Lezione mecc n.20-2011-2012 Argomenti di questa lezione (esercitazione) • Macchina di Atwood • Moti kepleriani • Urti, moti armonici • Moto di puro rotolamento pag 1 Lezione mecc n.20-2011-2012 28 aprile 2006 Esercizio 2 Nella figura è rappresentata una macchina di Atwood costituita da una carrucola pesante (cilindro omogeneo di massa M e raggio R) su cui è avvolto senza possibilità di strisciamento un filo ideale (inestensibile e di massa trascurabile) al quale sono appesi due corpi, uno di massa M e uno di massa 2M. Il sistema è inizialmente fermo. Si chiede di: a) pag M, R 2 g M 2M scrivere le equazioni del moto dei tre oggetti b) determinare l’accelerazione angolare della carrucola c) determinare la forza vincolare sul perno della carrucola d) calcolare la velocità angolare che ha la carrucola all’istante in cui essa, essendo partita da ferma, ha compiuto una rotazione di un angolo β assegnato. Lezione mecc n.20-2011-2012 pag a, b, c) Indichiamo con T1 la tensione del tratto di filo che sostiene il corpo di massa M e con T2 la tensione dell’altro tratto. Le equazioni del moto sono (prendendo un sistema di coordinate curvilineo diretto con segno positivo quando la carrucola gira in senso orario) Ma=T1−Mg, 2Ma=2Mg−T2, (T2−T1)R=Iα (dove I=MR2/2 è il momento d’inerzia della carrucola) con la condizione di non strisciamento (a=αR) e con la condizione di staticità del centro di massa della carrucola |R|=Ry=Mg+T1+T2. L’insieme delle relazioni appena scritte permette di determinare tutte le quantità richieste (si tratta di 5 equazioni lineari nelle incognite T1, T2, a, α, Ry. d) Applicando il principio di conservazione dell’energia, tenendo conto del fatto che la velocità dei pesi eguaglia la velocità tangenziale ωR della carrucola, e che una rotazione di un angolo β corrisponde a uno spostamento βR dei due pesi, si ha che (1/2)Iω2+(1/2)(2M+M)(ωR)2= =(1/2)(7MR2/2)ω2=(2M−M)gβR, da cui ω2=2MgβR/(7MR2/2)=4gβ/7R, da cui ω=2√(gβ/7R). 3 Lezione mecc n.20-2011-2012 pag 4 2 ottobre 2002 Esercizio 2 Una cometa di massa m orbita intorno al sole (che ha massa M) su un’orbita ellittica. L’orbita è tale che la distanza massima dal sole, D, è uguale a dieci volte la distanza minima, d. a) Quali grandezze meccaniche sono costanti del moto, e perché? b) Di quanto varia l’energia cinetica della cometa fra il punto in cui essa è massima e quello in cui è minima? E quali sono tali due punti? c) Quanto vale l’energia meccanica totale della cometa? [Rispondere usando solo i dati disponibili, che sono d, D = 10d, M, m e la costante universale di gravitazione G. Si assuma M >> m , così che il sole possa considerarsi fermo e si assumano trascurabili gli effetti di altri corpi celesti.] Lezione mecc n.20-2011-2012 pag 5 2 ottobre 2002 esercizio 2 (soluzione) a) Il sistema S+C non è soggetto a forze esterne (avendo deciso di trascurare l’effetto di altri corpi celesti), quindi si conserva la sua quantità di moto, ma questa affermazione è ovvia, quanto inutile… Nel sistema esiste una sola forza agente, dovuta all’interazione gravitazionale fra S e C. Questa forza è conservativa (e quindi si conserva l’energia meccanica totale) e centrale (quindi si conserva il momento angolare di C rispetto a S, che, essendo M>>m assumiamo fermo). b) Essendo Etot=U+K costante, |∆K|=|∆U|. Per l’interazione gravitazionale, assumendo U(∞)=0, si ha U=−GMm/r, per cui fra d e D (che sono i valori estremi della distanza r), si ha |∆K|=|∆U|=GMm(1/d−1/D)=9GMm/D. c) Per la conservazione del momento angolare, tenendo conto che al perielio e all’afelio velocità e raggio vettore (posizione di C rispetto a S) sono perpendicolari, si ha che Lafelio=Lperielio ovvero mvminD=mvmaxd e quindi vmax=10vmin. Inoltre, come si è detto al punto precedente, per la conservazione dell’energia meccanica, 1/2m(vmax2−vmin2)=9GMm/D. Sostituendo si ottiene vmin2=2GM/(11D) e quindi Kafelio=(1/2)mvmin2=GMm/(11D). Questa quantità, sommata a Uafelio=−GMm/D dà l’energia meccanica totale Etot=K+U=(1/11−1)GMm/D=−10/11GMm/D, questa quantità è negativa, come era da aspettarsi, visto che l’orbita della cometa è chiusa. Notiamo che, ovviamente, lo stesso valore di Etot si poteva trovare sommando Kperielio con Uperielio. Lezione mecc n.20-2011-2012 pag 6 17 aprile 2003 Eserc. 