Teorema
Se due rette formano con una trasversale angoli alterni interni congruenti allora esse sono
parallele.
Ipotesi: s, t : rette
B
r: trasversale
s
, : angoli alterni interni
=
C
Tesi: s e t sono parallele
s t
A
r
t
Dimostrazione
La dimostrazione viene eseguita per assurdo.
Si suppone che le due rette, s e t, non siano parallele, perciò esse si incontreranno nel punto
C. Le rette s, t e r incontrandosi a due a due formano un triangolo, [ABC].
Esiste il seguente teorema relativo ai triangoli: In ogni triangolo un angolo esterno è sempre
maggiore di un angolo interno non adiacente ad esso. L’angolo è esterno al triangolo, mentre
l’angolo è un angolo interno al triangolo e non è adiacente all’angolo esterno . Per quanto
affermato dal teorema relativo all’angolo esterno di un triangolo, l’angolo è maggiore dell’angolo
.
<
Però l’ipotesi del teorema afferma che gli angoli e sono congruenti, cioè . Allora la
conclusione del ragionamento precedente, < , è in contrasto con l’ipotesi del teorema, .
Questo significa che la condizione di partenza (s e r non sono parallele ) nella dimostrazione era
sbagliata. Siccome la condizione di partenza, s e r non sono parallele, è la negazione di ciò che
afferma la tesi, allora questo vuol dire che la tesi è vera (c.v.d. = come volevasi dimostrare).
Con procedimenti deduttivi simili a questi si dimostra che:
Se due rette di un piano formano con una trasversale:
1. Angoli corrispondenti congruenti;
2. angoli coniugati supplementari
allora le due rette sono parallele
-------------------------------------Dimostrazione per assurdo (significato)
Questo tipo di dimostrazione si effettua partendo da una ipotesi in cui si nega la tesi, cioè si afferma che ciò
che viene enunciato dalla tesi non è vera (cioè è falsa).
Da questa ipotesi si articola un ragionamento che porta a delle conclusioni. Queste possono essere di due
tipi:
1. La conclusione è compatibile con l’ipotesi del teorema, cioè le deduzione che scaturiscono dal
ragionamento non sono in contraddizione con le ipotesi di partenza del teorema. Tutto ciò significa che
l’ipotesi da cui si è partito per effettuare la dimostrazione (negazione della tesi) è vera, quindi la tesi è in
effetti non vera (falsa).
2. La conclusione del ragionamento non è compatibile con l’ipotesi del teorema, cioè le deduzioni che
scaturiscono dal ragionamento sono in contraddizione con le ipotesi di partenza del teorema. Tutto ciò
significa che l’ipotesi da cui si è partito per effettuare la dimostrazione (negazione della tesi) è non vera,
quindi la tesi è in effetti non falsa, cioè vera.
