Studio di funzione fratta con valore assoluto - liceoleopardi

Studiare e rappresentare graficamente la funzione
f (x ) =
x 2 − 3x 3
x −1
Svolgimento :
1.
2.
C .E . ⇒ ∀ x ∈ ℜ : x ≠ 1
Intersezioni Assi

x 2 − 3x
y
=

x −1

 x=0

⇒
 y=0

 x=0
 x 2 − 3x
=0

 x −1
 y=0

⇒
 x 2 − 3x = 0

 y=0
⇒
A( 0 , 0
⇒
)
punto d’intersezione con l’asse y .
 x=0
 x=3
, 

 y=0
 y=0
⇒
B( 3 , 0
)
punto d’intersezione con l’asse x .
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f ( x) > 0
3. Segno della Funzione :
poiché il valore assoluto esprime una quantità positiva ,
si ha :
x 2 − 3x > 0
⇒
Vedi lez. 5 Algebra di Base
x<0 , x>3
.B. Le regioni piane contrassegnate dal colore verde escludono la presenza della funzione ,
avendone determinato sopra il segno.
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Vedi lez. 2 Studio di Funzione
4. Limiti
lim
x→1
x 2 − 3x
= −∞
x −1
lim
x→−∞
x − 3x  + ∞ 
=

x −1
+∞
lim
x→+∞
x 2 − 3x  + ∞ − ∞ 
=

x −1
 +∞ 
2
 3
x 2 1 − 
x − 3x
 x = +∞
lim
=
lim
x→−∞ 1 − x
x→−∞ 2  1 1 
x  2 − 
x
x
 3
x 2 1 − 
2
x − 3x
 x = +∞
⇒
lim
=
lim
x→+∞ x − 1
x→+∞ 2  1 1 
x  − 2
x x 
2
⇒
La rappresentazione grafica dello studio dei limiti :
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5. Asintoti
x =1
asintoto verticale
verifica esistenza asintoti obliqui :
y = mx + q
 3
x 2 1 − 
f (x )  + ∞ 
x − 3x
 x  = −1
m = lim
=
lim
=
lim
 ⇒
2
x→−∞ x
x→−∞ x − x
x→−∞ 2  1 
−∞
x  − 1
x 
x 2 − 3x
− 2x  + ∞ 
+ x = (+ ∞ − ∞ ) ⇒
lim
=
q = lim
f ( x ) − mx = lim
x→−∞
x→−∞ 1 − x
x→−∞ 1 − x  + ∞ 
2
q = lim
x→−∞
− 2x
=2
1 
x − 1
x 
quindi per x → −∞
⇒
y = −x + 2
asintoto obliquo
,
 3
x 2 1 − 
f (x )  + ∞ 
x − 3x
 x = 1
lim
lim
m = lim
=
=
 ⇒
2
x→+∞ x
x→+∞ x − x
x→+∞ 2  1 
+∞
x 1 − 
 x
2
− 2x  − ∞ 
x − 3x
q = lim
f ( x ) − mx = lim
− x = (+ ∞ − ∞ ) ⇒
lim
=
x→+∞
x→+∞ x − 1
x→+∞ x − 1  + ∞ 
2
q = lim
x→+∞
− 2x
= −2
 1
x1 − 
 x
quindi per x → +∞
⇒
y = x−2
asintoto obliquo
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La rappresentazione grafica dello studio degli asintoti :
6. Derivata 1^
Per x − 1 > 0
f ' ( x) =
→
x >1
(2 x − 3)(x − 1) − (x 2 − 3x )
(x − 1)2
f ' ( x) > 0
⇒
f (x ) =
⇒
=
x 2 − 3x
x −1
x 2 − 2x + 3
(x − 1)2
x 2 − 2 x + 3 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ : x > 1
Vedi lez. 3 Algebra di Base
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Per x − 1 < 0
f ' ( x) =
→
x <1
(2 x − 3)(1 − x ) + (x 2 − 3x )
(1 − x )2
f ' ( x) > 0
⇒
f (x ) =
⇒
=
x 2 − 3x
1− x
− x 2 + 2x − 3
(1 − x )2
x 2 − 2x + 3 < 0 ⇒ ∀
/ x∈ℜ
Vedi lez. 3 Algebra di Base
7. Derivata 2^
Per x − 1 > 0
f ' ' ( x) =
→
x >1
⇒
f ' (x ) =
(2 x − 2)(x − 1)2 − 2(x − 1)(x 2 − 2 x + 3)
(x − 1)4
f ' ' ( x) > 0
x 2 − 2x + 3
(x − 1)2
=
(
2( x − 1) x 2 − 2 x + 1 − x 2 + 2 x − 3
(x − 1)
4
)
=
⇒ ∀
/ x∈ℜ: x <1
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−4
(x − 1)3
Per x − 1 < 0
f ' ' ( x) =
→
x <1
⇒
f ' (x ) =
− x 2 + 2x − 3
(− 2 x + 2)(1 − x )2 + 2(1 − x )(− x 2 + 2 x − 3)
(1 − x )4
f ' ' ( x) > 0
(1 − x )2
=
−4
(1 − x )3
⇒ ∀
/ x∈ℜ
Il grafico :
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•
La sezione degli esercizi di Matematica è aggiornata frequentemente, puoi consultarla
direttamente da questo link: http://www.ystudio.it/site/index.php/Esercizi-di-Matematica-1/
•
Per lo studio delle Funzioni assume importanza fondamentale lo studio dei limiti e degli
asintoti, puoi scaricare gratuitamente la lezione completa con i metodi risolutivi gli schemi e
molti esercizi svolti qui: http://www.ystudio.it/site/index.php/Esercizi-di-Matematica-1/lezioneed-esercizi-sui-limiti-e-sugli-asintoti.html
•
La tabella completa con le Formule delle Derivate può essere scaricata e stampata da: Guida
allo studio di una funzione (http://www.ystudio.it/site/index.php/Esercizi-di-Matematica1/guida-allo-studio-di-funzione.html )
•
Puoi scaricare le lezioni gratuite del Corso on line di Algebra di base dove vengono
approfondite le proprietà e le metodologie di calcolo delle equazioni e disequazioni per i seguenti
argomenti:
Irrazionali :
http://www.ystudio.it/site/index.php/Home/Algebra-di-base/25-Lezione-4-Radicali-Equazioni-edisequazioni-irrazionali.html
Logaritmi:
http://www.ystudio.it/site/index.php/Home/Algebra-di-base/26-Lezione-5-Logaritmi-Equazioni-eDisequazioni-logaritmiche.html?pop=0
Esponenziali e Valore assoluto : http://www.ystudio.it/site/index.php/Home/Algebra-dibase/27-Lezione-6-Equazioni-e-disequazioni-esponenziali-Valore-assoluto.html?pop=0
Elementi di Goniometria:
http://www.ystudio.it/site/index.php/Home/Algebra-di-base/28-Lezione-7-Goniometria-Lefunzioni-sex-cosx-tgx.html?pop=0
Equazioni e disequazioni goniometriche:
http://www.ystudio.it/site/index.php/Home/Algebra-di-base/29-Lezione-8-Equazioni-edisequazioni-goniometriche.html?pop=0
Fratte, fattoriali, sistemi:
http://www.ystudio.it/site/index.php/Home/Algebra-di-base/24-Lezione-3-Disequazionialgebriche.html
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