1 Esercizio 1 - Studiare la funzione F(x) = ∫ x √t − 2dt . La funzione

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Esercizi sulla funzione integrale - B. Di Bella
Esercizio 1 - Studiare la funzione
F (x) =
Z
x
2
√
e2−t 3 t − 2 dt .
√
La funzione integranda f (x) = e2−x 3 x − 2 non ha una primitiva elementare
e quindi non siamo in grado di ricavare per F (x) un’espressione analitica
elementare.
Ora, f (x) è definita e continua in lR quindi, per il Teorema fondamentale del
calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e
√
F 0 (x) = e2−x 3 x − 2 .
(1)
Studiamo la funzione ai bordi del dominio. Poichè lim f (x) = +∞ sarà
x→−∞
lim F (x) = +∞ .
x→−∞
Z x
√
Per definizione di integrale improprio, se lim F (x) = lim
e2−t 3 t − 2 dt
x→+∞ 2
Z +∞ x→+∞
√
2−t 3
t − 2 dt, quindi vediamo se la
esiste finito esso coinciderà con
e
2
funzione f (x) è integrabile in senso improprio in [2, +∞[.
lim f (x) = 0, f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, +∞[ ,
x→+∞
lim
x→+∞
f (x)
1
xα
α=5/3
= 0
pertanto f (x) è integrabile in senso improprio in [2, +∞[ e dunque esiste
lim F (x) = k > 0. Ciò significa che la funzione F (x) ha un asintoto
x→+∞
orizzontale a destra.
Dalla (1) studiamo la monotonia e la concavità della funzione.
√
F 0 (x) ≥ 0 ⇔ e2−x 3 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
cioè la funzione F (x) è strettamente decrescente in ] − ∞, 2[ e strettamente
Z 2
√
crescente in ]2, +∞[. Dato che F (2) =
e2−t 3 t − 2 dt = 0, il punto (2, 0)
2
è un punto di minimo assoluto. Inoltre,
−3x + 7
F 00 (x) = e2−x q
≥0
3 3 (x − 2)2
2
Corso di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni
la funzione F (x) è convessa in ]−∞, 2[∪]2, 73 [ e concava in ] 73 , +∞[, per x = 37
la funzione ha un flesso. Un grafico qualitativo della funzione è il seguente
Esercizio 2 - Dire se la funzione
F (x) =
Z
0
x
et
dt
t2 + 3
è invertibile e, in caso affermativo, calcolare la derivata della funzione inversa
nel punto y0 = 0.
ex
è definita e continua in lR quindi, per
x2 + 3
il Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile
per ogni x ∈ lR e
ex
F 0 (x) = 2
> 0 ∀x ∈ lR .
x +3
La funzione integranda f (x) =
Allora F (x) è strettamente crescente in lR e dunque invertibile. Inoltre, per
il Teorema della derivata della funzione inversa
(F −1 )0 (y0 ) =
1
F 0 (x0 )
3
Esercizi sulla funzione integrale - B. Di Bella
essendo y0 = F (x0 ). Ora
F (x0 ) = 0 ⇐⇒ x0 = 0
e
F 0 (0) = f (0) =
1
3
dunque
(F −1)0 (y0 ) = (F −1 )0 (0) = 3
Esercizio 3 - Studiare la funzione
F (x) =
t2
x
Z
−∞
e− 2
√ dt .
2π
x2
e− 2
La funzione integranda f (x) = √
non ha una primitiva elementare e
2π
quindi non siamo in grado di ricavare per F (x) un’espressione analitica più
semplice.
Ora, f (x) è definita e continua in lR quindi, per il Teorema fondamentale del
calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e
x2
e− 2
F (x) = √
.
2π
0
(2)
Studiamo la funzione ai bordi del dominio. Per come è definita
lim F (x) = 0 .
x→−∞
Per definizione di integrale improprio, se lim F (x) = lim
x→+∞
esiste finito esso coinciderà con
Z
+∞
2
− t2
e
√
Z
x
x→+∞ −∞
t2
e− 2
√ dt
2π
dt, quindi vediamo se la funzione
2π
f (x) è integrabile in senso improprio in ] − ∞, +∞[.
−∞
x2
1
e− 2
0 ≤ √ ≤ √ ∀x ∈] − ∞, +∞[ ,
2π
2π
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Corso di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni
pertanto, per il teorema del confronto, f (x) è integrabile in senso improprio
in ] − ∞, +∞[ e dunque esiste lim F (x) = k > 0. Ciò significa che la
x→−∞
funzione F (x) ha anche un asintoto orizzontale a sinistra.
Dalla (2) studiamo la monotonia e la concavità della funzione.
F 0 (x) = f (x) > 0 ∀x ∈] − ∞, +∞[
cioè la funzione F (x) è strettamente crescente in lR. Inoltre,
x2
2x
F 00 (x) = − √ e− 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
2π
perciò la funzione F (x) è convessa in ]−∞, 0[ e concava in ]0, +∞[, per x = 0
la funzione ha un punto di flesso. Tutti questi fatti portano al seguente grafico
qualitativo
Esercizio 4 - Calcolare
lim
x→+∞
Z
0
x
2
(et + 1) dt
e2x2
2
Osserviamo innanzitutto che la funzione integranda f (x) = ex + 1 non ha
una primitiva elementare e quindi non siamo in grado di ricavare per F (x)
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Esercizi sulla funzione integrale - B. Di Bella
un’espressione analitica più semplice.
Ora, f (x) è definita e continua in lR quindi, per il Teorema fondamentale del
calcolo integrale, F (x) è definita in lR, derivabile per ogni x ∈ lR e
2
F 0 (x) = ex + 1 .
(3)
Z
x
2
Poichè lim f (x) = +∞, la funzione integrale F (x) =
(et + 1) dt è
x→+∞
0
infinita per x → +∞. Il limite dà quindi una forma indeterminata del tipo
∞
. Utilizziamo il Teorema di de L’Hôpital
∞
lim
x→+∞
Z
0
x
2
(et + 1) dt
e2x2
2
F (x) H
F 0 (x) (3)
ex + 1
= lim 2x2 = lim
=
lim
2
2 = 0 .
x→+∞ e
x→+∞ 4x e2x
x→+∞ 4x e2x