Il numero aureo - Home page Mathesis di Lanciano e Ortona
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PRIME NOTIZIE φ Babilonesi ed Egizi (?) Ο Piramide di Cheope φ Pitagorici (VI sec. a.C.) Ο Stella a cinque punte φ Euclide (≈ 300 a.C.) Ο Definizione di proporzione media ed estrema: “Si dice che una retta è stata divisa in estrema e media ragione quando la retta intera sta al segmento maggiore di essa come il segmento maggiore sta al segmento minore.” (Elementi, Libro Sesto, Definizione 3) π+π π π = = =π π π π−π Ο Primo metodo di divisione di un segmento in media e estrema ragione DUE COSTRUZIONI GEOMETRICHE φ Creare un segmento in proporzione media ed estrema da uno dato Ο Dato il segmento AS si costruisce il segmento CSβAS tale che CS=AS. Puntando in M, punto medio di AS, si riporta la misura CM sul prolungamento di AS, trovando il punto B. AS è sezione aurea di AB. φ Dividere un segmento in media ed estrema ragione Ο Dato un segmento AB, si traccia il segmento BCβAB tale che BC=AB/2. Col compasso si riporta la misura BC sull’ipotenusa AC del triangolo rettangolo ABC, trovando il punto D. Si riporta la misura di AD su AB, trovando il punto S. AS è sezione aurea di AB. IL RETTANGOLO AUREO φ Costruzione Ο Si costruisce un segmento in proporzione aurea dal lato di un quadrato, ottenendo il lato maggiore del rettangolo. Il rapporto tra lato maggiore e lato minore sarà uguale a Ο. φ Spirale aurea Ο Si può approssimare con archi di circonferenza nella figura ottenuta sottraendo un quadrato a un rettangolo aureo e ripetendo il processo sul nuovo rettangolo aureo ottenuto. Ο Essendo una spirale logaritmica, non raggiunge mai il centro (l’occhio di Dio secondo Clifford A. Pickover). IL RETTANGOLO AUREO φ Costruzione Ο Si costruisce un segmento in proporzione aurea dal lato di un quadrato, ottenendo il lato maggiore del rettangolo. Il rapporto tra lato maggiore e lato minore sarà uguale a Ο. φ Spirale aurea Ο Si può approssimare con archi di circonferenza nella figura ottenuta sottraendo un quadrato a un rettangolo aureo e ripetendo il processo sul nuovo rettangolo aureo ottenuto. Ο Essendo una spirale logaritmica, non raggiunge mai il centro (l’occhio di Dio secondo Clifford A. Pickover). IL RETTANGOLO AUREO E φ Come riconoscerlo senza calcoli o misure Ο Si prendono due rettangoli uguali e li si colloca come in figura. Se, tracciando il segmento AE, esso passa esattamente per C, allora i due rettangoli sono aurei. φ Nella realtà Ο Carte di credito, patente, tessere varie… Ο Formato di alcuni libri Ο (…) C m A m B n D PARENTESI ALTRI RETTANGOLI NOTEVOLI φ Rettangolo 4:3 e rettangolo 16:9 Ο Schermi dei televisori φ Rettangolo 2 Ο Il rapporto tra il lato maggiore e il minore è 2 Ο Dividendo a metà il lato maggiore si ottiene un nuovo rettangolo 2 (formato ISO 216) φ Rettangolo d’argento Ο Il rapporto tra il lato maggiore e il minore è 1 + 2 (numero d’argento) Ο Conferisce stabilità alle costruzioni 1 1 2 1 PENTAGONI E TRIANGOLI φ Il lato di un pentagono regolare è sezione aurea della diagonale Ο Nel pentagono stellato sussiste la proporzione: π΄π΅ π΄π· π΅πΆ = = =π π΄π· π΅πΆ πΆπ· φ Triangolo aureo e gnomone aureo Ο Nel triangolo aureo (36°-72°-72°) e nello gnomone aureo (108°-36°-36°) i due lati uguali sono in rapporto aureo con il terzo lato. Ο Bisecando ripetutamente uno degli angoli di 72° del triangolo aureo si può creare una successione infinita di gnomoni aurei con cui approssimare la spirale aurea (successione di archi di 108° di ampiezza). A B C D PENTAGONI E TRIANGOLI 36° φ Il lato di un pentagono regolare è sezione aurea della diagonale Ο Nel pentagono stellato sussiste la proporzione: π΄π΅ π΄π· π΅πΆ = = =π π΄π· π΅πΆ πΆπ· φ Triangolo aureo e gnomone aureo Ο Nel triangolo aureo (36°-72°-72°) e nello gnomone aureo (108°-36°-36°) i due lati uguali sono in rapporto aureo con il terzo lato. Ο Bisecando ripetutamente uno degli angoli di 72° del triangolo aureo si può creare una successione infinita di gnomoni aurei con cui approssimare la spirale aurea (successione di archi di 108° di ampiezza). 