Il numero aureo - Home page Mathesis di Lanciano e Ortona

PRIME NOTIZIE
φ Babilonesi ed Egizi (?)
ϕ Piramide di Cheope
φ Pitagorici (VI sec. a.C.)
ϕ Stella a cinque punte
φ Euclide (≈ 300 a.C.)
ϕ Definizione di proporzione media ed estrema:
“Si dice che una retta è stata divisa in estrema e media ragione quando
la retta intera sta al segmento maggiore di essa come il segmento
maggiore sta al segmento minore.”
(Elementi, Libro Sesto, Definizione 3)
𝑎+𝑏 𝑎
𝑏
= =
=𝜑
𝑎
𝑏 𝑎−𝑏
ϕ Primo metodo di divisione di un segmento in media e estrema ragione
DUE COSTRUZIONI GEOMETRICHE
φ Creare un segmento in proporzione
media ed estrema da uno dato
ϕ Dato il segmento AS si costruisce il segmento CS⟘AS
tale che CS=AS. Puntando in M, punto medio di AS, si
riporta la misura CM sul prolungamento di AS,
trovando il punto B. AS è sezione aurea di AB.
φ Dividere un segmento in media
ed estrema ragione
ϕ Dato un segmento AB, si traccia il segmento
BC⟘AB tale che BC=AB/2. Col compasso si
riporta la misura BC sull’ipotenusa AC del
triangolo rettangolo ABC, trovando il punto
D. Si riporta la misura di AD su AB, trovando
il punto S. AS è sezione aurea di AB.
IL RETTANGOLO AUREO
φ Costruzione
ϕ Si costruisce un segmento in proporzione
aurea dal lato di un quadrato, ottenendo il
lato maggiore del rettangolo. Il rapporto tra
lato maggiore e lato minore sarà uguale a ϕ.
φ Spirale aurea
ϕ Si può approssimare con archi di
circonferenza nella figura ottenuta
sottraendo un quadrato a un rettangolo
aureo e ripetendo il processo sul nuovo
rettangolo aureo ottenuto.
ϕ Essendo una spirale logaritmica, non
raggiunge mai il centro (l’occhio di Dio
secondo Clifford A. Pickover).
IL RETTANGOLO AUREO
φ Costruzione
ϕ Si costruisce un segmento in proporzione
aurea dal lato di un quadrato, ottenendo il
lato maggiore del rettangolo. Il rapporto tra
lato maggiore e lato minore sarà uguale a ϕ.
φ Spirale aurea
ϕ Si può approssimare con archi di
circonferenza nella figura ottenuta
sottraendo un quadrato a un rettangolo
aureo e ripetendo il processo sul nuovo
rettangolo aureo ottenuto.
ϕ Essendo una spirale logaritmica, non
raggiunge mai il centro (l’occhio di Dio
secondo Clifford A. Pickover).
IL RETTANGOLO AUREO
E
φ Come riconoscerlo senza
calcoli o misure
ϕ Si prendono due rettangoli uguali e li si
colloca come in figura. Se, tracciando il
segmento AE, esso passa esattamente per
C, allora i due rettangoli sono aurei.
φ Nella realtà
ϕ Carte di credito, patente, tessere varie…
ϕ Formato di alcuni libri
ϕ (…)
C
m
A
m
B
n
D
PARENTESI
ALTRI RETTANGOLI NOTEVOLI
φ Rettangolo 4:3 e rettangolo 16:9
ϕ Schermi dei televisori
φ Rettangolo 2
ϕ Il rapporto tra il lato maggiore e il minore è 2
ϕ Dividendo a metà il lato maggiore si ottiene un
nuovo rettangolo 2 (formato ISO 216)
φ Rettangolo d’argento
ϕ Il rapporto tra il lato maggiore e il minore è
1 + 2 (numero d’argento)
ϕ Conferisce stabilità alle costruzioni
1
1
2
1
PENTAGONI E TRIANGOLI
φ Il lato di un pentagono regolare è
sezione aurea della diagonale
ϕ Nel pentagono stellato sussiste la proporzione:
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶
=
=
=𝜑
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
φ Triangolo aureo e gnomone aureo
ϕ Nel triangolo aureo (36°-72°-72°) e nello
gnomone aureo (108°-36°-36°) i due lati uguali
sono in rapporto aureo con il terzo lato.
