Compito di meccanica analitica del 27 gennaio 2017
Esercizio 1. Un punto pesante è vincolato a muoversi sulla superficie di una
sfera ed è collegato al polo Nord della sfera stessa (l’intersezione della superficie
con l’asse verticale passante per il centro) con una molla elastica di lunghezza a
riposo nulla. Si svolgano i seguenti punti:
(i) Si scrivano la Lagrangiana e l’Hamiltoniana del sistema.
(ii) Si scrivano le equazioni del moto e si trovino eventuali punti di equilibrio.
(iii) Si trovino gli integrali primi (o costanti del moto) del sistema.
(iv) Si dia una descrizione qualitativa del moto, tracciando il ritratto in fase del
sistema ridotto.
(v) Si discuta la stabilità degli eventuali punti di equilibrio (facoltativo).
Esercizio 2. Due punti pesanti A e B, di massa uguale, sono liberi di muoversi
in un piano verticale. Essi interagiscono tra di loro mediante una molla; inoltre,
il punto A interagisce anche con un punto fisso C mediante una molla ed il punto
B è collegato con un’altra molla al punto fisso D. I punti C e D giacciono nel
piano su una retta orizzontale, a distanza d tra loro. Tutte le molle sono elastiche,
con costante elastica identica, e di lunghezza a riposo nulla. Si svolgano i seguenti
punti:
(i) Si scrivano le equazioni del moto.
(ii) Si trovino eventuali punti di equilibrio del sistema, discutendo se siano
stabili.
(iii) Si trovino le soluzioni per le equazioni del moto.
Esercizio 3. Un corpo di massa m incide con velocità v su di un corpo di
ugual massa, inizialmente in quiete. Si determinino le velocità di entrambi i
corpi in seguito all’urto elastico rettilineo tra loro. Si confronti il caso dell’urto
relativistico con quello classico, discutendo il limite del primo per v c.