1 k V0 A B Due corpi A e B di uguale massa M, poggiano su un piano orizzontale liscio. I due corpi sono connessi da una molla di costante elastica k. Inizialmente la molla è a riposo ed i due corpi si muovono con uguale velocità V0. Ad un certo tempo (t=0) il corpo B urta istantaneamente ed elasticamente contro un blocco fisso, su cui rimbalza. a) Di quanto varia la quantità di moto di B nell’urto? Quanto vale la quantità di moto del sistema A+B dopo l’urto? b) Con quale pulsazione inizia ad oscillare il sistema A+B dopo l’urto? c) Di quanto si comprime la molla, dopo l’urto? d) A quale istante il corpo B urta nuovamente contro il blocco? e) Come si muove il sistema A+B dopo il secondo urto? 17 aprile 2003 F Esercizio 2 R F Un rocchetto è 2R costituito da 3 cilindri omogenei, dei quali due hanno massa M e raggio 2R e uno (quello centrale) ha massa 2M e raggio R. Il rocchetto poggia su un piano orizzontale su cui rotola senza strisciare. Tramite due fili opportunamente avvolti sul rocchetto centrale vengono applicate al sistema due forze identiche F che agiscono orizzontalmente (vedi figura). Calcolare a) il momento d’inerzia del sistema, sia rispetto al suo asse di simmetria sia rispetto all’asse passante per i punti di contatto; b) l’accelerazione angolare del sistema; c) l’accelerazione del centro di massa del rocchetto d) il modulo della forza d’attrito fra rocchetto e piano, chiarendo anche se si tratta di una forza d’attrito statico o di attrito dinamico. Lezione mecc n.20-2011-2012 pag 7 17 aprile 2003 Esercizio 1 - soluzioni Quando B rimbalza, la sua velocità si inverte, quindi l’impulso ricevuto è −2MV0 e la quantità di moto di A+B diventa nulla (si tratta di un risultato particolare, che si verifica solo in questo caso specifico, a causa del fatto che i due corpi hanno massa identica). Dunque, dopo l’urto A e B compiono un moto armonico di pulsazione ω=(k/µ)1/2, con µ=M/2, massa ridotta del sistema ed intanto il centro di massa del sistema resta fermo. Dopo l’urto, si conserva l’energia meccanica totale; quindi quando la molla è massimamente compressa (cioè quando A e B sono fermi) si deve avere 2×(1/2)MV02=(1/2)k∆x2, da cui si ricava ∆x=V0(2M/k)1/2, infatti subito dopo l’urto sia A che B hanno energia cinetica (1/2)MV02. Dopo mezza oscillazione, quindi dopo π/ω=π(µ/k)1/2= π(M/2k)1/2, B torna ad urtare il blocco. Nell’urto, che avviene in un istante in cui la molla è a riposo ed A si sposta a velocità –V0, B riceve di nuovo un impulso –2MV0, per cui subito dopo l’urto anche B si allontana dal blocco con la stessa velocità di A. Pertanto A e B si allontanano insieme con la velocità con cui sono arrivati (a parte il segno) senza avere più alcuna ragione di oscillare. Lezione mecc n.20-2011-2012 pag 8 17 aprile 2003 Esercizio 2 - soluzioni Il momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria cilindrica si calcola per somma: Icm=2×(1/2)×M×(2R)2+(1/2)×2M×R2=5MR2. Applicando il teorema degli assi paralleli si trova Ipc=Icm+4M×(2R)2=21MR2. L’accelerazione angolare si calcola facilmente se si sceglie l’asse di contatto per calcolare i momenti (in modo che la forza d’attrito, che per ora è incognita, non debba essere considerata per il computo dei momenti). Si ottiene α=τ/I=(F×3R+F×R)/Ipc=4RF/(21MR2) α=(4/21)F/(MR). Moltiplicando α per 2R troviamo l’accelerazione del centro di massa, che quindi è (8/21)F/M. La forza d’attrito (statico, poiché nei moti di puro rotolamento il punto di contatto è sempre istantaneamente fermo!) si può ora calcolare, poiché, per la prima equazione cardinale (considerata per la componente orizzontale delle forze) deve essere Mtotacm=4M(8/21)F/M=(32/21)F=ΣF=2F+FA, ⇒ FA=(32/21−2)F=(−10/21)F.