Argomenti di questa lezione (esercitazione)

Lezione mecc n.22
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Argomenti di questa lezione (esercitazione)
• Ancora esercizi di meccanica, in preparazione della prima
prova in itinere
Lezione mecc n.22
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Lezione mecc n.22
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Lezione mecc n.22
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m, r
M, R, I, r
2M
Scrivere le equazioni del moto degli elementi che
costituiscono il sistema e le relazioni fra le quantità
cinematiche necessarie a descrivere il sistema
medesimo.
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Esercizio 2 - 24 aprile 2001
Un disco forato di materiale
omogeneo, massa M=15kg e raggi
Rint=40.0cm e Rext=60.0cm è
sospeso in equilibrio ad un punto
della circonferenza interna. Un
proiettile di massa m=1.0g viene
sparato a velocità v=1.2m/s contro
il disco in direzione orizzontale (vedi figura) e lo colpisce
centralmente, rimanendovi piantato.
a) Calcolare il momento d’inerzia del disco rispetto al punto
di sospensione
b) Stabilire quali grandezze (tra quelle significative ai fini
della descrizione del moto) si conservano durante e dopo
l’urto, indicando esplicitamente le ragioni delle varie
asserzioni.
c) Determinare l’ampiezza delle oscillazioni dopo l’urto e
stabilire se si può parlare di “piccole oscillazioni”
d) In ogni caso, indicare il periodo di piccole oscillazioni
del pendolo.
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Esercizio 1 - 24 aprile 2001
Un cilindro omogeneo di massa M
e raggio R poggia su un piano
g
orizzontale (siamo in presenza di
un campo gravitazionale di
M, R
intensità g) ed è fermo al tempo
t=0. Una forza F diretta a 45 gradi
verso l’alto (vedi figura) è applicata
all’asse del cilindro, il quale rotola sul piano senza
strisciare.
F
a) Qual è l’accelerazione angolare α del cilindro?
b) A quale istante la velocità del centro di massa assume il
valore V=(10gR)1/2?
c) Cosa si può dire del coefficiente d’attrito statico µs?
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Esercizio 2 - 24 aprile 2001
Due piccoli blocchi identici, ciascuno di massa M=1.00kg,
sono sospesi, fermi, in equilibrio, ad una molla appesa al
soffitto, che è alto 3.00metri. La molla ha una lunghezza a
riposo di 1.00metri. Al tempo t=0 uno dei due blocchi viene
sganciato ed esso cade sul pavimento in 350ms.
a) Scrivere le leggi del moto per entrambi i blocchi
b) Determinare le leggi orarie per entrambi i blocchi.
c) Chiarire se e a quali tempi si ha dissipazione di energia
e determinarne l’entità.
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A, m
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k
B, M
Esercizio 1 - 20.07.06
Un corpo A di
massa m scivola
su una guida
liscia orizzontale, sulla quale poggia un secondo corpo, B,
di massa M. Una molla di costante elastica k e massa
trascurabile è attaccata al corpo B. Quando A, all’istante
t=0, urta la molla, vi rimane attaccato. Inizialmente B è
fermo e A si muove a velocità v0 verso di esso.
a) Indicare (giustificando le risposte) quali quantità
meccaniche, fra quelle utili a rispondere ai quesiti seguenti,
restano costanti prima dell’urto e quali dopo l’urto.
b) Calcolare la velocità del centro di massa del sistema
prima e dopo l’urto.
c) Calcolare la massima compressione ∆xmax della molla.
d) Determinare a quali istanti la molla risulta
massimamente compressa.
e) Scrivere la velocità del corpo A rispetto al tavolo ad un
istante generico successivo all’urto
a) Prendiamo in esame il sistema costituito da A, B e la
molla. Non agiscono forze esterne (quindi si conserva la
quantità di moto del sistema), e quelle interne (le due
esercitate dalla molla) sono conservative (quindi si
conserva l’energia meccanica totale del sistema).
b) Abbiamo appena detto che la quantità di moto del
sistema non varia, quindi vCM è sempre la stessa, sia prima
che dopo l’urto. Si vede facilmente che prima dell’urto vale
mv0, pertanto (M+m)vCM=mv0, da cui vCM=(m/M+m)v0, ∀t.
