ESERCIZIO Sia dato un corpo puntiforme appoggiato su di un cilindro con l’asse orizzontale. Il corpo sia posto nella posizione superiore e sia lasciato cadere da fermo come in figura. Determinare in quale posizione tale corpo si stacca dalla superficie durante la sua discesa lungo la superficie laterale del cilindro, trascurando tutti gli attriti. 13 Febbraio 2007 1 SOLUZIONE Il corpo cade da fermo, e quindi l’energia potenziale che perde viene trasformata in energia cinetica. La legge di conservazione dell’energia ci fa scrivere 1 2 mv = mgh 2 (1) h = R − Rcosθ = R(1 − cosθ) (2) dove h può essere scritto Quindi mano a mano che il corpo scende acquista velocità e perde energia cinetica, sotto la spinta della forza peso. Nel sistema di riferimento inerziale del laboratorio, le forze che agiscono sul corpo sono: • forza peso P - che si scompone con una componente tangenziale che serve a trascinare il corpo verso il basso ed una componente radiale. • reazione vincolare di appoggio sulla superficie del cilindro Rv - parallela alla componente radiale della forza peso. Inoltre, dal momento che il corpo compie un moto circolare, la risultante delle forze applicate dovrà necessariamente svolgere il ruolo della forza centripeta Fcp , diretta verso il centro della circonferenza su cui scorre il corpo ed ha modulo uguale a mv 2 /r. Da notare che il modulo della forza centripeta non è costante dal momento che il corpo scendendo aumenta la propria velocità. La forza peso rimane costante durante tutto il moto, ma le sue componenti (radiale PR e tangenziale PT alla traiettoria) e le altre forze variano a seconda della posizione assunta dal corpo durante la discesa. All’inizio la forza 2 centripeta necessaria a tenere il corpo in un moto circolare uniforme è minore della componente radiale della forza peso e pertanto il corpo rimane attaccato alla superficie; man mano che il corpo scende la componente radiale della forza peso diminuisce il suo modulo, mentre la forza centripeta necessaria a tenere il corpo attaccato al cilindro aumenta. Prima del distacco dalla superficie sul corpo, la componente radiale della forza peso è maggiore della forza centripeta per tenere il corpo attaccato alla traiettoria circolare (la cui differenza è compensata dalla presenza della reazione vincolare), mentre la componente tangenziale fa accelerare il corpo. Lungo la direzione radiale, P~R + R~v = F~cp (3) dove Fcp è la forza centripeta che tiene il corpo attaccato ad un moto circolare. Esiste una posizione in cui la forza centripeta e la componente radiale della forza peso sono uguali (la reazione vincolare è nulla). Da questa posizione in poi, la componente radiale della forza peso non riesce piu’ ad avere un modulo tale da agire da forza centripeta e quindi il corpo si stacca dalla superficie. In pratica la posizione limite è quindi definita dall’uguaglianza della componente radiale della forza peso con la forza centripeta P cosθ = m v2 R (4) dove mv 2 può essere sostituito con quanto ricavabile dall’eq. 1. Questo porta a 1 P cosθ = mgcosθ = 2mgR(1 − cosθ) = 2mg(1 − cosθ) (5) R da cui si ottiene cosθ = 2(1 − cosθ) (6) 3 Questo risultato mette in evidenza che non c’è alcuna dipendenza dalla massa del corpo e dal raggio del cilindro. La soluzione dell’eq. 6 è data dalla soluzione della seguente equazione cosθ = 2 3 (7) che vale quindi θ = 0.841 radianti, circa 48 gradi. Possiamo anche risolvere il presente esercizio in un sistema di riferimento non inerziale solidale con il corpo. In tale situazione, lungo la direzione radiale sul corpo agiscono le seguenti forze: • forza peso - componente radiale. • reazione vincolare di appoggio sulla superficie del cilindro - parallela alla componente radiale della forza peso. • forza centrifuga - uguale e contraria alla forza centripeta. In questo caso, l’equilibrio lungo la direzione radiale è dato da da cui si ha P~R + R~v + F~cf = 0 (8) P~R = −(R~v + F~cf ) (9) e la posizione limite è data dall’uguaglianza del modulo della componente radiale della forza peso con quello della forza centrifuga (reazione vincolare di appoggio uguale a 0). Questa condizione porta a scrivere l’eq. 4, la cui soluzione è identica al caso sviluppato nel sistema di riferimento inerziale. Da notare che le due trattazioni relative al sistema di riferimento inerziale del laboratorio e del sistema di riferimento non inerziale solidale col corpo, sono assolutamente equivalenti; infatti l’eq. 3 può essere riscritta P~R + R~v − F~cp = P~R + R~v + F~cf = 0 da cui segue l’eq. 9. 4 (10)