1 Esercizi sulla funzione integrale - B. Di Bella Esercizio 1 - Studiare la funzione F (x) = Z x 2 √ e2−t 3 t − 2 dt . √ La funzione integranda f (x) = e2−x 3 x − 2 non ha una primitiva elementare e quindi non siamo in grado di ricavare per F (x) un’espressione analitica elementare. Ora, f (x) è definita e continua in lR quindi, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e √ F 0 (x) = e2−x 3 x − 2 . (1) Studiamo la funzione ai bordi del dominio. Poichè lim f (x) = +∞ sarà x→−∞ lim F (x) = +∞ . x→−∞ Z x √ Per definizione di integrale improprio, se lim F (x) = lim e2−t 3 t − 2 dt x→+∞ 2 Z +∞ x→+∞ √ 2−t 3 t − 2 dt, quindi vediamo se la esiste finito esso coinciderà con e 2 funzione f (x) è integrabile in senso improprio in [2, +∞[. lim f (x) = 0, f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, +∞[ , x→+∞ lim x→+∞ f (x) 1 xα α=5/3 = 0 pertanto f (x) è integrabile in senso improprio in [2, +∞[ e dunque esiste lim F (x) = k > 0. Ciò significa che la funzione F (x) ha un asintoto x→+∞ orizzontale a destra. Dalla (1) studiamo la monotonia e la concavità della funzione. √ F 0 (x) ≥ 0 ⇔ e2−x 3 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 cioè la funzione F (x) è strettamente decrescente in ] − ∞, 2[ e strettamente Z 2 √ crescente in ]2, +∞[. Dato che F (2) = e2−t 3 t − 2 dt = 0, il punto (2, 0) 2 è un punto di minimo assoluto. Inoltre, −3x + 7 F 00 (x) = e2−x q ≥0 3 3 (x − 2)2 2 Corso di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni la funzione F (x) è convessa in ]−∞, 2[∪]2, 73 [ e concava in ] 73 , +∞[, per x = 37 la funzione ha un flesso. Un grafico qualitativo della funzione è il seguente Esercizio 2 - Dire se la funzione F (x) = Z 0 x et dt t2 + 3 è invertibile e, in caso affermativo, calcolare la derivata della funzione inversa nel punto y0 = 0. ex è definita e continua in lR quindi, per x2 + 3 il Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e ex F 0 (x) = 2 > 0 ∀x ∈ lR . x +3 La funzione integranda f (x) = Allora F (x) è strettamente crescente in lR e dunque invertibile. Inoltre, per il Teorema della derivata della funzione inversa (F −1 )0 (y0 ) = 1 F 0 (x0 ) 3 Esercizi sulla funzione integrale - B. Di Bella essendo y0 = F (x0 ). Ora F (x0 ) = 0 ⇐⇒ x0 = 0 e F 0 (0) = f (0) = 1 3 dunque (F −1)0 (y0 ) = (F −1 )0 (0) = 3 Esercizio 3 - Studiare la funzione F (x) = t2 x Z −∞ e− 2 √ dt . 2π x2 e− 2 La funzione integranda f (x) = √ non ha una primitiva elementare e 2π quindi non siamo in grado di ricavare per F (x) un’espressione analitica più semplice. Ora, f (x) è definita e continua in lR quindi, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e x2 e− 2 F (x) = √ . 2π 0 (2) Studiamo la funzione ai bordi del dominio. Per come è definita lim F (x) = 0 . x→−∞ Per definizione di integrale improprio, se lim F (x) = lim x→+∞ esiste finito esso coinciderà con Z +∞ 2 − t2 e √ Z x x→+∞ −∞ t2 e− 2 √ dt 2π dt, quindi vediamo se la funzione 2π f (x) è integrabile in senso improprio in ] − ∞, +∞[. −∞ x2 1 e− 2 0 ≤ √ ≤ √ ∀x ∈] − ∞, +∞[ , 2π 2π 4 Corso di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni pertanto, per il teorema del confronto, f (x) è integrabile in senso improprio in ] − ∞, +∞[ e dunque esiste lim F (x) = k > 0. Ciò significa che la x→−∞ funzione F (x) ha anche un asintoto orizzontale a sinistra. Dalla (2) studiamo la monotonia e la concavità della funzione. F 0 (x) = f (x) > 0 ∀x ∈] − ∞, +∞[ cioè la funzione F (x) è strettamente crescente in lR. Inoltre, x2 2x F 00 (x) = − √ e− 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 2π perciò la funzione F (x) è convessa in ]−∞, 0[ e concava in ]0, +∞[, per x = 0 la funzione ha un punto di flesso. Tutti questi fatti portano al seguente grafico qualitativo Esercizio 4 - Calcolare lim x→+∞ Z 0 x 2 (et + 1) dt e2x2 2 Osserviamo innanzitutto che la funzione integranda f (x) = ex + 1 non ha una primitiva elementare e quindi non siamo in grado di ricavare per F (x) 5 Esercizi sulla funzione integrale - B. Di Bella un’espressione analitica più semplice. Ora, f (x) è definita e continua in lR quindi, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e 2 F 0 (x) = ex + 1 . (3) Z x 2 Poichè lim f (x) = +∞, la funzione integrale F (x) = (et + 1) dt è x→+∞ 0 infinita per x → +∞. Il limite dà quindi una forma indeterminata del tipo ∞ . Utilizziamo il Teorema di de L’Hôpital ∞ lim x→+∞ Z 0 x 2 (et + 1) dt e2x2 2 F (x) H F 0 (x) (3) ex + 1 = lim 2x2 = lim = lim 2 2 = 0 . x→+∞ e x→+∞ 4x e2x x→+∞ 4x e2x