M. D’Aprile, Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 2012-13
3. Esercizi su: equazioni parametriche di rette e di piani
Esercizi su: equazioni vettoriali e parametriche di rette e di piani.
2
1) Nel piano, fissato un sistema di coordinate cartesiane (O , i, j ) , è dato il vettore c = .
−3
i)
Scrivere un’equazione vettoriale e delle equazioni parametriche della retta r che passa per O
ed ha c come vettore direttore.
ii) Scrivere un’equazione vettoriale e delle equazioni parametriche della retta che passa per il
−5
ed è parallela alla retta r di i).
2
punto A =
2) Nel piano, fissato un sistema di riferimento affine (O , i, j ) , sono assegnati i punti
−1
−2
1/ 2
B = ,C = , D =
.
4
−1
3
a) Trovare le componenti del vettore a applicato in O che è equivalente (equipollente) al vettore
BC .
b) Scrivere delle equazioni parametriche della retta per O parallela alla retta BC.
c) Trovare delle equazioni parametriche per la retta BC.
d) E’ vero o falso che B, C, D sono allineati?
e) Trovare delle equazioni parametriche per la retta che passa per D ed è parallela al vettore i .
3) Nel piano è dato un sistema di coordinate cartesiane (O , i, j ) . Scrivere un’equazione vettoriale e
−5
delle equazioni parametriche della retta che passa per A = ed è parallela alla retta di equazioni
2
parametriche, nel parametro reale t, x = 2 + 3t, y = − 4t.
4) Nello spazio, è assegnato un sistema di coordinate cartesiane (O , i , j , k )
i)
Scrivere le componenti (o coordinate) dei vettori i, 3 j , − 4 k , 2i − 3k .
ii) Descrivere gli insiemi formati da tutti i vettori che sono multipli di uno solo tra i, j , k ,
scrivendo le componenti dei vettori di ciascun insieme.
iii) Scrivere delle equazioni parametriche delle rette (assi del sistema di riferimento) che
passano per O ed hanno come vettore direttore uno dei vettori i, j , k .
−1
iv) Scrivere delle equazioni parametriche delle rette che passano per Q = 3 ed hanno come
1
vettore direttore uno dei vettori i, j , k .
v) Scrivere delle equazioni parametriche dei “piani coordinati”, ovvero dei piani determinati da
due dei vettori del riferimento.
5) Nello spazio, riferito a un sistema di coordinate cartesiane, sono dati due punti A, B; chiamiamo M il
punto medio tra A e B. Come sono legate le coordinate del vettore OM con quelle di OA, OB ?
Considerare il caso in cui O, A, B sono allineati: cambia il modo di scrivere O M ?
6) Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento affine (O , i , j , k ) . Rappresentare in forma
vettoriale e con equazioni parametriche:
i)
2
la retta che ha come vettore direttore il vettore c = 5 e passa per l’origine
−3
1
M. D’Aprile, Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 2012-13
3. Esercizi su: equazioni parametriche di rette e di piani
ii) la retta parallela alla precedente che passa per
0
0
1
0
3
−1
1
U = 1 .
1
7) Si considerino i punti R = 2 , S = 2 , T = 0 .
a. Trovare le componenti dei vettori, applicati in O, equivalenti rispettivamente ai vettori RS , RT .
b. Utilizzare i risultati ottenuti per stabilire se i tre punti R,S,T sono allineati.
c. Trovare delle equazioni vettoriali e parametriche per la retta RS,
d. delle equazioni vettoriali e parametriche per la retta che passa per O ed ha la direzione di RT ,
e. delle equazioni vettoriali e parametriche del piano di R, S, T.
8) Scrivere delle equazioni parametriche dei piani che – se possibile − soddisfanno le condizioni:
x = 2 − 5t
a. essere parallelo all’asse delle x e contenere la retta di equazioni parametriche y = 3t
(nel
z = −t
parametro t),
−1
b. essere parallelo ai vettori del primo e del terzo asse coordinato e contenere il punto Q = 3
1
,
−2
−2
2
2
c. contenere i punti L = 1 , N = 0 ed essere parallelo all’asse delle z,
x = 2 − 5t
d. contenere il punto O ed essere parallelo alle rette di equazioni parametriche y = 3t
, nel
z = −t
x = −1 + τ
parametro reale t, e y = 3 + τ , nel parametro reale τ;
z = −τ
x = −1 + τ
e. contenere le rette y = 3 + τ ,
z = −τ
f.
x = −1 + τ
contenere le rette y = 3 + τ ,
z = −τ
x = s
y = 4 + s ,
z = −1 + 2s
x = −s
y = −s .
z = 2 + s
9) Nel piano, sono assegnate le rette
a , di equazioni parametriche (nel parametro reale s) x = s, y = 3 + 2s
b, di equazioni parametriche (nel parametro reale t) x = −1 + 2t, y = 2 + 2t
c, di equazioni parametriche (nel parametro reale h) x = − 2 − 2h , y = − 4h.
Stabilire quali tra esse sono incidenti, trovando le coordinate del punto comune, e quali sono parallele.
10) Stabilire quali tra le rette che seguono siano complanari, e in tal caso trovare delle equazioni
parametriche del loro piano:
r, di equazioni parametriche, nel parametro reale t, x = t , y = 1 + t , z = 2 + 2t ,
r’, con equazioni, nel parametro s, x = 1 − s , y = 3 + s , z = −3,
r’’, di equazioni parametriche, nel parametro τ, x = 2 −τ, y = 4 − τ, z = 2 − 2τ.
2
