Sezione aurea

Sezione aurea
DOL - Classe F4 – Maurizio Di Gangi
Sezione aurea: definizioni

S.A. è ripartizione di un segmento in 2 parti
che stanno tra loro come la maggiore sta al
segmento intero
l:a=a:b

Euclide, Elementi, libro II
2
Sezione aurea: definizioni

Ponendo l = 1, a = x
1 : x = x : (1 – x)
x2 + x – 1 = 0
x = (5 – 1) / 2
x = 0,6180339… (numero d’oro, coeff. aureo)
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Sezione aurea
Costruzione geometrica
dato un segmento
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Rettangolo aureo

In un R.A., un lato è la S.A. dell’altro lato

Dividendo un R.A. in 2 parti, di cui una sia un
quadrato, l’altra sarà un nuovo R.A.
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Atene, Partenone
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Mondrian, Sezione aurea
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Esempi di rettangolo aureo
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Spirale logaritmica




Si parte da un R.A.
Si originano nuovi R.A. inscritti
Si inscrive arco di circonferenza nei quadrati
La curva si avvolge intorno al polo senza mai
raggiungerlo
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Esempi di spirale logaritmica
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Esempi di spirale logaritmica
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Pentagono regolare

Un pentagono regolare genera iterativamente
una stella a 5 punte, simbolo per eccellenza
della proporzione aurea

Numerosi rapporti aurei
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Stella a 5 punte
(pentagramma)

Generazione iterativa
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Pentagrammi iterativi
14
Pentagrammi iterativi
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L’esempio dello Stradivari

Un violino Stradivari è contenibile entro 4
pentagoni regolari i cui lati fungono da
tangenti, determinando una linea
estremamente armoniosa
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Serie di Fibonacci
1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144.233.377…

Leonardo Fibonacci, Liber Abbaci (1202)

Proprietà interessanti:



Ogni numero è la somma dei 2 numeri precedenti
Tre numeri consecutivi a caso sono “approssimativamente”
ottimi valori per realizzare segmenti in proporzione aurea
Es.: 144 : 89 = 89 : 55 con approssimazione sempre <= 1
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