ϕ Bisecando ripetutamente uno degli angoli di 72°
del triangolo aureo si può creare una successione
infinita di gnomoni aurei con cui approssimare la
spirale aurea (successione di archi di 108° di
ampiezza).
A
B
C
D
PENTAGONI E TRIANGOLI
36°
φ Il lato di un pentagono regolare è
sezione aurea della diagonale
ϕ Nel pentagono stellato sussiste la proporzione:
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶
=
=
=𝜑
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
φ Triangolo aureo e gnomone aureo
ϕ Nel triangolo aureo (36°-72°-72°) e nello
gnomone aureo (108°-36°-36°) i due lati uguali
sono in rapporto aureo con il terzo lato.
ϕ Bisecando ripetutamente uno degli angoli di 72°
del triangolo aureo si può creare una successione
infinita di gnomoni aurei con cui approssimare la
spirale aurea (successione di archi di 108° di
ampiezza).
108°
72°
72°
QUANTO VALE IL NUMERO AUREO?
φ Consideriamo la proporzione
Deve essere, detto ϕ il numero aureo:
𝑎+𝑏 𝑎
= =𝜑
𝑎
𝑏
Sostituendo 𝑎 = 𝑏𝜑, si ha:
𝑏𝜑 + 𝑏 𝑏𝜑 𝜑 + 1
=
→
= 𝜑 → 𝜑 + 1 = 𝜑2
𝑏𝜑
𝑏
𝜑
Risolvendo l’equazione, si ottiene una sola soluzione
positiva:
1+ 5
𝜑=
= 1,618033 …
2
dunque ϕ è un numero irrazionale.
QUANTO VALE IL NUMERO AUREO?
φ Metodi di approssimazione
ϕ Successione indefinita di radici quadrate
𝜑=
1 + 1 + 1+. . .
infatti 𝜑 2 = 1 + 1 + 1+. . . = 1 + 𝜑
che è di nuovo l’equazione della sezione aurea.
ϕ Frazione continua
𝜑 =1+
1
1+
1
infatti 𝜑 = 1 +
1
1+...
1
𝜑
cioè 𝜑 2 = 1 + 𝜑
che è ancora l’equazione della sezione aurea.
ϕ Mediante la successione di Fibonacci
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI
φ Un problema di conigli
ϕ “Un tale teneva una coppia di conigli in
un recinto, e voleva sapere quanti conigli
potevano nascere da questa coppia in un
anno, dal momento che, per natura, una
coppia di conigli genera ogni mese
un’altra coppia, ed ogni nuova coppia
inizia a riprodursi dal mese seguente. *…+
In margine, si può vedere come abbiamo
operato: abbiamo aggiunto il primo
numero al secondo, cioè l’1 al 2, il
secondo al terzo, il terzo al quarto, il
quarto al quinto e così via fino a che
abbiamo sommato il decimo
all’undicesimo *…+, e lo stesso si può fare
per un numero infinito di mesi.”
(Liber Abaci, cap. XII)
Mese
Coppie
0
1
1
2
2
3
3
5
4
8
5
13
6
21
7
34
8
55
9
89
10
144
11
233
12
377
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI
φ Definizione ricorsiva
𝐹1 = 𝐹2 = 1
𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2
𝑛>2
φ Limite del rapporto tra due
termini consecutivi (Keplero)
𝐹𝑛+1
𝑛→+∞ 𝐹𝑛
lim
=𝜑
φ Termine generale della successione (Binet)
𝐹𝑛 =
1
5
𝜑𝑛
−
1 𝑛
−
𝜑
=
1
5
1+ 5
2
𝑛
−
1− 5
2
𝑛
φ Spirale di Fibonacci
ϕ Anch’essa approssima la spirale aurea, ma utilizzando
quadrati che abbiano per lato numeri della successione.
