Presentazione di PowerPoint - Progetto e

n=1
retta
y  P1  x   5 x  7
a>0
1
n=1
retta
y  P1  x   3x  2
a<0
2
n=2
parabola
y  P2  x   2 x 2  5 x  1
a>0
concavità verso l’alto
3
n=2
parabola
y  P2  x    x 2  3x  8
a<0
concavità verso il basso
4
n=3
cubica
y  P3  x   5 x3  x 2  3
a>0
5
n=3
cubica
y  P3  x    x3  2 x 2  x  2
a<0
6
Esempio 1
y  P2  x    x 2  7 x  5
n=2
1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.)
C.E. = R = xR :  < x < +
Ogni polinomio, indipendentemente dal grado,
è definito su tutta la retta reale, cioè su tutto R
C.E. = R = xR :  < x < +
7
y  P2  x    x 2  7 x  5
2) Studio del segno della funzione
y  0   x2  7 x  5  0
cambiando il segno ed il
verso della disequazione
y  0  x2  7 x  5  0
trovando le soluzioni
dell’equazione associata
7  49  20 7  69
x  7 x  5  0  x1,2 

2
2
2
8
7  69
7  69
x  7x  5  0 
x
2
2
2
y  0   x2  7 x  5  0  x2  7 x  5  0 
7  69
2
7  69
7  69
x
2
2
7  69
2
------- +++++ ------y<0
y>0
y<0
9
y  P2  x    x 2  7 x  5
3) Intersezioni con gli assi
x  0

2
 y  x  7x  5
intersezione con l’asse y,
ovvero con la retta x = 0
y  0

2
0   x  7 x  5
intersezione con l’asse x,
ovvero con la retta y = 0
10
y  P2  x    x 2  7 x  5
x  0
x  0

 A   0,5 


2
y  5
 y  x  7x  5
intersezione con l’asse y
y  0
y  0


 2

7  69

x

7
x

5

0
x


 1,2
2


 7  69 
,0 
B  
2



 
 7  69 

,0 
C  
2



intersezioni con l’asse x
11
y  P2  x    x 2  7 x  5
4) Limiti agli estremi del C.E.
C.E. = R = xR :  < x < +
2
lim y  lim   x  7 x  5  ???
x 
x 
2
lim y  lim   x  7 x  5  ???
x 
x 
12
In generale:
n
n 1
n2
n
n
lim  a0 x  a1 x  a2 x  ...  an   lim  a0 x   a0 lim  x  
x 
x 
x 
 se a0 è positivo, n

 se a0 è negativo, n
n
n 1
n2
n
n
lim  a0 x  a1 x  a2 x  ...  an   lim  a0 x   a0 lim  x  
x 
x 
x 






se n è pari ed a0 è positivo
se n è pari ed a0 è negativo
se n è dispari ed a0 è positivo
se n è dispari ed a0 è negativo
13
y  P2  x    x 2  7 x  5
2
2
2
lim y  lim   x  7 x  5  lim   x    lim  x             
2
x 
x 
x 
lim y  lim   x  7 x  5  lim   x
2
x 
x 
x 
x 
2
   lim  x      
2
x 
2
      
la funzione data non ammette asintoti orizzontali
x+y
xy
14
y  P2  x    x 2  7 x  5
5) Calcolo della derivata prima
D( x n )  nx n1
D(a0 x n )  a0 D  x n   a0 nx n1
D(a0 )  0
D( x)  1
D  P1  x   P2  x   ...  Pn  x   D  P1  x   D  P2  x   ...  D  Pn  x 
y '  D  P2  x   D   x 2  7 x  5  D   x 2   D  7 x   D  5 
 2 x  7  0  2 x  7
15
y  P2  x    x 2  7 x  5
6) Studio del segno della derivata prima
y '  0   2 x  7  0   2 x  7  2 x  7  x 
7
2
7
2
+++++ ------y > 0
y < 0
M
16
y  P2  x    x 2  7 x  5
x
7
2
è un massimo per la funzione
2
7
69
7
7
7
x
 y  P2        7    5 
2
4
2
2
2
 7 69 
M  , 
2 4 
è un punto di Massimo per la funzione
17
y  P2  x    x 2  7 x  5
7) Grafico della funzione
y
M
A
B
C
x
18
Esempio 2
n=3
y  P3  x   x3  x
1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.)
C.E. = R = xR :  < x < +
19
y  P3  x   x3  x
2) Studio del segno della funzione
y  0  x3  x  0
raccogliendo la x
y  0  x  x 2  1  0
trovando le soluzioni
dell’equazione associata
x  x 2  1  0  x  0, x 2  1  0  x1  0, x2,3  1
20
x  0
x  x  0  x  0, x  1  0  
 x  1, x  1
3
2
1
0
1
------------ ++++++++
++++++--------++++++
+
+
y<0
y>0 y<0
y>0
21
y  P3  x   x3  x
3) Intersezioni con gli assi
x  0
x  0