108° 72° 72° QUANTO VALE IL NUMERO AUREO? φ Consideriamo la proporzione Deve essere, detto Ο il numero aureo: π+π π = =π π π Sostituendo π = ππ, si ha: ππ + π ππ π + 1 = → = π → π + 1 = π2 ππ π π Risolvendo l’equazione, si ottiene una sola soluzione positiva: 1+ 5 π= = 1,618033 … 2 dunque Ο è un numero irrazionale. QUANTO VALE IL NUMERO AUREO? φ Metodi di approssimazione Ο Successione indefinita di radici quadrate π= 1 + 1 + 1+. . . infatti π 2 = 1 + 1 + 1+. . . = 1 + π che è di nuovo l’equazione della sezione aurea. Ο Frazione continua π =1+ 1 1+ 1 infatti π = 1 + 1 1+... 1 π cioè π 2 = 1 + π che è ancora l’equazione della sezione aurea. Ο Mediante la successione di Fibonacci LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI φ Un problema di conigli Ο “Un tale teneva una coppia di conigli in un recinto, e voleva sapere quanti conigli potevano nascere da questa coppia in un anno, dal momento che, per natura, una coppia di conigli genera ogni mese un’altra coppia, ed ogni nuova coppia inizia a riprodursi dal mese seguente. *…+ In margine, si può vedere come abbiamo operato: abbiamo aggiunto il primo numero al secondo, cioè l’1 al 2, il secondo al terzo, il terzo al quarto, il quarto al quinto e così via fino a che abbiamo sommato il decimo all’undicesimo *…+, e lo stesso si può fare per un numero infinito di mesi.” (Liber Abaci, cap. XII) Mese Coppie 0 1 1 2 2 3 3 5 4 8 5 13 6 21 7 34 8 55 9 89 10 144 11 233 12 377 LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI φ Definizione ricorsiva πΉ1 = πΉ2 = 1 πΉπ = πΉπ−1 + πΉπ−2 π>2 φ Limite del rapporto tra due termini consecutivi (Keplero) πΉπ+1 π→+∞ πΉπ lim =π φ Termine generale della successione (Binet) πΉπ = 1 5 ππ − 1 π − π = 1 5 1+ 5 2 π − 1− 5 2 π φ Spirale di Fibonacci Ο Anch’essa approssima la spirale aurea, ma utilizzando quadrati che abbiano per lato numeri della successione. ALCUNE PROPRIETÀ DI Ο φ Il numero aureo è l’unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la parte decimale π = 1,618033 … 1 = ??? π π2 = ? ? ? ALCUNE PROPRIETÀ DI Ο φ Il numero aureo è l’unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la parte decimale π = 1,618033 … 1 = 0,618033 … = π − 1 π π2 = 2,618033 … = π + 1 π2 − π − 1 = 0 φ Le potenze ππ possono essere calcolate mediante la successione di Fibonacci e per π molto grande sono “quasi intere” (numeri di Pisot) π2 = π + 1 π3 = π2 + π = (π + 1) + π = 2π + 1 π4 = π3 + π2 = (2π + 1) + (π + 1) = 3π + 2 π5 = π4 + π3 = (3π + 2) + (2π + 1) = 5π + 3 ……… ππ = ππ−1 + ππ−2 = πΉπ β π + πΉπ−1 π 20 = 15126,999933 … π 21 = 24476,000040 … π 22 = 39602,999974 … MOSAICI E QUASICRISTALLI φ Le tassellature periodiche presentano un motivo minimo che si può ripetere indefinitamente nel piano Roger Penrose φ Le tassellature di Penrose seguono il rapporto aureo Ο I tasselli derivano dall’unione di triangoli e gnomoni aurei. Ο Il rapporto tra il numero di tessere usate di ogni tipo tende a Ο con l’aumentare delle tessere. 72° 108° 144° 36° Rombi Dardo e aquilone MOSAICI E QUASICRISTALLI φ Alcuni quasicristalli presentano strutture aperiodiche riconducibili ai mosaici di Penrose Ο Si trovano molto spesso nelle leghe di alluminio. Ο Sezionandoli opportunamente, gli atomi in superficie sono disposti secondo una tassellatura di Penrose. Daniel Shechtman SEZIONE AUREA E MONDO VEGETALE (Achtung! Risultati validi nella maggior parte dei casi!) φ Pigne… ripetitive Ο Il numero di spirali in senso orario e il numero di spirali in senso antiorario delle pigne sono spesso termini contigui della successione di Fibonacci. φ In alcune piante le foglie si dispongono seguendo una spirale attorno al fusto Ο L’angolo di divergenza tra due foglie successive è sempre di circa 137,5° (angolo aureo). SEZIONE AUREA E MONDO VEGETALE φ Il pentagono e i numeri di Fibonacci sono presenti in molti fiori e forme di vita Ο Ο Ο Ο Stella marina Spirali nel girasole Fiore di gelsomino, fiore d’arancio (…) PER CONCLUDERE… φ Abbiamo visto alcuni esempi della costante presenza di Ο nel mondo che ci circonda e nella matematica classica e moderna. φ Tanti altri sono i campi in cui la “divina proporzione” è presente (vedi ad esempio gli oggetti frattali). “La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo un prezioso gioiello.” (Keplero)