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c) L’energia meccanica totale, che è costante, inizialmente
vale mv02/2 ed è tutta associata al moto di A.
Dopo l’urto, una parte E1 di tale energia è associata al moto
del sistema nel suo insieme, e una parte E2 al moto interno
del sistema.
La E1 è (M+m)vCM2/2, la E2, che si trova per differenza
compete al moto armonico interno al sistema: quando la
molla è massimamente compressa si ha
(1/2)k∆xmax2=E2=E−E1= mv02/2−(M+m)vCM2/2=
mv02/2−[m2/(M+m)]v02/2=… ,
da cui si ricava facilmente ∆xmax
d) Il moto armonico avviene con periodo T=2π√(µ/k) dove
µ=mM/(M+m) è la massa ridotta del sistema.
La massima compressione si ha dopo il primo quarto di
periodo e poi a tutti i periodi successivi: tn=T/4+nT=(n+1/4)
2π√(µ/k).
e) Dopo l’urto, il moto di A è composto da un moto
uniforme con velocità vCM e da un moto armonico di
ampiezza ∆xmax e periodo T, che è sinusoidale e con fase
nulla nella posizione e quindi cosinusoidale nella velocità:
vA(t)=vCM+(2π∆max/T)cos(2πt/T).
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Esercizio 2 - 20.07.06
Un cilindro omogeneo di
2k
massa M e raggio R può
R
k
ruotare liberamente
intorno al proprio asse.
0
∆x
Intorno al cilindro è
avvolto, senza possibilità
di strisciamento, un filo inestensibile e di massa
trascurabile.
Il filo è connesso ad un supporto verticale attraverso due
molle di costante elastica k e 2k (vedi figura).
Quando il supporto è in posizione x=0, le molle sono a
riposo.
Quando il supporto viene spostato di un tratto assegnato ∆x
verso destra, il cilindro ruota di un angolo θ.
Calcolare per quale valore di θ si annulla la somma dei
momenti delle tensioni dei fili rispetto all’asse del cilindro.
Calcolare l’energia potenziale elastica del sistema in
funzione di θ ed individuare il valore (o i valori) di θ che la
rendono minima. Calcolare il periodo di piccole oscillazioni
del sistema intorno alla posizione d’equilibrio.
Indichiamo rispettivamente con δ1 e δ2 gli allungamenti
della molla superiore e di quella inferiore. Da
considerazioni geometriche, se indichiamo come positive le
rotazioni θ in senso orario, si deduce che δ1=∆x−Rθ e
δ2=∆x+Rθ.
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La condizione di annullamento dei momenti si ha per
R2kδ1=Rkδ2 e quindi per θ=∆x/3R. L’energia potenziale
elastica delle due molle è
U=1/2(2k)δ12+(1/2)kδ22=k(∆x−Rθ)2+
(1/2)k(∆x+Rθ)2=(3/2)k∆x2-k∆xRθ+(3/2)k(Rθ)2.
La derivata di U rispetto a θ (che poi, a ben vedere, a parte
il segno, è uguale alla somma dei momenti) è 3kR2θ−k∆xR,
e si annulla infatti proprio per θ=θ0=∆x/3R, come già si
sapeva.
Per piccole oscillazioni intorno alla posizione d’equilibrio,
possiamo scrivere θ=θ0+φ e otteniamo che l’equazione di
moto del cilindro è Id2φ/dt2=−3kR2φ, da cui si vede che la
deviazione φ dalla posizione d’equilibrio θ0 segue una legge
oraria di tipo armonico, di pulsazione ω=(3kR2/I)1/2.
Prendendo per I=(1/2)MR2 (infatti il cilindro è omogeneo)
otteniamo ω=√(6k/M).
