊂ Ω, la probabilità di A è una funzione a valori positivi P (A) ≥ 0 tale che 1. P (Ω) = 1 2. per ogni coppia di eventi incompatibili P (A ∪ B) = P (A) + P (B) • assiomi della probabilità elementare (che considera al più un numero finito di eventi) LEZIONE 2.2 – p. 3/8 P (Ac ) = 1 − P (A) • dimostrazione: poichè Ω = A ∪ Ac • allora (usando il primo e il secondo assioma) 1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac ) = P (A) + P (Ac ) • da cui P (Ac ) = 1 − P (A) • corollario: P (∅) = P (Ωc ) = 1 − P (Ω) = 1 − 1 = 0 LEZIONE 2.2 – p. 4/8 P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) • dimostrazione: poichè A si può decomporre nell’unione di due eventi incompatibili A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) • allora P (A) = P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ) • quindi P (A − B) = P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B) LEZIONE 2.2 – p. 5/8 teorema delle probabilità totali • P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) • dimostrazione: poichè A ∪ B si può decomporre nell’unione di tre eventi incompatibili A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A) • allora P (A ∪ B) =P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A) =P (A) − P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B) =P (A) + P (B) − P (A ∩ B) LEZIONE 2.2 – p. 6/8 teorema delle probabilità totali nel caso dell’unione di tre eventi P (A ∪ B ∪ C) =P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC) nel caso dell’unione di quattro eventi: P (A ∪ B ∪ C ∪ D) =P (A) + P (B) + P (C) + P (D) − P (AB) − P (AC) − P (AD) − P (BC) − P (BD) − P (CD) + P (ABC) + P (ABD) + P (ACD) + P (BCD) − P (ABCD) LEZIONE 2.2 – p. 7/8 eventi equiprobabili • dato un esperimento statistico, la definizione di Ω dipende dagli obiettivi dell’analisi • a volte è possibile definire Ω come un insieme di n eventi necessari, incompatibili e equiprobabili Ω ={ω1 . . . ωn } 1 P (ω1 ) =P (ω2 ) = . . . = P (ω) = n • in tal caso, la probabilità di un evento A può essere definita come il rapporto tra il numero degli elementi di A e il numero degli elementi di Ω |A| P (A) = n dove |A| indica il numero degli elementi di A LEZIONE 2.2 – p. 8/8