Esercizi svolti sul dominio di una funzione razionale fratta

Istituto Statale d’Arte - Classe 5A
Appunti sul dominio di una funzione - Novembre 2006
Esempio 1.
x2 − 4x + 7
;
x2 − 36
il dominio di f è costituito da tutti i numeri reali che non annullano il denominatore; si
dovrà allora escludere le soluzioni dell’equazione x2 − 36 = 0 (che sono x1 = −6 e x2 = 6).
Il dominio di f sarà allora R \ {−6, 6}.
f : x 7−→
Esempio 2.
x2 − 4
;
x2 + 8x
questa volta c’è da risolvere l’equazione di 2◦ grado spuria x2 + 8x = 0, le cui soluzioni sono
fornite da x1 = 0 e x2 = −8 (basta infatti mettere in evidenza la variabile x: x2 + 8x =
x(x + 8)). Il dominio della funzione coincide con R \ {0, −8}.
f : x 7−→
Esempio 3.
3x2 + 5x − 6
;
x2 − x − 2
come nei casi precedente, per il calcolo del dominio basta escludere i valori che annullano
il denominatore; andiamo allora a cercare le soluzioni dell’equazione x2 − x − 2 = 0 con il
metodo classico (ovvero mediante la formula con il discriminante “delta” ∆): x1 = −1 e
x2 = 2. Il dominio di f è allora dato da R \ {−1, 2}.
f : x 7−→
Esempio 4.
x3 − 5x + 3
;
x3 + x2 − 12x
il denominatore è un polinomio di terzo grado, ma se lo scomponiamo come
f : x 7−→
x3 + x2 − 12x = x (x2 + x − 12)
è possibile trovarne le soluzioni: x1 = 0 (valore relativo al fattore x), x2 = 3 e x3 = −4
(valori relativi al fattore x2 + x − 12). Il dominio di f è R \ {0, 3, −4}.
Esempio 5.
x+5
;
(x − 4)(x2 − 7)(x2 − 2x − 15)
qui il denominatore risulta essere già scomposto; in questo caso i valori da “scartare” √
sono
x1 = √4 (valore che annulla il primo fattore del denominatore, cioè x − 4), x2 = − 7 e
x3 = 7 (valori che annullano il secondo fattore, ovvero x2 − 7) e x4 = −3 e x5 = 5 (valori
che annullano il terzo fattore, cioè x2 −2x−15).
Il dominio di f è costituito da tutti i numeri
√ √
reali tranne quelli indicati: R \ {4, − 7, 7, −3, 5}.
f : 7−→
Esempio 6.
x4 − x − 3
;
x2 + 5
in questo caso non ci sono valori numerici da scartare in quanto l’equazione x2 + 5 = 0 non
ammette soluzioni reali. Il dominio di f coincide quindi con R.
f : 7−→