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Esercizio 2
g
Si scriva e si risolva
M
l’equazione del moto per
il sistema rappresentato in
figura, che è costituito da
una massa M sospesa ad una corda che,
tramite una carrucola di raggio R e momento
d’inerzia I, è rinviata verso una molla di
costante elastica k. Fornire la legge oraria
nell’ipotesi che al tempo t=0 il sistema sia
fermo con la molla nella sua posizione di
riposo.
k
R, I
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Esercizio 2
Se T1 è la tensione della corda orizzontale e T2 è
quella della corda verticale, indicando con x la
deformazione della molla, con α l’accelerazione
angolare della carrucola e con a la sua accelerazione
tangenziale (che eguaglia l’accelerazione del blocco
sospeso a causa dell’inestensibilità del filo) sussistono
le seguenti relazioni: a=d2x/dt2; a=αR; T1=kx;
Iα=R(T2-T1); Ma=Mg-T2. Questo set di equazioni con
opportuni passaggi di sostituzioni si riduce ad una
singola equazione differenziale del secondo ordine
priva di termini smorzanti, che ha per soluzione un
moto armonico. Eseguendo i calcoli si trova che tale
moto ha pulsazione ω=[k/(M+I/R2)]1/2 ed avviene
intorno alla posizione d’equilibrio (molla allungata di
Mg/k). Dalle condizioni iniziali indicate nel testo, si
ricava che, per il corpo sospeso, l’ampiezza di tale
moto armonico è data dalla separazione fra la
posizione d’equilibrio e la posizione di riposo della
molla (x=0), per x(t) la legge inoltre è cosinusoidale
con fase nulla, dovendo essere nulla dx/dt al tempo
iniziale.
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Esercizio 1
Due blocchi di massa M e
2M rispettivamente sono su
un piano liscio orizzontale. Il
blocco di massa M è connesso a una molla di
costante elastica k e si trova inizialmente in
quiete nella posizione d’equilibrio. Al tempo t=0,
i due blocchi sono separati di una distanza L e il
blocco di massa 2M si muove a velocità v0 contro
l’altro. Quando avviene l’urto, i blocchi restano
incollati l’uno all’altro.
a) A quale tempo avviene l’urto?
b) Quanta energia viene dissipata nell’urto?
c) Qual è la massima compressione della molla,
dopo l’urto?
d) Qual è la legge del moto per le due masse
dopo l’urto?
e) Qual è la legge oraria dopo l’urto?
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Esercizio 2 del 10 luglio 2012
ω
Un cilindro omogeneo di
R, M
massa M e raggio R ruota
strisciando su due pareti
2
1
oblique, perpendicolari fra
loro ed orientate a 45°
rispetto all’orizzontale, come
mostrato in figura. Pareti e cilindro interagiscono
con una forza d’attrito radente descritta dal
coefficiente µD. Si chiede di determinare
a) l’accelerazione angolare del cilindro e
b) l’intensità e direzione della forza totale
scambiata fra cilindro e parete di destra (nel
punto 1).
g
[Si indichino con N1, N2 ed A1, A2 le reazioni normali e
d’attrito nei punti 1 e 2]
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y
x
p
p
A2
N2
N1
Esercizio 2
Sul cilindro agiscono 5 forze (Mg,
N1, A1, N2, A2) di cui ben 4 sono
dirette
parallelamente/perpendicolarmente
ai piani, perciò conviene scegliere
gli assi coordinati come in figura.
A1
In questo modo solo il peso va
scomposto in due componenti,
indichiamo con p=Mg/√2 la componente x (o y) di tale forza.
Abbiamo che essendo il centro di massa non soggetto ad accelerazioni,
deve essere nulla la somma delle forze componenti x (quindi N2−p−A1=0)
ed y (quindi N1−p+A2=0). Date le relazioni Ai=µDNi, si tratta di risolvere il
sistema:
N2−p−µDN1=0; N1−p+µDN2=0.
Con pochi calcoli se ne ricava
N1=p(1−µD)/(1+µD2) e N2=p(1+µD)/(1+µD2).
Dalla 2a equazione cardinale, notando che il momento torcente rispetto
all’asse del cilindro è determinato solo dagli attriti, si ricava
Iα=τ=R(A1+A2)=µDR(N1+N2), da cui, essendo I=MR2/2,
α=2√2(g/R)µD/(1+µD2).
La forza ha componenti (-A1, N1), il modulo sarà quindi
√(A12+N12)=N1√(1+µD2)= N1=p(1−µD)/√(1+µD2)=(Mg/√2)
(1−µD)/√(1+µD2);
l’angolo sarà θ=arctg(N1/A1)=arccotg(A1/N1)=arccotg(−µD).
A quest’ultimo valore dovremmo sommare π/4 se volessimo riferire
l’angolo alla direzione orizzontale.
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