Esercizi di Matematica - Fasci di rette e funzioni

Esercizi di Matematica - Fasci di rette e funzioni
17 Gennaio 2008
Esercizio 1. Si consideri il fascio di rette di equazione  k 1 x ky −3=0 :
●
Si dica se il fascio è proprio od improprio;
●
Si determinino le rette che generano il fascio ed il suo eventuale centro;
●
Si determini la retta esclusa;
●
Si determini la retta che passa per il punto 5,9 ;
●
 =0,4 ;
Si determini la retta del fascio con normale n
●
 =3,1 ;
Si determini la retta del fascio con versore parallelo al vettore u
●
Si determini la retta del fascio parallela e quella perpendicolare alla retta di equazione
y =2x ;
●
Si determinino le rette che del fascio che formano con l'asse delle ascisse un angolo il cui
coseno misura 3/5 .
Esercizio 2. Si consideri il fascio di rette di equazione 2k−1 x 3−6k k =0 :
●
Si dica se il fascio è proprio od improprio;
●
Si determinino le rette che generano il fascio e la retta esclusa;
●
Determinare la retta del fascio che passa per l'origine;
●
Si determini, al variare del parametro k l'intercetta (punto d'intersezione della ratte con
l'asse delle ordinate), e si disegni il grafico della funzione così trovata.
Esercizio 3. Si consideri il fascio di rette  k 1 x  k −1 y 2k−2=0 :
●
Si dica se il fascio è proprio od improprio;
●
Si determinino le rette generatrici e la retta esclusa
●
Si determinino le rette che formano angoli acuti col semiasse positivo delle ascisse;
●
Si determinino le rette aventi distanza unitaria dall'origine;
●
Si determinino le rette aventi distanza
●
Si determinino le rette aventi distanza 2 dall'origine;
●
 2/2
dal punto 0,−1 ;
Si determinino le rette aventi distanza  2 dall'origine (si consiglia caldamente di fare un
disegno per risolvere correttamente questo ultimo punto).
Esercizio 4. Si consideri il fascio generato dalle rette 2x−3y=0 e x  y 1=0 :
●
Si scrivano le due possibili equazioni del fascio così generato e se ne determini il centro;
●
Si determinino le bisettrici dell'angolo formato dalle generatrici del fascio;
●
Dopo aver scelto una rappresentazione del fascio, si determinino le rette che intersecano la
circonferenza unitaria centrata nel punto 3,3 ;
●
Si determinino le rette che intersecano il segmento di estremi 2,2 e 5,−7 ;
●
Le rette che formano un angolo minore di /4 con l'asse delle ordinate.
Esercizio 5. Si consideri il fascio improprio generato dalla retta
y =3x−2 :
y =3x ;
●
Si scriva l'equazione di tale fascio che abbia come retta esclusa la retta
●
Si scriva l'equazione di tale fascio che abbia retta esclusa all'infinito;
●
Con riferimento a questa ultima rappresentazione, si determinino le rette che intercettano il
triangolo di vertici O 0,0 , A 0,3 e B 2,0 ;
●
●
Con riferimento al punto sopra si calcoli, in funzione del parametro k l'area del poligono
che la retta del fascio forma col triangolo suddetto, nel semispazio y 3x−2 , e si disegni il grafico della funzione A =f  k  così trovata;
Si determini, se esiste, l'inversa di f  k  .
Esercizio 6. Si considerino i fasci di rette r k :kx − y 1=0 ed sh : x hy =0 :
●
Si determini la relazione tra k ed h , perché le due rette risultino parallele e perpendicolari;
●
Si determini, in funzione dei due parametri, il coseno di uno dei due angoli che queste due
rette formano tra loro;
●
Si determini, in funzione dei due parametri, il punto di intersezione di tali rette;
●
Si determini in funzione dei due parametri, l'area del triangolo che le due rette formano con
l'asse delle ascisse.
●
Con riferimento al punto precedente, si imponga che l'area di tale triangolo sia unitaria e si
veda la relazione che intercorre tra k ed h affinché questa condizione sia soddisfatta.
In particolare si esprima h =f  k  e si disegni il grafico della funzione così ottenuta.
Esercizio 7. Si consideri il fascio di rette 3k−2 x −4−6k  y k −
proprio oppure di un fascio improprio? Si motivi la risposta.
2
; si tratta di un fascio
3