successione di Fibonacci

successione di Fibonacci
La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina,
nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali,
delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Lo stesso
rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza.
In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione:
(a+b) : a = a : b = b : (a-b)
Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:
Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non
rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione
polinomiale a coefficienti interi). Esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai
rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.
Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati
contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno impressionato nei
secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia,
spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di
bellezza"; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli
appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.
Fibonacci introdusse per la prima volta, involontariamente, il concetto di successione ricorsiva, con
la successione: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, la successione di Fibonacci:
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 1 = 3;
3 + 2 = 5;
5 + 3 = 8;
... ;
che può essere riassunta come segue:
Fn-2 + Fn-1 = Fn
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1
2
1,5
1,666667
1,6
1,625
1,615385
1,619048
1,617647
1,618182
1,617978
1,618056
1,618026
1,618037
1,618033
Ad insaputa dello scopritore, anche la successione che porta il suo nome è indissolubilmente legata
alla sezione aurea; il rapporto tra i due argomenti fu tuttavia scoperto solo qualche secolo più tardi
da un altro matematico durante il periodo rinascimentale.
La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci fu scoperta nel 1611 da Keplero