 A   0,0   O


3
y  0
y  x  x
intersezione con l’asse y
 B   0,0   A  O

y  0
y  0
 
 C   1,0 

3
 x1  0, x2  1, x3  1
0  x  x

 D   1,0 
intersezioni con l’asse x
22
y  P3  x   x3  x
4) Limiti agli estremi del C.E.
C.E. = R = xR :  < x < +
3
3
lim y  lim  x  x   lim  x       
3
x 
x 
x 
3
3
lim y  lim  x  x   lim  x       
3
x 
x 
x 
x+y+
xy
23
y  P3  x   x3  x
5) Calcolo della derivata prima
y '  D  P3  x   D  x3  x   D  x3   D  x   3x 2  1
6) Studio del segno della derivata prima
y '  0  3x 2  1  0  x  

1
3
1
1
1
1
,x  
 x
,x  
3
3
3
3

1
3
+++ ------ +++
y > 0 y < 0 y > 0
M
m
24
y  P3  x   x3  x
x
1
3

3
3
è un minimo per la funzione
x
1
3

3
3
è un Massimo per la funzione
3

3
3 
3 2 3
x
 0,57  y   
 0,38
 

3
9
 3   3 
3

3
3 
3
2 3
x
 0,57  y   




 0,38
 

3
9
 3   3 

3 2 3
m  
,

3
9


punto di minimo
 3 2 3
M 
,

3
9


punto di Massimo
25
y  P3  x   x3  x
7) Grafico della funzione
y
M
C
O D
m
x
26
Esempio 3
n=3
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4
1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.)
C.E. = R = xR :  < x < +
27
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4
2) Studio del segno della funzione
y  0  x3  x 2  2 x  4  0
scomponendo il
polinomio con Ruffini
1,  2,  4 sono i divisori del termine noto 4
x  1  P3 1  13  12  2 1  4  0
28
1 1 2 4
4
1
1 2
0
1 2 4
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4  y  P3  x    x  1  x 2  2 x  4 
trovando le soluzioni dell’equazione di
secondo grado associata al polinomio
x
2
 2 x  4   0  x1,2  1  1  4  1  3
29
y  0  x3  x 2  2 x  4  0 
 x  1  x 2  2 x  4   0
x 1  0
x  1
y0   2
 
 sempre
x  2x  4  0
1
------- +++++
+++++++++++
+
y<0
y>0
30
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4
3) Intersezioni con gli assi
x  0
x  0
 
 A   0, 4 

3
2
 y  4
 y  x  x  2x  4
intersezione con l’asse y
y  0
y

0

y  0







x 1  0
2
3
2
0  x  x  2 x  4
 x  1  x  2 x  4   0
 x2  2 x  4  0

y  0

  x  1  B  1,0 
mai
intersezione con l’asse x

31
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4
4) Limiti agli estremi del C.E.
C.E. = R = xR :  < x < +
3
2
3
lim y  lim  x  x  2 x  4   lim  x       
3
x 
x 
x 
3
2
3
lim y  lim  x  x  2 x  4   lim  x       
3
x 
x 
x 
x+y+
xy
32
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4
5) Calcolo della derivata prima
y '  D  P3  x   D  x3  x 2  2 x  4   3x 2  2 x  2
6) Studio del segno della derivata prima
y '  0  3x 2  2 x  2  0 sempre
   0
+++++++++++
y > 0
La funzione è sempre crescente!!!
Non ci sono né massimi né minimi!!!
33
y  P3  x   x3  x 2  2 x  4
7) Grafico della funzione
y
B
x
A
34
Osservazioni!
Le funzioni polinomiali sono definite su tutto R
C.E. = R = xR :  < x < +
Le funzioni polinomiali non ammettono asintoti
né verticali né orizzontali
x+y
xy
35