ALCUNE PROPRIETÀ DI ϕ
φ Il numero aureo è l’unico numero non
naturale il cui reciproco e il cui quadrato
mantengono inalterata la parte decimale
𝜑 = 1,618033 …
1
= ???
𝜑
𝜑2 = ? ? ?
ALCUNE PROPRIETÀ DI ϕ
φ Il numero aureo è l’unico numero non
naturale il cui reciproco e il cui quadrato
mantengono inalterata la parte decimale
𝜑 = 1,618033 …
1
= 0,618033 … = 𝜑 − 1
𝜑
𝜑2 = 2,618033 … = 𝜑 + 1
𝜑2 − 𝜑 − 1 = 0
φ Le potenze 𝜑𝑛 possono essere calcolate mediante
la successione di Fibonacci e per 𝑛 molto grande
sono “quasi intere” (numeri di Pisot)
𝜑2 = 𝜑 + 1
𝜑3 = 𝜑2 + 𝜑 = (𝜑 + 1) + 𝜑 = 2𝜑 + 1
𝜑4 = 𝜑3 + 𝜑2 = (2𝜑 + 1) + (𝜑 + 1) = 3𝜑 + 2
𝜑5 = 𝜑4 + 𝜑3 = (3𝜑 + 2) + (2𝜑 + 1) = 5𝜑 + 3
………
𝜑𝑛 = 𝜑𝑛−1 + 𝜑𝑛−2 = 𝐹𝑛 ∙ 𝜑 + 𝐹𝑛−1
𝜑 20 = 15126,999933 …
𝜑 21 = 24476,000040 …
𝜑 22 = 39602,999974 …
MOSAICI E QUASICRISTALLI
φ Le tassellature periodiche presentano
un motivo minimo che si può ripetere
indefinitamente nel piano
Roger Penrose
φ Le tassellature di Penrose
seguono il rapporto aureo
ϕ I tasselli derivano dall’unione di
triangoli e gnomoni aurei.
ϕ Il rapporto tra il numero di tessere
usate di ogni tipo tende a ϕ con
l’aumentare delle tessere.
72°
108°
144°
36°
Rombi
Dardo e
aquilone
MOSAICI E QUASICRISTALLI
φ Alcuni quasicristalli presentano
strutture aperiodiche riconducibili
ai mosaici di Penrose
ϕ Si trovano molto spesso nelle leghe di alluminio.
ϕ Sezionandoli opportunamente, gli atomi in
superficie sono disposti secondo una
tassellatura di Penrose.
Daniel Shechtman
SEZIONE AUREA E MONDO VEGETALE
(Achtung! Risultati validi nella maggior parte dei casi!)
φ Pigne… ripetitive
ϕ Il numero di spirali in senso orario e il numero di
spirali in senso antiorario delle pigne sono spesso
termini contigui della successione di Fibonacci.
φ In alcune piante le foglie si
dispongono seguendo una spirale
attorno al fusto
ϕ L’angolo di divergenza tra due foglie successive è
sempre di circa 137,5° (angolo aureo).
SEZIONE AUREA E MONDO VEGETALE
φ Il pentagono e i numeri di Fibonacci sono
presenti in molti fiori e forme di vita
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Stella marina
Spirali nel girasole
Fiore di gelsomino, fiore d’arancio
(…)
PER CONCLUDERE…
φ Abbiamo visto alcuni
esempi della costante
presenza di ϕ nel
mondo che ci
circonda e nella
matematica
classica e
moderna.
φ Tanti altri sono i campi
in cui la “divina
proporzione” è
presente (vedi
ad esempio gli
oggetti frattali).
“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro
è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo.
Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il
secondo un prezioso gioiello.” (Keplero)