3. Eq. parametriche

M. D’Aprile, Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 2012-13
3. Esercizi su: equazioni parametriche di rette e di piani
Esercizi su: equazioni vettoriali e parametriche di rette e di piani.
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1) Nel piano, fissato un sistema di coordinate cartesiane (O , i, j ) , è dato il vettore c =   .
 −3 
i)
Scrivere un’equazione vettoriale e delle equazioni parametriche della retta r che passa per O
ed ha c come vettore direttore.
ii) Scrivere un’equazione vettoriale e delle equazioni parametriche della retta che passa per il
 −5 
 ed è parallela alla retta r di i).
 2
punto A = 
2) Nel piano, fissato un sistema di riferimento affine (O , i, j ) , sono assegnati i punti
 −1
 −2 
1/ 2 
B =  ,C =  , D = 
.
4
 −1 
 3 
a) Trovare le componenti del vettore a applicato in O che è equivalente (equipollente) al vettore
BC .
b) Scrivere delle equazioni parametriche della retta per O parallela alla retta BC.
c) Trovare delle equazioni parametriche per la retta BC.
d) E’ vero o falso che B, C, D sono allineati?
e) Trovare delle equazioni parametriche per la retta che passa per D ed è parallela al vettore i .
3) Nel piano è dato un sistema di coordinate cartesiane (O , i, j ) . Scrivere un’equazione vettoriale e
 −5 
delle equazioni parametriche della retta che passa per A =   ed è parallela alla retta di equazioni
 2
parametriche, nel parametro reale t, x = 2 + 3t, y = − 4t.
4) Nello spazio, è assegnato un sistema di coordinate cartesiane (O , i , j , k )
i)
Scrivere le componenti (o coordinate) dei vettori i, 3 j , − 4 k , 2i − 3k .
ii) Descrivere gli insiemi formati da tutti i vettori che sono multipli di uno solo tra i, j , k ,
scrivendo le componenti dei vettori di ciascun insieme.
iii) Scrivere delle equazioni parametriche delle rette (assi del sistema di riferimento) che
passano per O ed hanno come vettore direttore uno dei vettori i, j , k .
 −1 
iv) Scrivere delle equazioni parametriche delle rette che passano per Q =  3  ed hanno come
1
 
vettore direttore uno dei vettori i, j , k .
v) Scrivere delle equazioni parametriche dei “piani coordinati”, ovvero dei piani determinati da
due dei vettori del riferimento.
5) Nello spazio, riferito a un sistema di coordinate cartesiane, sono dati due punti A, B; chiamiamo M il
punto medio tra A e B. Come sono legate le coordinate del vettore OM con quelle di OA, OB ?
Considerare il caso in cui O, A, B sono allineati: cambia il modo di scrivere O M ?
6) Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento affine (O , i , j , k ) . Rappresentare in forma
vettoriale e con equazioni parametriche:
i)
2
la retta che ha come vettore direttore il vettore c =  5  e passa per l’origine
 
 −3 
 
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M. D’Aprile, Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 2012-13
3. Esercizi su: equazioni parametriche di rette e di piani
ii) la retta parallela alla precedente che passa per
0
 0
1
0
 
 3
 
 
 −1
1
 
U = 1 .
1
 
7) Si considerino i punti R =  2  , S =  2  , T =  0  .
 
 
 
a. Trovare le componenti dei vettori, applicati in O, equivalenti rispettivamente ai vettori RS , RT .
b. Utilizzare i risultati ottenuti per stabilire se i tre punti R,S,T sono allineati.
c. Trovare delle equazioni vettoriali e parametriche per la retta RS,
d. delle equazioni vettoriali e parametriche per la retta che passa per O ed ha la direzione di RT ,
e. delle equazioni vettoriali e parametriche del piano di R, S, T.
8) Scrivere delle equazioni parametriche dei piani che – se possibile − soddisfanno le condizioni:
 x = 2 − 5t
a. essere parallelo all’asse delle x e contenere la retta di equazioni parametriche  y = 3t
(nel
 z = −t

parametro t),
 −1
 
b. essere parallelo ai vettori del primo e del terzo asse coordinato e contenere il punto Q =  3 
1
 ,
 −2 
 −2 
 2
 
 2
 
c. contenere i punti L =  1  , N =  0  ed essere parallelo all’asse delle z,
 
 
 x = 2 − 5t
d. contenere il punto O ed essere parallelo alle rette di equazioni parametriche  y = 3t
, nel
 z = −t

 x = −1 + τ
parametro reale t, e  y = 3 + τ , nel parametro reale τ;
 z = −τ

 x = −1 + τ
e. contenere le rette  y = 3 + τ ,
 z = −τ

f.
 x = −1 + τ
contenere le rette  y = 3 + τ ,
 z = −τ

x = s

y = 4 + s ,
 z = −1 + 2s

 x = −s

 y = −s .
z = 2 + s

9) Nel piano, sono assegnate le rette
a , di equazioni parametriche (nel parametro reale s) x = s, y = 3 + 2s
b, di equazioni parametriche (nel parametro reale t) x = −1 + 2t, y = 2 + 2t
c, di equazioni parametriche (nel parametro reale h) x = − 2 − 2h , y = − 4h.
Stabilire quali tra esse sono incidenti, trovando le coordinate del punto comune, e quali sono parallele.
10) Stabilire quali tra le rette che seguono siano complanari, e in tal caso trovare delle equazioni
parametriche del loro piano:
r, di equazioni parametriche, nel parametro reale t, x = t , y = 1 + t , z = 2 + 2t ,
r’, con equazioni, nel parametro s, x = 1 − s , y = 3 + s , z = −3,
r’’, di equazioni parametriche, nel parametro τ, x = 2 −τ, y = 4 − τ, z = 2 − 2τ.
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