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La sezione aurea nelle sue molteplici applicazioni
Nella geometria piana il rapporto aureo trova molteplici applicazioni.
Se prendiamo un segmento AB = 1, la sua parte aurea AD vale circa 0,618 (Figura 1).
Figura 1
Si può costruire un rettangolo aureo in cui il rapporto tra la base e l’altezza è Φ
= 1.618….
Se ad un rettangolo aureo togliamo un quadrato, la parte restante è ancora un
rettangolo aureo. Ripetendo tale operazione in successione è possibile ricavare
una sorta di spirale aurea (Figura 2).
Figura 2
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Il triangolo aureo è un triangolo isoscele che ha per base il lato del pentagono
regolare ed i lati uguali alle diagonali congiungenti il lato al vertice opposto
(Figura 3).
Figura 3
I triangoli adiacenti sono chiamati gnomoni aurei.
Considerando che l’angolo interno del pentagono vale 108° e gli angoli alla
base degli gnomoni aurei valgono 36°, gli angoli alla base del triangolo aureo
misurano 72°. Gli angoli interni del triangolo aureo, quindi, hanno ampiezza:
36°, 72°, 72°.
Ne consegue che un pentagono può essere suddiviso in 5 triangoli aurei.
Nel decagono regolare il rapporto tra il lato ed il suo apotema è aureo (Figura 4).
Figura 4
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Se passiamo alla geometria solida, considerando in particolare i solidi Platonici, ritroveremo il rapporto aureo anche nel dodecaedro e
icosaedro.
Nei secoli l’uomo è stato affascinato dalle proprietà geometriche e
matematiche della sezione aurea a tal punto da porre in relazione
l’ideale di bellezza di un’opera d’arte con l’armonia visiva da essa
generata.
Nell’Architettura, nella Scultura e nella Pittura si possono elencare
numerose opere d’arte riconducibili alle proporzioni della sezione
aurea del segmento o del rettangolo.
Il rapporto aureo è indicato con la lettera greca Φ, iniziale del nome
dello scultore greco Fidia ed il suo valore è circa 1,618.
Se si sovrappone la costruzione del rettangolo aureo alla facciata
del Partenone si deduce che altezza e larghezza corrispondono a
queste proporzioni ed il timpano misura un angolo di 144°, che corrisponde alla misura degli angoli interni del decagono regolare, in
cui è aureo il rapporto tra il lato ed il raggio della circonferenza
circoscritta.
Gli schemi della facciata e della pianta del Partendone evidenziano il proporzionamento basato sul quadrato, sui rettangoli dinamici
con lato 2 e 5 . Il rettangolo dinamico è caratterizzato da un
valore irrazionale o decimale illimitato del rapporto tra i due lati, ad
esempio 2 e 5 ecc.
Anche il rettangolo aureo è un rettangolo dinamico, perché il
rapporto tra i lati è uguale a 1,6180339… numero irrazionale
(Figura 5).
Nell’architettura del Rinascimento gli Architetti che applicarono il
rapporto aureo furono Donato Bramante e Leon Battista Alberti.
Figura 5
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Nell’Architettura moderna ricordiamo Le Corbusier che lo utilizzò nella progettazione della Città di Chandigarh e dell’Unità
di Abitazione di Marsiglia, perfezionando il modulor, principio
di proporzionamento basato sulle misure ideali del corpo umano (Figura 6).
Nella Pittura l’applicazione della sezione aurea può essere attribuita alla necessità di proporzionare le dimensioni del supporto,
alla ricerca dell’armonia delle forme o alla volontà di creare la
composizione con punti di convergenza significativi.
L’ applicazione della sezione aurea ha affascinato lo stesso Leonardo Da Vinci nell’opera La vergine delle rocce (Figura 7).
L’opera è composta su una superficie rettangolare con orientamento verticale in cui si sovrappongono più figure geometriche:
un rettangolo, un quadrato e una semicirconferenza. La testa
della Madonna coincide con il vertice del triangolo isoscele, che
è sull’asse verticale che
divide a metà la semicirconferenza superiore; all’interno del
quadrato le figure dei bimbi creano linee oblique, parallele alle
diagonali del quadrato.
Figura 6
Il modulor.
Figura 7
La vergine delle rocce.
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Per fare un esempio di applicazione in epoca recente possiamo citare l’opera La
parata del circo del 1888 di G. Seurat (Figura 8) in cui si può notare che la diagonale che va da sinistra in alto a destra in basso interseca il lato del quadrato a
livello della balconata. Si possono notare altri triangoli aurei in prossimità della
figura centrale.
Figura 8
La parata del circo.
Nella successione di Fibonacci ottenuta prendendo 0 e 1 come primi numeri e
determinando i successivi dalla somma dei due precedenti:
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34……..
il valore di Φ con approssimazione sempre maggiore è ottenuto dividendo un
numero della successione per il precedente:
8 / 5 = 1,6
13 / 8 = 1,625
21 / 13 = 1,6153
34 / 21 = 1,619…
Questi rapporti sono riscontrabili nelle composizioni musicali quali canti gregoriani, opere di Beethoven, di Debussy ma anche nella musica rock (in particolare la cosiddetta musica progressiva). La successione individuata da Fibonacci,
infatti, può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica:
numero di note, numero di battute e durata temporale.
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